Emmanuel Amiot Modèles algébriques et algorithmes pour la ...

Nous rencontrerons d'autres exemples de cette utilité d'une culture musicale à pro-
pos de questions qui sembleraient relever des mathématiques les plus abstraites.
pavage de Z et de Z/12Z par le motif {0,1,5}
Les facteurs irréductibles dans Z[X] du polynôme 1 + X + X 2+ … X n-1 sont bien connus, ce sont
les polynômes cyclotomiques Φd où d divise n. Certains de ces polynômes sont 0-1; c'est le cas,
par exemple, quand d est premier et Φd = 1 + X +… X d-1. D'autres ne le sont pas, comme Φ12 = 1-
X 2+X 4. Cette remarque, qui date de la préhistoire de l'étude des pavages, a permis d'implémen-
ter dans OpenMusic un "patch" de production de canons rythmiques, dits « canons cyclotomi-
ques 19 » : pour obtenir des canons de période n, il suffit de sélectionner parmi les parties de
l'ensemble des diviseurs d1 … dk de n celles qui fournissent un polynôme 0-1 par le produit des
facteurs cyclotomiques Φd i correspondants, ce qui créera ipso facto un canon rythmique 20, à con-
dition que ce polynôme A(X) admette un complément B(X) — un polynôme 0-1 lui aussi, et qui vérifie
l'équation (1). Ainsi pour n=12
A(X) = Φ2 Φ4 Φ12 = (1 + X)(1 + X 2)(1 - X 2 + X 4) = 1 + X + X 6 + X 7
est un polynôme 0-1, correspondant à la partie A = {0,1,6,7} qui "pave" (i.e. constitue
un canon rythmique) avec par exemple B = {0, 2, 4} i.e. B(X) = 1 + X 2 + X 4.
Le problème posé par cette démarche tient à ce que fabriquer un polynôme 0-1
A(X), fût-il produit de polynômes cyclotomiques, ne garantit pas l'existence d'un complément
B(X). Ainsi pour :
19 Agon, C., Amiot, E., Andreatta, M., « Tiling the (musical) line with polynomials : Some theoretical and implementa-
tional aspects », Acts of ICMC 2005, Barcelona (2005).
20 Mais ce canon n'est jamais un canon de Vuza: l'algorithme utilisé, qui est emprunté à Coven et Meyerowitz,
donne toujours un complément B périodique.
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