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Pour rendre compte de cette disparité de qualité entre les diverses gammes majeures, j'ai créé un indicateur simple, la Major Scale Similarity ou MSS: l'inverse de l'écart maximum entre les coefficients de Fourier des douze gammes majeures. J'ai testé, entre autres, le tempé- rament proposé par Bradley Lehman comme celui qu'utilisait J.S. Bach, à partir d'une interpré- tation audacieuse (et contestée !) des volutes qui ornent la première page de l'édition originale du Wohltemperierte Klavier, publié en 1722 50: Lehman y lit l'indication (de gauche à droite sur la figure) d'accorder cinq quintes diminuées de deux douzièmes de comma, puis trois quintes justes, puis trois diminuées d'un douzième de comma. J'ai alors constaté avec surprise que l' écart entre les coefficients de Fou- rier, calculé pour ce tempérament, était plus petit que celui que l'on obtient pour tous ses con- currents 51. Bien sûr, des tempéraments plus récents (postérieurs à la publication du Wohltem- perierte Klavier) donnent un écart encore plus réduit; en particulier, le tempérament égal qui prédomine de nos jours donne un écart nul. C'est néanmoins un indicateur significatif, dans la mesure où Bach recherchait explicitement un tempérament qui permît de faire sonner «bien» (c'est une traduction plausible du mot wohl) toutes les gammes majeures. J'étais particulière- ment heureux de trouver une retombée aussi concrète à des recherches à ce point abstraites. Mélodies Autosimilaires p. 30 50 C'est Lehman qui renverse le dessin. Ce point est discuté dans mon article, où il est expliqué pourquoi la DFT ne donne pas de préférence entre un tempérament et son renversement. 51 Une amélioration possible du tempérament proposé par Lehman — d'ailleurs proposée par d'autres pour des raisons musicologiques — consiste à prendre pour unité de modification des quintes un treizième, au lieu d' un douzième, de comma pythagoricien. Cette valeur optimise la MSS, si on garde le schéma proposé par Lehman.
Certains mathématiciens du groupe Bourbaki, peut-être extrémistes, sont allés jus- qu'à prétendre que la géométrie classique n'avait plus lieu d'être depuis qu'on avait découvert qu'elle ne faisait que traduire l'action de certains groupes algébriques (groupes affine, orthogo- nal, projectif, conforme…), et n'était plus qu'un codicille à l'algèbre linéaire. Cependant, la con- sidération de figures, fussent-elles les choix partiaux de représentants d'orbites de ces groupes, peut toujours suggérer des idées nouvelles, que l'on ne saurait découvrir aux altitudes éthérées de l'algèbre pure. Ainsi, mon étude des mélodies autosimilaires 52 pourrait être vue comme un codicille à propos de l'action du groupe affine modulo n. Néanmoins, son origine musicale, et l'angle original qui en résulte, ont abouti à une quantité notable de résultats nouveaux et non triviaux, comme les Thms. 2.8 ou 6.1. On y voit, encore mieux à l'œuvre que dans mes autres domaines de recherche, l'interaction dialectique fructueuse entre algébrisation et implémenta- tion. Pour ne prendre qu'un exemple de la complémentarité des processus, le Thm. 6.1 énonce que toute mélodie périodique devient autosimilaire après un certain nombre d'itéra- tions de "l'extraction de la k ème note". Or, sans la formalisation en termes d'action d'applica- tions affines sur Z/nZ, l'itération à l'infini d'une telle application n'était guère concevable; mais d'autre part, sans expérimentation informatique, je n'aurais sans doute jamais découvert que cette itération convergeait — et il m'a fallu mettre en jeu des résultats assez profonds d'algèbre commutative 53 pour prouver que cette convergence avait toujours lieu. Dans le point de vue Bourbakiste évoqué plus haut, le groupe affine sur Z/nZ est représenté fidèlement par un simple sous-groupe des matrices GL(2, n). Mais pour le musicien, ces transformations sont fascinantes — au point qu'on peut s'interroger sur le peu de résultats les concernant — car elles préservent, selon le contexte, nombre de notions capitales: le conte- nu intervallique (à permutation près), les parties tous-intervalles, les modes à transpositions 52 Autosimilar Melodies, JMM, vol. 3 (2008), abrégé en [autoSimJMM]. 53 Précisément il s'agit du Lemme de Fitting. Pour être parfaitement honnête, il arrive que l'attracteur autosimilaire final soit trivial, i.e. consiste en une mélodie faite d'une seule note répétée. p. 31
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