Emmanuel Amiot Modèles algébriques et algorithmes pour la ...

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Le cas particulier B=A a été réexaminé de manière magistrale dans sa thèse 35 par Ian Quinn , qui voulut reconnaître, par les propriétés de leurs coefficients de Fourier, les parties les plus «prototypales» , i.e. celles qui jouent le rôle de phares dans le paysage des accords. La dé- couverte la plus remarquable de Quinn est que ces «phares» ou prototypes, consacrés par la cri- tique traditionnelle, sont caractérisés par la valeur maximale de l'un de leurs coefficients de Fourier. Or les prototypes en question ne sont autres que les Maximally Even Sets ou ME Sets, que je traduis par «gammes bien réparties» dans mon article pour la Revue de mathématiques et sciences humaines 36; ce sont les répartitions de notes les plus proches d'un polygone régulier: ainsi A A G la collection diatonique est, parmi les parties à sept notes de la gamme chromatique, celle qui se rapproche le mieux d'un heptagone régulier (cf. la figure ci-jointe). Évidemment, il convient de préciser ce qu'on entend précisément par «se rapprocher d'un polygone régulier». Douthett et Kranz ont prouvé qu'en termes de potentiels sur un cercle discret, toutes les fonctions potentiel strictement convexes (comme les potentiels coulom- biens en physique) donnaient les mêmes ME Sets 37. Or Quinn a mis en évidence, dans sa thèse, une autre manière d'apprécier la «bonne répartition»: Le pc-set A à d éléments est « bien réparti » si, et seulement si, la valeur |FA(d)| (amplitude du d ème coefficient de Fourier) est maximale par rapport à tous les autres pc-sets à d élé- ments. B G C C major F C F D E D p. 24 35 Quinn, I., « A unified theory of chord quality in equal temperaments », PhD dissertation, Univ. of Rochester (2005). 36 Amiot, E., « Gammes Bien Réparties », Revue de Mathématiques et Sciences Humaines, 178 (juillet 2007). 37 Douthett, J. et Krantz, R. « Energy extremes and spin configurations for the one-dimensional antiferromagnetic Ising model with arbitrary-range interaction », Journal of Mathematical Physics 37 (1996).
Mon article du Journal of Mathematics and Music, joint dans le dossier annexe 38, dé- montre rigoureusement tout en la généralisant, cette découverte de Quinn. En effet, il m'a paru nécessaire de prouver précisément 39 le fondement géométrique de cette propriété, qui est un lemme trigonométrique (appelé « Huddling Lemma » dans [MESets]), notamment pour cla- rifier le cas plus délicat des multi-ensembles qui apparaissent dans le cas des ME Sets dégéné- rés — comme la gamme octatonique par exemple. Au passage, j'ai démontré une conjecture de Quinn concernant certains ME sets particuliers (ceux de type III dans sa nomenclature — cette propriété ne figure pas dans l'article du JMM, mais on peut la trouver dans celui de la Revue de Mathématiques et Sciences Humai- nes); j'ai également complètement décrit tous les cas de maximalité de tous les coefficients de Fourier des pc-sets, et retrouvé alors de manière élégante le théorème de l'hexacorde de Babbit (avec diverses généralisations, en particulier à tout groupe abélien compact) 40. Ce dernier point, vu l'argument utilisé, mérite d'être approfondi ici : quand on prend B=A dans les équa- tions ci-dessus, on obtient le contenu intervallique de A, IC(A) en lieu et place de IFUNC(A, B) (c'est l'histogramme des intervalles présents entre les notes de A, ou, comme l'exprimait jo- liment Lewin dans un de ses derniers articles, la probabilité que tel intervalle soit ouï si l'on joue des notes de A au hasard). De plus, la DFT de cet histogramme donne le module alternative au title carré (i.e. l'amplitude) de la DFT de A: Proof If A ∈ Zc has c/2 elements, then as mentioned above, F Zc\A = −FA F(ICA) =|FA| 2 = |F Zc\A| 2 = F(IC Zc\A) Hence (by inverse D Cette formule permet de comparer As far astrès I know, facilement this short le contenu proof was intervallique first published de A in et [1] after I men memorial days in july 2005. But considering the coincidence in time of Lew celui de son complémentaire, ce qui est with précisément Babbitt, it is l'énoncé almost certain du théorème that hede was l'hexacorde. aware of it. Plus Perhaps the har in his first paper explain why he did not publish it. It is left to the read exercise, to prove in the same way the Generalized Hexachord Theorem, and many others. 38 « David Lewin and Maximally Even Sets », Journal of Mathematics and Music (2007) vol. 3. Ci-après cité comme [MESets]. 2 Maximally Even Sets and their Fourier Transforms The attribute ‘maximally even’ applies to pitch class sets, which — in com the same cardinality — are as evenly as possible distributed within Zc. Thi regular sets, which exist only for cardinalities d dividing the number c of pi case — where d and c are mutually coprime — was well studied in [8]. extensive study of the general case in [7] is an explicit construction of gen formula for this construction was later termed J-function. It departs from numbers 0, c c , ..., (d − 1) d d and ‘digitizes’ them within Zc in terms of the re of these ratios mod c: 0, 39 Les évidences sont bien souvent trompeuses. J'ai récemment élucidé le nombre de générateurs possibles d'une gamme monogène (comme la gamme majeure ou la gamme pentatonique, engendrées par des quintes), qui porte bien mal son nom puisque (contrairement aux parties monogènes, alias séquences arithmétiques, dans R par exemple) ce nombre peut être arbitrairement grand — mais n'est jamais égal à 14 par exemple, cf. mon article « On the number of generators of a musical scale », http://arxiv.org/abs/0909.0039. 40 Ce point a été publié indépendamment dans la revue de vulgarisation mathématique Quadrature. Par ailleurs j'ai récemment étendu le théorème de l'hexacorde à des groupes compacts non nécessairement commutatifs (non publié). c c , ..., (d − 1) mod c. The J-function includ d d p. 25 J α c,d : k ↦→ kc + α ,k =0. . . d − 1. d
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