Emmanuel Amiot Modèles algébriques et algorithmes pour la ...

Mémoire de thèse Amiot 38
Un signe manifeste de l'injuste obscurité des canons de Vuza est l'absence, dans
l'encyclopédie des suites d'entiers en ligne de Sloane, de la liste des cardinaux des «mauvais
groupes» (ceux qui ne sont pas de Hajós: 72, 108, 120, 144…). Cette omission a été réparée de-
puis; j'y ai fait rajouter en plus une suite originale, celle des entiers n tels que -1 soit une puis-
sance 62 modulo n. Ces entiers sont liés aux propriétés palindromiques 63 de certaines mélodies
autosimilaires.
D'autres propriétés intéressantes, et à ma connaissance inédites, ont surgi de l'étude
de ces mélodies: ordre maximal d'une application affine, définition des mélodies autosimilaires
commme limites asymptotiques d'extraction de toute mélodie périodique. D'autres propriétés
déjà connues par ailleurs, mais demeurées obscures, ont pris un sens nouveau grâce à l'orienta-
tion que leur ont donnée mes recherches. Ainsi en va-t-il du lemme ésotérique qui assure que
tout polynôme à coefficients modulo p, n'ayant pas 0 comme racine, divise un X n-1 pour n as-
sez grand. Lorsque je l'ai retrouvé, ce lemme m'a permis de prouver que tout motif fini «pave
modulo p».
Enfin, pour conclure provisoirement cette liste (qui, je l'espère, continuera de s'en-
richir), il me semble que seul un musicien pouvait s'interroger sur le nombre d'intervalles géné-
rateurs d'une gamme, même s'il a fallu requérir des compétences de mathématicien pour établir
que ce nombre ne peut jamais être 14,par exemple 64. C'est en étudiant les diverses opérations
musicales sur les gammes (transpositions, inversions) et les rapports algébriques entre elles que
j'ai été amené à classer toutes les spectral units rationnelles d'ordre fini, qui sont (entre autres
représentations) des matrices de passage entre gammes homométriques. Recherche qui m'a in-
cidemment fait découvrir le fait beaucoup plus simple, que la différence entre deux nombres
inversibles modulo n décrit le sous-groupe d'indice 2 de Z/nZ 65.
62 Les premières valeurs sont 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33…
63 Mon intérêt pour les palindromes est largement né de la passion que leur voue Moreno Andreatta, qui avait remarqué
que nombre de canons de Vuza exhibent une certaine "palindromicité", quand ce n'est pas une palindromicité
certaine.
64 Puisque j'ai prouvé que ce nombre est toujours de la forme Φ(n) où Φ est la fonction d'Euler.
65 Et le groupe tout entier quand n est impair.