Emmanuel Amiot Modèles algébriques et algorithmes pour la ...

Mon article du Journal of Mathematics and Music, joint dans le dossier annexe 38, dé-
montre rigoureusement tout en la généralisant, cette découverte de Quinn. En effet, il m'a paru
nécessaire de prouver précisément 39 le fondement géométrique de cette propriété, qui est un
lemme trigonométrique (appelé « Huddling Lemma » dans [MESets]), notamment pour cla-
rifier le cas plus délicat des multi-ensembles qui apparaissent dans le cas des ME Sets dégéné-
rés — comme la gamme octatonique par exemple.
Au passage, j'ai démontré une conjecture de Quinn concernant certains ME sets
particuliers (ceux de type III dans sa nomenclature — cette propriété ne figure pas dans l'arti-
cle du JMM, mais on peut la trouver dans celui de la Revue de Mathématiques et Sciences Humai-
nes); j'ai également complètement décrit tous les cas de maximalité de tous les coefficients de
Fourier des pc-sets, et retrouvé alors de manière élégante le théorème de l'hexacorde de Babbit
(avec diverses généralisations, en particulier à tout groupe abélien compact) 40. Ce dernier
point, vu l'argument utilisé, mérite d'être approfondi ici : quand on prend B=A dans les équa-
tions ci-dessus, on obtient le contenu intervallique de A, IC(A) en lieu et place de IFUNC(A,
B) (c'est l'histogramme des intervalles présents entre les notes de A, ou, comme l'exprimait jo-
liment Lewin dans un de ses derniers articles, la probabilité que tel intervalle soit ouï si l'on
joue des notes de A au hasard). De plus, la DFT de cet histogramme donne le module alternative au title carré
(i.e. l'amplitude) de la DFT de A:
Proof If A ∈ Zc has c/2 elements, then as mentioned above, F Zc\A = −FA
F(ICA) =|FA| 2 = |F Zc\A| 2 = F(IC Zc\A) Hence (by inverse D
Cette formule permet de comparer As far astrès I know, facilement this short le contenu proof was intervallique first published de A in et [1] after I men
memorial days in july 2005. But considering the coincidence in time of Lew
celui de son complémentaire, ce qui est with précisément Babbitt, it is l'énoncé almost certain du théorème that hede was l'hexacorde. aware of it. Plus Perhaps the har
in his first paper explain why he did not publish it. It is left to the read
exercise, to prove in the same way the Generalized Hexachord Theorem,
and many others.
38 « David Lewin and Maximally Even Sets », Journal of Mathematics and Music (2007) vol. 3.
Ci-après cité comme [MESets].
2 Maximally Even Sets and their Fourier Transforms
The attribute ‘maximally even’ applies to pitch class sets, which — in com
the same cardinality — are as evenly as possible distributed within Zc. Thi
regular sets, which exist only for cardinalities d dividing the number c of pi
case — where d and c are mutually coprime — was well studied in [8].
extensive study of the general case in [7] is an explicit construction of gen
formula for this construction was later termed J-function. It departs from
numbers 0, c
c
, ..., (d − 1)
d d and ‘digitizes’ them within Zc in terms of the re
of these ratios mod c: 0, 39 Les évidences sont bien souvent trompeuses. J'ai récemment élucidé le nombre de générateurs possibles d'une
gamme monogène (comme la gamme majeure ou la gamme pentatonique, engendrées par des quintes), qui porte
bien mal son nom puisque (contrairement aux parties monogènes, alias séquences arithmétiques, dans R par
exemple) ce nombre peut être arbitrairement grand — mais n'est jamais égal à 14 par exemple, cf. mon article
« On the number of generators of a musical scale », http://arxiv.org/abs/0909.0039.
40 Ce point a été publié indépendamment dans la revue de vulgarisation mathématique Quadrature. Par ailleurs j'ai
récemment étendu le théorème de l'hexacorde à des groupes compacts non nécessairement commutatifs (non publié).
c c
, ..., (d − 1) mod c. The J-function includ
d
d
p. 25
J α c,d : k ↦→ kc + α
,k =0. . . d − 1.
d