UVOD U EKONOMETRIJU

odstupanja (eng. outliers), µcija prisutnost moµze bitno promijeniti izgled
regresijskog pravca, budući da je metoda najmanjih kvadrata izuzetno osjetljiva
na takve udaljene toµcke. Uobiµcajeno je rješenje tog problema da se
opaµzanja vezana za udaljene toµcke jednostavno izbace iz analize. Pri tome
se me†utim mora pristupiti vrlo paµzljivo jer ponekad te udaljene toµcke u
sebi mogu sadrµzavati bitne informacije o vezi izme†u analiziranih varijabli.
Na temelju kriterija minimizacije kvadrata odstupanja iz Slike 2.2 vidimo
da je pravac P1 bolji od pravca P2. Ali nitko nam ne jamµci da je pravac
P1 najbolji izme†u svih mogućih pravaca koje moµzemo potegnuti kroz dijagram
disperzije po kriteriju minimizacije kvadrata odstupanja. Moramo
li na temelju reµcenoga potegnuti kroz toµcke dijagrama disperzije veliki broj
pravaca i na temelju njihovog zbroja kvadrata odstupanja odluµciti koji je od
njih najbolji, ili drugim rijeµcima koji ima minimalni P e 2 i ? Takav bi pristup
bio sigurno vremenski jako rastrošan i na kraju ne bismo imali konaµcan odgovor,
tj. ne bismo imali nikakvu sigurnost da je našpravac, najbolji me†u
onima koje smo testirali, i najbolji me†u onima koje nismo testirali. Ovaj
problem riješio je njemaµcki matematiµcar Carl Friedrich Gauss na sljedeći
naµcin. Za model s jednom nezavisnom varijablom
y i = b 0 + b 1 x i + e i (2.1)
moramo izabrati parametre b 0 i b 1 tako da minimiziraju P e 2 i : Da bismo
dobili parametri s tim svojstvima moramo parcijalno derivirati izraz P e 2 i
po b 0 i b 1 i izjednaµciti prve derivacije s nulom kako bismo dobili ekstreme
funkcija (minimum).
Kriterij najmanjih kvadrata moµzemo de…nirati kao
nX
nX
Min e 2 i = Min (y i b 0 b 1 x i ) 2 (2.2)
i=1
i=1
gdje y i oznaµcava stvarnu vrijednost y za i-to opaµzanje, a n oznaµcava broj
opaµzanja.
Parcijalnim deriviranjem izraza 2.2 po parametrima b 0 i b 1 i izjednaµcavanjem
prve derivacije s nulom dobivamo jednadµzbe
@
@b 0
P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P (y i b 0 b 1 x i ) = 0 (2.3)
@
@b 1
P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0: (2.4)
Simultanim rješavanjem jednadµzbi 2.3 i 2.4 po parametrima b 0 i b 1 (cjeloviti
izvod prikazan je u Dodatku A.1) dobijemo vrijednosti parametara
koje imaju svojstvo minimizacije sume kvadrata odstupanja prikazanih u
jednadµzbi 2.2 koje glase
P P (xi x) (y i y) ~xi ~y i
b 1 = P (xi x) 2 = P ~x
2
(2.5)
i
21