UVOD U EKONOMETRIJU

Sveučilište Jurja Dobrile u Puli 

Odjel za ekonomiju i turizam 

„Dr. Mijo Mirković“ 

Alen Belullo 

UVOD U EKONOMETRIJU




UVOD U EKONOMETRIJU 

Sveučilišni udžbenik 

Autor: Doc. dr. sc. Alen Belullo

Copyright © Belullo, Alen 

Nakladnik: 




Za nakladnika: 

Prof. dr. sc. Robert Matijašić, rektor 

Recenzenti: 

Dr. sc. Goran Buturac 

Prof. dr. sc. Ante Rozga 

Lektura: 

Marija Belullo, prof. 

Objavljivanje ove knjige odobrio je Senat Sveučilišta Jurja Dobrile u Puli 

odlukom Klasa: 003-08/11-02/70-01, Ur. broj: 380/11-01/-1 od 15. prosinca 

2011. godine sukladno Zaključku Povjerenstva za izdavačku djelatnost 

Sveučilišta Jurja Dobrile u Puli od 28. studenog 2011. godine. 

UVOD U EKONOMETRIJU/ Alen Belullo. – Pula: 

Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjel za ekonomiju i 

turizam „Dr. Mijo Mirković“, 2011. 

Bibliografija. 

ISBN 978-953-7498-50-4 

1. Belullo, A.

Sadrµzaj 

Predgovor 

iii 

1 Uvod u regresijsku analizu 1 

1.1 Pojam ekonometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Koraci u ekonometrijskoj analizi . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.2.1 Odre†ivanje teorije ili hipoteze . . . . . . . . . . . . . 2 

1.2.2 Speci…kacija matematiµckog modela . . . . . . . . . . . 2 

1.2.3 Speci…kacija ekonometrijskog modela . . . . . . . . . . 3 

1.2.4 Prikupljanje podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.5 Procjena ekonometrijskog modela . . . . . . . . . . . . 9 

1.2.6 Testiranje hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.2.7 Prognoziranje i predvi†anje . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.3 Regresijska funkcija populacije i regresijska funkcija uzorka . 11 

2 Parametri modela dobiveni metodom najmanjih kvadrata 18 

2.1 Procjena parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.2 Svojstva regresijskog pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.3 Svojstva procjenitelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3 Pokazatelji kvalitete regresije 32 

3.1 Koe…cijent determinacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.2 Znaµcajnost procjenitelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.2.1 Standardna greška procjenitelja . . . . . . . . . . . . . 39 

3.2.2 Testiranje hipoteza nad procjeniteljima . . . . . . . . 42 

A Izvodi i dokazi 57 

A.1 Izvod parametara modela s jednom nezavisnom varijablom 

metodom najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

B Matematika 59 

B.1 Neka svojstva operatora zbrajanja P . . . . . . . . . . . . . . 59 

i

C Statistika 61 

C.1 Distribucije vjerojatnosti izvedene iz normalne distribucije . . 61 

D Podaci 62 

D.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

E Statistiµcke tablice 63 

ii

Predgovor 

Ovaj udµzbenik nastaje iz potrebe da studenti lakše shvate teorijske pretpostavke 

na kojima se temelji metoda najmanjih kvadrata. Cilj je bio napisati 

rad koji polazi od osnovnih ekonometrijskih pojmova, tj. namijenjen je µcitatelju 

koji nema nikakvog predznanja iz tog podruµcja, ali je ipak pisan u 

strogoj matematiµckoj formi, kako bi se izbjegle zamke nedoreµcenosti, u koje 

upadaju mnogi udµzbenici iz ekonometrije, pisani za poµcetnu razinu. Kako 

ne bi prosjeµcnom µcitatelju opterećivali tekst sloµzeniji matematiµcki dokazi 

i osnove teorije distribucije vjerojatnosti, dani su u dodacima. Matematiµcka 

notacija konzistentna je kroz cijeli rad (npr. populacijske vrijednosti 

su uvijek oznaµcene grµckim alfabetom, dok vrijednosti uzoraka uvijek latinskom 

abecedom, velikim podebljanim slovima oznaµcene su matrice, malim 

podebljanim slovima vektori, nepodebljani izrazi su skalari, varijable u devijacijskoj 

formi su uvijek prikazane tildom itd.). 

U knjizi se nadalje, zbog potreba poopćavanja, paralelno koristi obiµcna 

algebra, karakteristiµcna za poµcetniµcke udµzbenika, i matriµcna algebra, karakteristiµcna 

za napredne udµzbenike iz ekonometrije. Na taj se naµcin pokušao 

premostiti jaz, koji postoji izme†u poµcetnih udµzbenika i naprednih udµzbenika 

iz ekonometrije, tj. da se zorno prikaµze na koji se naµcin mogu poopćiti 

«obiµcne» jednadµzbe kojima se prikazuju jednostavniji modeli (npr. modeli s 

jednom nezavisnom varijablom) putem matriµcnog zapisa istih ekonometrijskih 

izraza koji vrijede za sloµzenije modele (npr. s k 1 nezavisnih varijabli). 

Na taj se naµcin moµze dobiti dojam elegancije i kompaktnosti matriµcnog zapisa, 

a korištenjem matriµcno orijentiranih softwarea brzo i e…kasno rješavati 

zadatke prikazane u knjizi. 

U knjizi su prikazani mnogobrojni primjeri i zadaci te su dani svi podaci 

potrebni µcitatelju da bi mogao sam jednostavno reproducirati prikazane 

dobivene rezultate. 

Osim studentima, koji slušaju predmet Ekonometrija, Analiza vremenskih 

nizova, Ekonometrija II, namijenjen je i istraµzivaµcima koji µzele dobiti 

µcvrste temelje, kako bi shvatili samu bit regresijske analize pomoću metode 

najmanjih kvadrata. Što se tiµce potrebnog predznanja, da bi se knjiga mogla 

lako µcitati, potrebno je samo osnovno znanje iz matriµcne algebre. 

Knjiga je podijeljena u tri poglavlja: u prvom dijelu objašnjava se poiii

jam ekonometrije, koraci u ekonometrijskoj analizi te regresijska funkcija 

populacije i uzorka; u drugom dijelu objašnjava se na koji se naµcin dobivaju 

parametri metodom najmanjih kvadrata, svojstva regresijskog pravaca i 

procjenitelja, da bi se u zadnjem dijelu prikazali pokazatelji kvalitete regresije. 

Budući da je ova knjiga proizašla iz dijelova priprema za predavanja iz 

predmeta Ekonometrija µzelio bih se zahvaliti svim studentima koji su svojim 

komentarima i pitanjima tijekom predavanja doprinijeli da se knjiga pribliµzi 

njihovim potrebama i boljem razumijevanju gradiva, kao i svim onim studentima 

koji su uspješno detektirali tiskarske greške u radnim verzijama 

ovog rada, jer sam svjestan da je rat s tiskarskim greškama bespovratno 

izgubljen, ali poneka je bitka dobivena, zahvaljujući njima. Nadalje, posebno 

bih se zahvalio profesorici Mariji Bušelić i Sanji Blaµzević koje su svojom 

beskrajnom upornošću i altruizmom doprinijele da ova knjiga uopće ugleda 

svjetlost dana. Za tehniµcku podršku zahvalio bih se Ðaniju Buriću. Na kraju 

volio bih reći jedno veliko hvala bliµzim µclanovima moje obitelji na njihovim 

sugestijama i lekturi, te za uvijek prisutnu podršku kada su s dubokim razumijevanjem 

µcesto morali podnositi moja prevrtljiva raspoloµzenja tijekom 

njezinog nastajanja. 

iv

Poglavlje 1 

Uvod u regresijsku analizu 

1.1 Pojam ekonometrije 

Ekonometrija doslovno znaµci ekonomsko mjerenje. Ekonometriju moµzemo 

de…nirati kao znanstvenu disciplinu koja se bavi empiriµckim dokazivanjem 

ekonomskih zakona de…niranih u ekonomskoj teoriji. Usko je vezana uz 

discipline: ekonomska teorija, matematiµcka ekonomija i ekonomska 

statistika. 

Ekonomska teorija postavlja svoje zakone uglavnom na kvalitativnoj razini, 

tj. odre†uje smjer kretanja zavisnosti odre†enih ekonomskih pojava, 

bez odre†ivanja veliµcine i znaµcajnosti tih veza. 

Matematiµcka ekonomija izraµzava ekonomsku teoriju u odre†enoj matematiµckoj 

formi (jednadµzbe), bez osvrtanja na empiriµcku provjeru tih teorija. 

Ekonomska statistika bavi se prikupljanjem, obradom i prezentiranjem 

ekonomskih pokazatelja u obliku tablica i slika. Ekonomska statistika ne bavi 

se provjerom ekonomskih teorija na temelju tako prikupljenih podataka. 

Znaµci, ekonometrijom se provjeravaju, koristeći se metodama matematiµcke 

ekonomije i podacima dobivenim iz statistike, jesu li valjane ekonomske 

teorije za odre†eni uzorak (populaciju). 

Ekonometriju moµzemo podijeliti u dvije glavne skupine: teorijska ekonometrija 

i primijenjena ekonometrija. Teorijska ekonometrija bavi se 

razvijanjem ekonometrijskih metoda, dok se primijenjena ekonometrija bavi 

primjenjivanjem ekonometrijskih metoda koje je razvila teorijska ekonometrija 

na konkretnim ekonomskim problemima. 

Teorijska i primijenjena ekonometrija mogu koristiti ili Bayesov ili klasiµcni 

pristup statistiµckom zakljuµcivanju. Glavna je razlika izme†u ova dva 

pristupa u njihovom poimanju vjerojatnosti. Po Bayesovom pristupu vjerojatnost 

se odnosi na stupanj razumno prihvatljivog uvjerenja; vjerojatnost je 

vezana za stupnjeve pouzdanosti koje istraµzivaµc unaprijed ima o nekom empiriµckom 

fenomenu (prije samog promatranja podataka). Drugim rijeµcima 

po Bayesu imamo subjektivni pristup konceptu vjerojatnosti. Po klasiµcnom 

1

pristupu vjerojatnost se odnosi na frekvenciju pojavljivanja odre†enog doga†aja 

u ponovljenim izvlaµcenjima, ili imamo objektivni pristup konceptu 

vjerojatnosti. 

1.2 Koraci u ekonometrijskoj analizi 

Ekonometrijska analiza slijedi odre†en put, a to je: 

1. Odre†ivanje teorije ili hipoteze 

2. Speci…kacija matematiµckog modela 

3. Speci…kacija ekonometrijskog modela 

4. Prikupljanje podataka 

5. Procjena ekonometrijskog modela 

6. Testiranje hipoteza 

7. Predvi†anje i prognoziranje 

1.2.1 Odre†ivanje teorije ili hipoteze 

Svoje teorije i hipoteze ekonometrija uglavnom preuzima, kao što smo rekli, 

iz ekonomske teorije. Tako je npr., J. M. Keynes rekao da ako se raspoloµziv 

dohodak stanovništva poveća, tada će se, uz ostale nepromijenjene uvjete, 

povećati potrošnja stanovništva, ali za manje od povećanja raspoloµzivog dohotka. 

Ne govori nam ništa u prilog tome koliko će se potrošnja povećati za 

jediniµcno povećanje raspoloµzivog dohotka, već nam govori samo o smjeru zavisnog 

kretanja tih varijabli i da je graniµcna sklonost potrošnji stanovništva 

izme†u 0 i 1. 

1.2.2 Speci…kacija matematiµckog modela 

Iako je Keynes pretpostavio pozitivnu vezu izme†u potrošnje i raspoloµzivog 

dohotka, nije speci…cirao precizni oblik funkcionalne veze izme†u tih 

varijabli. Matematiµcka ekonomija sugerira sljedeću funkcionalnu formu: 

gdje: 

y = potrošnja 

x = raspoloµziv dohodak 

0 = autonomna potrošnja 

1 = graniµcna sklonost potrošnji 

y = 0 + 1 x 0 < 1 < 1 (1.1) 

2

y 

y = β + 1x 

0 

β 

Potrošnja 

1 

β 1 

β 0 

Raspoloživ dohodak 

x 

Slika 1.1: Deterministiµcki model 

Jednadµzba (1.1) govori nam da je potrošnja linearno ovisna o dohotku jer 

imamo linearnu funkciju (polinom prvog stupnja). To je matematiµcki model 

izme†u potrošnje i dohotka koji se u ekonomiji zove funkcija potrošnje. 

Općenito modelom zovemo skup matematiµckih jednadµzbi. Jednadµzbe ne 

moraju biti linearne već mogu poprimiti razliµcite funkcionalne forme (logaritamske, 

eksponencijalne, itd.). U prikazanom sluµcaju model µcini samo jedna 

linearna jednadµzba. y i x zovemo varijablama modela. Varijablu x, koja 

ne ovisi o drugim varijablama u modelu, zovemo nezavisnom ili egzogenom 

varijablom, dok varijablu y, koja u našem sluµcaju ovisi o varijabli x 

zovemo zavisnom ili endogenom varijablom. 0 i 1 zovu se parametri 

ili koe…cijenti modela. O vrijednostima parametara ovisi izgled funkcije. 

0 odre†uje odsjeµcak na ordinati, koji se u ekonomiji interpretira kao autonomna 

potrošnja, dok 1 odre†uje nagib ili smjer funkcije, što se u ekonomiji 

interpretira kao graniµcna sklonost potrošnji. 

1.2.3 Speci…kacija ekonometrijskog modela 

Jednadµzba 1.1 prikazuje egzaktnu ili deterministiµcku vezu izme†u varijable 

x i varijable y. Me†utim, veze izme†u ekonomskih varijabli uglavnom 

nisu egzaktne stoga se pojavljuje potreba za ukljuµcivanjem stohastiµckog elementa 

" u matematiµcki model. Ukljuµcivanjem stohastiµckog elementa " 

matematiµcki se model 1.1 pretvara u ekonometrijski (stohastiµcki) mo- 

3

del: 

y = 0 + 1 x + " 0 < 1 < 1: (1.2) 

Stohastiµcki element " zovemo i sluµcajno odstupanje, sluµcajna greška 

ili rezidual. 

y 

y = β + 1x 

0 

β 

Potrošnja 

+ 

ε 

− 

ε 

Raspoloživ dohodak 

x 

Slika 1.2: Ekonometrijski model 

Na Slici 1.2 prikazan je ekonometrijski model funkcije potrošnje. Iz Slike 

1.2 vidimo da svaku toµcku moµzemo odrediti deterministiµckim dijelom y = 

0 + 1 x kojemu dodajemo sluµcajno odstupanje ". Sluµcajno odstupanje 

moµze biti pozitivno (iznad pravca) ili negativno (ispod pravca). Sluµcajno 

odstupanje preuzima na sebe vrijednosti svih varijabli koje su izostavljene 

iz modela, a koje utjeµcu na ponašanje y i greške koje se pojavljuju uslijed 

krive funkcionalne forme. Moµzemo reći da se sluµcajna greška " pojavljuje 

zbog: 

1. Neodre†enosti teorije: ekonomska teorija teµzi pojednostavljivanju stvarnog 

svijeta i stoga u teorijske modele ne ulaze sve varijable koje bi 

mogle utjecati na y, već samo one koje se smatraju vaµznijima, kako bi 

se ekonomski modeli zadrµzali jednostavnima. 

2. Nedostupnosti podataka: npr. moµzemo smatrati da na potrošnju pojedinaca 

utjeµce, osim njihovog raspoloµzivog dohotka, i njihovo bogatstvo. 

Dok je raspoloµziv dohodak dostupna informacija, bogatstvo je 

µcesto nedostupan podatak. 

4

3. Manje vaµznih varijabli: pretpostavimo da, osim raspoloµzivog dohotka, 

na potrošnju utjeµcu i sljedeće varijable: broj djece, spol, vjera, 

obrazovanje i zemljopisni poloµzaj. Moguće je pretpostaviti da je njihov 

utjecaj na potrošnju slab, nesustavan i stoga sluµcajan. Stoga se iz 

praktiµcnih razloga te varijable izostavljaju, a njihov zajedniµcki utjecaj 

na zavisnu varijablu y ulazi u sluµcajnu grešku ". 

4. Sluµcajnosti koje su svojstvene ljudskom ponašanju: kada bismo i uspjeli 

ukljuµciti u model sve relevantne varijable, uvijek postoji u ponašanju 

pojedinca odre†ena doza sluµcajnosti koja se ne moµze racionalno 

objasniti, ma koliko mi to pokušavali. 

5. Loših zamjenskih varijabli: µcesto varijable koje predlaµze ekonomska 

teorija nisu neposredno mjerljive. U poznatoj funkciji potrošnje Miltona 

Friedmana permanentna potrošnja ovisi o permanentnom dohotku. 

Me†utim, niti je permanentni dohodak, niti je permanentna potrošnja 

neposredno mjerljiva veliµcina, već se procjenjuju na temelju njihovih 

tekućih vrijednosti. U tom sluµcaju moµze doći do greške u njihovoj procjeni. 

Ovu će mjernu grešku tako†er na sebe preuzeti sluµcajna greška 

". 

6. Krive funkcionalne forme: iako smo ispravno u model ukljuµcili relevantne 

varijable moguće je da smo pogriješili u odabiru funkcionalne 

forme. Npr. pretpostavimo da je umjesto y = 0 + 1 x + " ispravan 

model y = 0 + 1 x + 2 x 2 + ". U modelu sa samo dvije varijable lako 

je na temelju izgleda dijagrama disperzije odrediti funkcionalnu formu. 

Me†utim, u modelima s više nezavisnih varijabli to postaje vrlo teško 

jer nije moguće prikazati višestruko dimenzionalni dijagram disperzije. 

Greška, koja se pojavljuje uslijed odabira krive funkcionalne forme, ući 

će u sluµcajnu grešku ". 

1.2.4 Prikupljanje podataka 

Parametre 0 i 1 modela 1.2 procjenjuju se na temelju opaµzanja varijabli 

x i y koji se dobiju iz statistike. Opaµzanja o varijablama mogu se prikupljati 

za vremenska razdoblja, pa govorimo o vremenskim nizovima (eng. 

time series). Osim toga mogu se prikupljati za pojedince, grupe pojedinaca, 

predmete ili za geografska podruµcja, pa govorimo o podacima vremenskog 

presjeka (eng. cross section). Obje se vrste podataka mogu kombinirati 

da bi se dobili zdruµzeni podaci vremenskih nizova i vremenskih 

presjeka (eng. pooled cross sections). 

Vremenski nizovi 

Vremenski se nizovi sastoje od opaµzanja jedne ili više varijabli kroz vrijeme. 

Takvi se podaci mogu prikupljati dnevno (npr. cijene dionica), tjedno 

5

(npr. ponuda novca), mjeseµcno (npr. indeks cijena, stopa nezaposlenosti), 

kvartalno (npr. BDP), godišnje (npr. drµzavni proraµcun), desetogodišnje 

(npr. popis stanovništva). 

Tablica 1.1: Potrošnja i BDP u Hrvatskoj od 1997. do 2005. godine 

Godina 

Potrošnja (C) 

u milijardama kuna 

BDP (Y) 

u milijardama kuna 

1997. 79.023 123.811 

1998. 82.741 137.604 

1999. 83.336 141.579 

2000. 109.500 152.519 

2001. 99.611 165.639 

2002. 100.139 181.231 

2003. 115.081 198.422 

2004. 122.100 212.826 

2005. 130.576 229.031 

Izvor: International Financial Statistics (IFS), Međunarodni monetarni fond, veljača 2007. 

U Tablici 1.1 prikazani su podaci o hrvatskoj potrošnji i BDP-u za razdoblje 

od 1997. do 2005. godine na temelju kojih moµzemo izraµcunati hrvatsku 

funkciju potrošnje. Vidimo da se radi o dva vremenska niza izraµzena 

na godišnjoj frekvenciji. Svi podaci koji ulaze u odre†enu ekonometrijsku 

analizu moraju biti izraµzeni u istoj vremenskoj frekvenciji (svi moraju biti 

godišnji, kao u gornjem sluµcaju, kvartalni, itd.) Podatke iz viših frekvencija 

moµzemo pretvoriti u niµze frekvencije (npr. kvartalne u godišnje) 

pomoću prosjeka za varijable koje prikazuju stanja (npr. cijene, kamatnjaci), 

ili pomoću zbrajanja za varijable koje prikazuju tokove (npr. BDP, 

potrošnja, investicije). S niµzih frekvencija na više frekvencije moguće 

je transformirati varijable pomoću statistiµckih metoda interpolacije (za stanja) 

i distribucije vrijednosti (za tokove). Vremenske nizove karakteriziraju 

trend i sezonska odstupanja (za frekvencije više od godišnjih) a njima 

se bavi jedan posebni dio ekonometrije koji se zove Analiza vremenskih 

nizova ili Ekonometrija vremenskih nizova. Na slici 1.3 prikazan je 

hrvatski BDP izraµzen u kvartalima (tromjeseµcno) gdje se jasno vidi da u 

promatranom razdoblju BDP ima znaµcajan trend rasta i velika sezonska odstupanja; 

BDP je najveći u 3. kvartalu a najmanji u 1. kvartalu 1 . Drugim 

rijeµcima, vremenski nizovi µcesto nisu stacionarni procesi 2 , a stacionarnost 

je jedna od pretpostavki na kojima leµze ekonometrijski modeli. 

1 Jasno se vidi da je 1995. godine "podbacila" sezona uslijed redarstvenih akcija Bljeska 

i Oluje. 

2 Kaµze se da je vremenski niz stacionaran ako se njegova sredina i varijanca asimptotski 

ne mijenjaju tijekom vremena. 

6

150 

BDP 

bazni indeks 2000.= 100 

125 

100 

75 

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 

Slika 1.3: Hrvatski kvartalni BDP od 1993:1-2006:3 

Vremenski presjeci 

Podaci vremenskog presjeka su podaci jedne ili više varijabli prikupljeni u 

zadanoj vremenskoj toµcki. Kada bismo na taj naµcin htjeli prikupiti podatke 

na temelju kojih bismo mogli procijeniti funkciju potrošnje u Hrvatskoj, 

morali bismo prikupiti npr. opaµzanja o dohotku i potrošnji po gradovima ili 

µzupanijama. 

U Tablici 1.2 prikazan je vremenski presjek (za 2004. g.) potrošnje i 

BDP-a za tranzicijske zemlje. Vidimo da se skup opaµzanja u ovom sluµcaju 

ne sastoji od razliµcitih godina, već od podataka za razliµcite zemlje za 2004. 

godinu. Ako ne bismo imali na raspolaganju podatke za sve zemlje za 2004. 

g., mogli bismo koristiti za neke zemlje i podatke iz 2003. ili 2005. godine, 

ako smatramo da nije došlo do strukturnih promjena u tim godinama. 

Drugim rijeµcima, u analizi vremenskih presjeka moµzemo zanemariti manje 

razlike u vremenu prikupljanja podataka. Kao što vremenski nizovi imaju 

svoje speci…µcne probleme (stacionarnost), tako i vremenski presjeci imaju 

svoje speci…µcne probleme, me†u kojima je najznaµcajniji heterogenost podataka. 

Dijagramom disperzije na slici 1.4 prikazan je odnos izme†u BDP-a i potrošnje 

u tranzicijskim zemljama. Imamo male zemlje s malim BDP-om kao 

što su Makedonija, Bugarska, Hrvatska, Slovenija i Slovaµcka, zemlje sa sred- 

7

Tablica 1.2: Potrošnja i BDP 2004. godine u tranzicijskim zemljama 

Zemlja 

Potrošnja (C) 

u milijardama US $ 

BDP (Y) 

u milijardama US $ 

Bugarska 16.518 24.225 

Hrvatska 20.249 35.295 

Češka 54.818 108.212 

Mađarska 68.572 102.157 

Makedonija 4.182 5.368 

Poljska 161.921 252.254 

Rumunjska 51.277 75.574 

Slovačka 23.833 42.011 

Slovenija 17.874 32.601 


njim BDP-om kao Rumunjska, µCeška i Ma†arska, i na kraju imamo Poljsku 

koja znatno odskaµce po svojoj veliµcini. U tom sluµcaju, imamo heterogene 

podatke i zato moramo voditi raµcuna o tzv. efektu razmjera ili efektu 

opsega. 

Zdruµzeni podaci i panel (uzduµzni) podaci 

Ako kombiniramo vremenske nizove s vremenskim presjecima dobijemo zdru- 

µzene podatke. 

Posebna vrsta zdruµzenih podataka, u kojima se kroz razliµcite vremenske 

toµcke pojavljuju iste vremenski presjeµcne jedinice (iste obitelji, iste zemlje, 

itd.), zovu se panel ili uzduµzni (longitudinalni) podaci. Tablica 1.3 prikazuje 

uzduµzne podatke o potrošnji i BDP-u za tranzicijske zemlje. U tom 

sluµcaju imamo za svaku vremenski presjeµcnu jedinicu (zemlju) niz vremenskih 

toµcaka (od 1997. do 2005. godine). Ako gledamo tablicu kroz njezine 

retke, vidimo vremenski presjek, ali ako je gledamo kroz stupce, vidimo vremenski 

niz. Znaµci, uzduµzni podaci su kombinacija vremenskih presjeka i 

vremenskih nizova za iste vremenski presjeµcne jedinice. 

Pretpostavimo, me†utim, da se u dvije razliµcite godine (2000. i 2005.) 

istraµzivala funkcija potrošnje hrvatskih obitelji s pitanjima o njihovim dohocima 

i potrošnji. Kada bismo ukljuµcili samo opaµzanja iz 2000. godine, ili 

samo opaµzanja iz 2005. godine, radilo bi se o vremenskom presjeku. Me†utim, 

kako bi se povećao broj opaµzanja moµzemo zdruµziti podatke iz 2000. i 

2005. godine i tako dobiti zdruµzene podatke iz obje godine. Budući da su 

se obitelji za istraµzivanje birale sluµcajno, vrlo je mala vjerojatnost da je ista 

obitelj sudjelovala u istraµzivanju 2000. i 2005. godine. Stoga za razliµcite vremenske 

toµcke imamo razliµcite vremenski presjeµcne jedinice (obitelji). U tom 

sluµcaju ne govorimo o uzduµznim (panel) podacima nego samo o zdruµzenim 

(pooled) podacima. 

8

Slika 1.4: Odnos BDP-a i potrošnje u tranzicijskim zemljama 2004. godine. 

1.2.5 Procjena ekonometrijskog modela 

Kada imamo podatke, moµzemo procijeniti parametre funkcije potrošnje 1.2 

na temelju vrijednosti prikazanih u Tablici 1.1. Na Slici 1.5 prikazana je 

hrvatska funkcija potrošnje za razdoblje od 1997. do 2005. godine. 

Pravac koji prolazi kroz toµcke dijagrama disperzije nacrtali smo na naµcin 

da minimiziramo sumu kvadrata odstupanja. O toj metodi bit će više rijeµci 

u sljedećem poglavlju. Dobiveni koe…cijenti prikazanog pravca su: 

by = 21:42 + 0:47x: (1.3) 

Kapica nad y oznaµcava da se radi o procijenjenoj vrijednosti (prikazanoj 

pravcem) stvarne zavisne varijable y (prikazana toµckama). Iz procijenjene 

funkcije potrošnje prikazane u jednadµzbi 1.3 vidimo da je koe…cijent 

nagiba 0.47, što znaµci da bi u promatranom razdoblju povećanje BDP-a u 

Hrvatskoj za 1 kunu povećalo u prosjeku potrošnju stanovništva za 47 lipa. 

Iz Slike 1.5 vidimo da smo provukli regresijski pravac kroz dijagram 

disperzije. Kada se, me†utim, priµca o linearnoj regresiji, ne misli se na 

linearnost u varijablama, već na linearnost u parametrima. Mogli smo 

kroz toµcke dijagrama disperzije povući i neki drugi oblik funkcije, kao npr. 

9

Tablica 1.3: Potrošnja i BDP u tranzicijskim zemljama u razdoblju od 1997. 

do 2005. g. (u milijardama US dolara) 

Godina 

1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 

Bugarska 

C 7.57 8.60 9.22 8.73 9.47 10.69 13.73 16.52 18.71 

Y 10.38 12.74 12.93 12.62 13.63 15.55 19.97 24.22 26.72 

Hrvatska 

C 12.83 13.01 11.72 13.22 11.94 13.60 17.18 20.25 21.95 

Y 20.10 21.64 19.91 18.42 19.86 23.03 29.62 35.29 38.49 

Češka 

C 30.72 32.58 31.84 29.77 32.08 38.56 47.23 54.82 61.50 

Y 57.13 61.85 60.19 56.71 61.84 75.27 91.35 108.21 123.97 

Mađarska 

C 28.28 29.37 30.67 30.25 34.22 44.00 57.59 68.57 75.10 

Y 45.72 47.05 48.04 47.96 53.32 66.71 84.42 102.16 110.37 

C 2.71 2.59 2.56 2.67 2.41 2.92 3.53 4.18 

Makedonija Y 3.72 3.58 3.67 3.59 3.44 3.79 4.63 5.37 

Poljska 

C 98.56 107.86 106.00 109.65 123.65 132.28 141.95 161.92 190.32 

Y 157.12 172.67 167.84 171.18 190.51 198.00 216.48 252.25 302.67 

Rumunjska 

C 26.06 31.81 26.49 25.95 28.10 31.56 39.29 51.28 73.16 

Y 35.13 42.00 35.67 37.04 40.13 45.76 59.51 75.57 97.25 

Slovačka 

C 11.67 12.38 11.72 11.57 12.25 14.20 18.70 23.83 27.21 

Y 21.56 22.43 20.60 20.45 21.11 24.52 32.98 42.01 47.43 

Slovenija 

C 11.45 12.12 12.50 11.08 11.20 12.38 15.66 17.87 18.87 

Y 19.72 21.04 21.56 19.31 19.77 22.29 28.07 32.60 34.35 


¸ 

y = 0 + 1 x 2 , ili ln y = 0 + 1 ln x, tj. nelinearan model u varijablama, 

me†utim, i dalje govorimo o linearnoj regresiji jer su prikazani modeli linearni 

u parametrima. Modeli tipa y = 0 + 2 1x, y = p 0 + 1 x; iako 

su linearni u varijablama, nisu linearni u parametrima i stoga govorimo o 

nelinearnim (u parametrima) regresijskim modelima. 

1.2.6 Testiranje hipoteza 

Kao što smo ranije rekli Keynes je oµcekivao da je graniµcna sklonost potrošnji 

izme†u 0 i 1. U sluµcaju Hrvatske procijenili smo u jednadµzbi 1.3 da je 

graniµcna sklonost potrošnji u Hrvatskoj u promatranom razdoblju bila 0.47. 

Kako bismo zakljuµcili da je dobiveni rezultat za Hrvatsku u suglasju sa 

Keynesijanskom ekonomskom teorijom, i da se ne radi o sluµcajnosti, moramo 

dodatno testirati je li ova vrijednost statistiµcki znaµcajno razliµcita od 0 i 

mogućnost da nije veća od 1. 

1.2.7 Prognoziranje i predvi†anje 

Na temelju jednadµzbe 1.3 moµzemo predvidjeti vrijednosti varijable y za zadane 

vrijednosti varijable x. Npr. moµzemo predvidjeti kolika će biti potrošnja 

stanovništva u Hrvatskoj ako BDP dosegne vrijednost od 250 milijardi kuna 

10

140 

130 

Potrošnja u milijardama kuna 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

100 120 140 160 180 200 220 240 

BDP u milijardama kuna 

Slika 1.5: Hrvatska funkcija potrošnje za razdoblje od 1997. do 2005. godine 

na sljedeći naµcin: 

by 250 = 21:42 + 0:47(250) = 138:92: 

Drugim rijeµcima, na temelju vrijednosti naših parametara prognoziramo 

da će potrošnja stanovništva biti 138:92 milijarde kuna, kada će BDP u 

Hrvatskoj iznositi 250 milijardi kuna. 

1.3 Regresijska funkcija populacije i regresijska funkcija 

uzorka 

Pretpostavimo da smo iz hipotetiµcke populacije studenata prikupili podatke 

o njihovom mjeseµcnom dohotku i o njihovoj mjeseµcnoj potrošnji. Studente 

smo podijelili na 10 dohodovnih razreda (od 100 kn do 1000 kn) i u Tablici 

1.4 prikazali njihove mjeseµcne potrošnje. Stoga imamo 10 …ksnih vrijednosti 

varijable x kojima odgovaraju razliµcite vrijednosti y. Drugim rijeµcima 

imamo 10 dohodovnih podpopulacija. 

Iz Tablice 1.4 jasno se vidi da se u svakoj dohodovnoj grupi studenti 

razliµcito ponašaju (imamo one sklonije štednji i one manje sklone štednji); 

tako npr. pojedini studenti koji imaju dohodak 300 kn troše više (250 kn 

11

Tablica 1.4: Mjeseµcna potrošnja i dohodak studenata (u kunama) 

Dohodak 

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 

80 120 190 240 290 350 460 500 600 700 

85 145 200 260 330 410 480 520 620 710 

90 150 230 300 365 445 490 540 640 750 

95 160 240 310 370 460 500 550 660 

100 165 250 330 375 480 510 590 680 

180 270 360 390 495 520 620 700 

200 410 530 650 

430 540 670 

560 

Ukupno 450 1120 1380 1800 2960 2640 4590 4640 3900 2160 

E ( y | x i 

) 90 160 230 300 370 440 510 580 650 720 

Potrošnja 

i 270 kn) nego pojedini studenti koji imaju dohodak 400 kn (240 kn i 260 

kn). Moµzemo, me†utim, primijetiti da unatoµc tim varijabilnostima postoji 

odre†eno pravilo da u prosjeku studenti koji imaju veći dohodak više i troše. 

To se jasno vidi iz aritmetiµckih sredina (ili prosjeka) svake podpopulacije 

koje su prikazane u zadnjem retku Tablice 1.4 koje zovemo vrijednostima 

uvjetnog oµcekivanja jer su uvjetovane zadanim vrijednostima varijable x. 

Uvjetno oµcekivanje oznaµcavamo s E (yjx i ) te µcitamo oµcekivana vrijednost 

y za zadanu vrijednost x. Tako npr. oµcekivana potrošnja studenata, koji 

imaju dohodak od 200 kn, iznosi 160 kn, dok je kod studenata, koji imaju 

800 kn, oµcekivana potrošnja 580 kn. 

Uvjetno oµcekivanje razlikuje se od matematiµckog (neuvjetnog) oµcekivanja 

E (y) koji prikazuje prosjeµcnu potrošnju svih 64 studenata populacije, 

neovisno o njihovom dohodovnom razredu. U našem bi sluµcaju matematiµcko 

oµcekivanje bilo E (y) = 

450+1120++2160 

64 = 400:625. 

Na slici 1.6 prikazan je dijagram disperzije na temelju Tablice 1.4. Spajanjem 

svih uvjetnih oµcekivanja za sve …ksne vrijednosti dohotka dobili smo 

regresijsku funkciju populacije (RFP) 3 koja u našem sluµcaju poprima 

oblik pravca. Sve toµcke kojima prolazi regresijski pravac populacije oznaµcava 

oµcekivanu potrošnju odre†enog dohodovnog razreda; tako npr. za razred 

200 kn oµcekivana potrošnja je 160 kn, za razred 500 kn oµcekivana potrošnja 

je 370 kn, itd. Općenito moµzemo reći da regresijska funkcija populacije predstavlja 

sve toµcke uvjetnih oµcekivanja zavisne varijable y za …ksne vrijednosti 

nezavisne varijable x. 

Na temelju tako de…nirane regresijske funkcije populacije moµzemo odrediti 

pojedinaµcnu potrošnju svakog studenta kao odstupanje od uvjetnog oµce- 

3 Na slici je oznaµcena sa E (yjx i). 

12

y 

E ( y | x ) 

800 i 

700 

600 

500 

510 

Potrošnja 

400 

300 

370 

200 

100 

160 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 

Dohodak 

x 

Slika 1.6: Regresijska funkcija populacije izvedena iz Tablice 1.4 

kivanja dohodovnog razreda kojemu pripada 

Stvarna potrošnja bit će 

" i = y i E (yjx i ) : 

y i = E (yjx i ) + " i : (1.4) 

Znaµci, potrošnja i tog studenta sastoji se od dva dijela: jedan je deterministiµcki 

ili sustavni dio E (yjx i ) kojeg moµzemo predvidjeti na temelju 

dohodovnog razreda kojemu student pripada te od " i što predstavlja slu- 

µcajno odstupanje ili nesustavni dio. Sluµcajno se odstupanje pojavljuje zbog 

utjecaja ostalih varijabli na potrošnju studenata a koje nisu ukljuµcene u model, 

kao npr. spol, stanuje li student s roditeljima ili je podstanar, društvo 

u kojemu se kreće, navike, itd 4 . Ako pretpostavimo da imamo linearnost 

E (yjx i ) u varijabli x i kao na slici 1.6 tada se jednadµzba 1.4 pretvara u 

y i = 0 + 1 x i + " i : (1.5) 

Naµzalost, u praksi nemamo na raspolaganju cjelokupnu populaciju već 

samo uzorak iz te populacije. Stoga je problem, s kojim smo suoµceni, da na 

4 Glavni razlozi pojavljivanja sluµcajne greške " i objašnjeni su u naslovu Speci…kacija 

ekonometrijskog modela na stranici 4. 

13

temelju poznavanja samo vrijednosti uzorka, izvuµcenog iz neke populacije, 

moramo procijeniti nama nepoznatu funkciju populacije prikazanu jednadµzbom 

1.5. Pretpostavimo da smo iz populacije prikazane u Tablici 1.4 izvukli 

jedan sluµcajan uzorak (Uzorak 1) potrošnje studenata za svaku dohodovnu 

grupu, prikazan u Tablici 1.5 

Tablica 1.5: Sluµcajni uzorci iz Tablice populacije 

Dohodak Potrošnja: uzorak 1 Potrošnja: uzorak 2 

100 80 95 

200 145 200 

300 270 240 

400 310 330 

500 375 390 

600 480 460 

700 530 500 

800 520 550 

900 700 640 

1000 750 700 

Moµzemo primijetiti da za svaku dohodovnu grupu (…ksna vrijednost x) 

imamo samo jednu vrijednost potrošnje (y), za razliku od populacije kada 

smo za svaku vrijednost x imali više vrijednosti y. Vrijednosti iz Tablice 

1.5 (Potrošnja: uzorak 1) prikazali smo na Slici 1.7 i provukli kroz toµcke 

regresijsku funkciju uzorka (RFU 1 ) koja u našem sluµcaju poprima izgled 

pravca kojeg ćemo oznaµciti 

^y i = b 0 + b 1 x i + e i (1.6) 

gdje je: 

^y i = procjenitelj E (yjx i ) 

b 0 = procjenitelj 0 

b 1 = procjenitelj 1 

e i = sluµcajno odstupanje uzorka koje interpretiramo kao procjenitelj " i : 

Cilj regresijske funkcije uzorka ^y i = b 0 +b 1 x i +e i je procijeniti nepoznatu 

regresijsku funkciju populacije y i = 0 + 1 x i + " i . 

Iz naše populacije, prikazane u Tablici 1.4, moµzemo izvući i drugi uzorak 

(Uzorak 2 koji je prikazan u Tablici 1.5). Na slici 1.7 vidimo da, iako izvuµceni 

iz iste populacije, regresijske funkcije uzoraka (RFU 1 i RFU 2 ) me†usobno 

se razlikuju zbog ‡uktuacije populacije oko regresijske funkcije populacije. 

Jedino u specijalnom sluµcaju, kada bi se sve toµcke populacije prikazane na 

slici 1.6 nalazile na regresijskom pravcu populacije, tada bi regresijski pravci 

uzoraka prikazani na slici 1.7 bili potpuno jednaki. Što je veća disperzija 

toµcaka oko regresijske funkcije populacije, to je vjerojatnost da su regresijske 

funkcije uzoraka me†usobno razliµcitije. Postavlja se, dakle, pitanje 

14

800 

RFU 1 

RFU 2 

700 

600 

500 

Potrošnja 

400 

300 

200 

100 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 

Dohodak 

Slika 1.7: Regresijske funkcije uzoraka temeljene na populaciji iz Tablice 1.4 

jesu li i pod kojim uvjetima regresijske funkcije uzoraka dobri procjenitelji 

regresijske funkcije populacije? 

Odgovor glasi da će regresijska funkcija uzorka biti dobar procjenitelj 

"nevidljive" regresijske funkcije populacije ako vrijede sljedeće pretpostavke 

o RFP, koje zovemo i pretpostavkama klasiµcnog linearnog regresijskog 

modela: 

1. Linearnost u parametrima: već smo rekli da kada govorimo o linearnim 

modelima govorimo o linearnosti u parametrima. Neki modeli mogu 

izgledati nelinearno u parametrima kao na primjer Cobb-Douglasova 

funkcija proizvodnje 5 y = 0 K 1L 2e " (1.7) 

koju, me†utim, moµzemo jednostavno linearizirati ako je logaritmiramo 

ln y = + 1 ln K + 2 ln L + " (1.8) 

gdje je a = ln 0 : Vidimo da je jednadµzba 1.8 nelinearna u varijablama 

(zbog logaritama), ali linearna u parametrima. U tom sluµcaju govorimo 

da je model prikazan jednadµzbom 1.7 suštinsko linearan model, 

5 Napomena: e u jednadµzbi (1.7) odnosi se na bazu prirodnog logaritma a ne na sluµcajno 

odstupanje uzorka. 

15

jer ga moµzemo odre†enim transformacijama pretvoriti u model linearan 

u parametrima. S druge strane, da je Cobb-Douglasova funkcija 

bila de…nirana kao 

y = 0 K 1L 2 

+ "; (1.9) 

ne bi je bilo moguće nikakvom transformacijom linearizirati. U tom 

sluµcaju govorimo da je model suštinsko nelinearan model i da ne 

zadovoljava pretpostavku o linearnosti u parametrima. 

2. Nestohastiµcnost varijable x: vrijednosti varijable x …ksirane su u ponovljenom 

uzorkovanju, kao na primjeru u Tablici 1.4 kada imamo 

razliµcite vrijednosti potrošnje (y) za …ksne (iste) vrijednosti dohotka 

(x). 

3. Sredina sluµcajne greške " i je jednaka nuli ili simboliµcki E (" i jx i ) = 0. 

Budući da regresijska funkcija populacije predstavlja uvjetno matematiµcko 

oµcekivanje E (yjx i ), tj. sredinu (prosjek) y za zadani x i , to znaµci 

da je zbroj pozitivnih i negativnih odstupanja " i za svaki zadani x i 

jednak nuli. 

Primjer 1.1 Zbrajanjem odstupanja od uvjetnog matematiµcko oµcekivanja 

za dohodovnu grupu 100 kn u Tablici 1.4 dobijemo (80 90) + 

(85 90) + + (100 90) = 10 + ( 5) + + 10 = 0. Isto vrijedi 

i za sve ostale dohodovne grupe. 

4. Homoskedastiµcnost: jednaka varijanca za sva opaµzanja ili simboliµcki 

V ar (" i jx i ) = E [" i E (" i jx i )] 2 = 2 : 

Razumno bi bilo oµcekivati, u našem hipotetiµckom primjeru, osim da 

studenti s većim dohotkom troše apsolutno više u odnosu na studente 

s manjim dohotkom, da varijanca odstupanja (rasipanje oko RFP, varijabilnost 

potrošnje unutar dohodovne grupe) bude veća za studente s 

višim dohocima u odnosu na one koji imaju manji dohodak i stoga manji 

"manevarski" prostor za potrošnju. Ako varijanca sluµcajne greške 

nije ista za sva opaµzanja, već ovisi o nekoj od nezavisnih varijabli (u 

našem sluµcaju raste s rastom dohotka) govorimo o heteroskedastiµcnosti, 

koju simboliµcki oznaµcavamo s Var(" i jx i ) = 2 i , gdje nam subskript 

i govori da varijanca sluµcajnog odstupanja " i nije konstantna. 

5. Odsutnost autokorelacije sluµcajnih odstupanja: za dvije …ksne vrijednosti 

x i i x j za (i 6= j), kovarijanca (korelacija) izme†u dva sluµcajna 

odstupanja " i i " j za bilo koji (i 6= j) je nula, ili simboliµcki 

Cov (" i ; " j jx i ; x j ) = E f[" i E (" i )] jx i g f[" j E (" j )] jx j g = 0: 

To znaµci da je odstupanje " sluµcajno, tj. da nema sustavni obrazac 

(kao npr. isti predznak s prethodnim opaµzanjem). 

16

6. Odsutnost multikolinearnosti: izme†u nezavisnih varijabli (kada ih 

imamo više) ne smije postojati savršena linearna veza. Ako postoji 

znaµcajna veza izme†u nezavisnih varijabli, vrlo je teško izolirati utjecaj 

pojedinih varijabli na zavisnu varijablu y. 

7. Kovarijanca izme†u " i i x i je nula, ili simboliµcki 

Cov (" i ; x i ) = E [" i E (" i )] [x i E (x i )] = 0: 

Kada smo de…nirali RFP u jednadµzbi 1.5 pretpostavili smo da x i " 

imaju zasebne utjecaje na y (deterministiµcki i nesustavni dio). Me†utim, 

kada bi oni bili me†usobno korelirani, takvi se zasebni utjecaji x 

i " na y ne bi mogli pravilno identi…cirati. 

8. Broj opaµzanja mora biti veći od broja parametara koji se procjenjuju: 

na temelju jednog opaµzanja (jedna toµcka u dvodimenzionalnom prostoru) 

ne moµzemo procijeniti pravac na tom prostoru; potrebne su nam 

minimalno dvije toµcke da odredimo parametre pravca 0 i 1 , drugim 

rijeµcima potrebna su nam barem dva opaµzanja. 

9. Varijabilnost vrijednosti x: vrijednosti varijable x ne smiju biti sve 

iste. Bolje je ako varijabla x ima veće ‡uktuacije jer se u tom sluµcaju 

varijablom x mogu bolje objasniti ‡uktuacije zavisne varijable y. 

10. Pravilno speci…ciran regresijski model: kada govorimo o pravilno speci- 

…ciranom modelu, govorimo o pravilno speci…ciranoj funkcionalnoj 

formi, pravilno speci…ciranim nezavisnim varijablama i pravilno 

speci…ciranim pretpostavkama o vjerojatnosti y, x, i ". 

17

Poglavlje 2 

Parametri modela dobiveni 

metodom najmanjih 

kvadrata 

U prethodnom poglavlju objasnili smo da ako vrijede pretpostavke o RFP-u 

mogu se donositi zakljuµcci o regresijskoj funkciji populacije (RFP) 

y i = 0 + 1 x i + " i 

na temelju regresijske funkcije uzorka (RFU) 

^y i = b 0 + b 1 x i + e i : 

Postavlja se, me†utim, pitanje kako procijeniti parametre b 0 i b 1 regresijske 

funkcije uzorka. 

2.1 Procjena parametara 

Tablica 2.1: Mjeseµcna potrošnja i dohodak studenata (u kunama) 

Student Potrošnja Dohodak 

Marko 100 150 

Ivan 250 300 

Mira 300 500 

Maja 210 400 

Ana 160 200 

Pretpostavimo da smo izabrali jedan reprezentativni uzorak studenata 

koji su nam dali podatke o njihovim mjeseµcnim potrošnjama i dohocima. 

Prikupljeni podaci prikazani su u Tablici 2.1. Ako vrijednosti iz Tablice 

18

350 

300 

250 

Potrošnja 

200 

150 

100 

50 

0 

0 100 200 300 400 500 600 

Dohodak 

Slika 2.1: Dijagram disperzije mjeseµcnog dohotka i potrošnje studenata (u 

kunama) 

2.1 prikaµzemo dijagramom disperzije, u kojemu svakom opaµzanju odgovara 

jedna toµcka u dvodimenzionalnom prostoru dobijemo Sliku 2.1. 

Iz prikazanih toµcaka vidimo da kada se vrijednost dohotka studenata 

povećava, povećava se i njihova potrošnja . Me†utim na temelju prikazanih 

toµcaka ne moµzemo toµcno kvanti…cirati npr.: koliko će studenti povećati 

potrošnju, ako im se dohodak poveća za 100 kn, kolika je vjerojatnost potrošnje 

studenta koji ima 450 kn dohotka, kolika je autonomna (koja ne 

ovisi o dohotku) potrošnja studenata, itd. Odgovore na ova pitanja moguće 

je dobiti ako kroz toµcke dijagrama disperzije provuµcemo odre†enu matematiµcku 

funkciju. Na temelju pozicioniranja toµcaka na dijagramu disperzije 

prikazanom na Slici 2.1 moµzemo pretpostaviti da je prikladni funkcionalni 

oblik regresijske funkcije pravac kojim bismo mogli objasniti vezu izme†u 

dohotka i potrošnje studenata. Problem koji se sada nameće je kako odrediti 

parametre pravca koji će ga de…nirati. Razumno bi bilo da pravac odredimo 

tako da minimiziramo zbroj svih odstupanja (greške), tj. min P e i : 

Iz Slike 2.2 vidimo da pravac P1 prolazi bliµze toµckama dijagrama disperzije 

od pravca P2. S druge strane ako zbrojimo odstupanja za P1 (- 

35+0+60+(-30)+10) vidimo da je rezultat P e i = 5, dok ako zbrojimo 

odstupanja za P2 (-180+(-120)+60+50+190) rezultat je P e i = 0. Drugim 

rijeµcima po kriteriju minimizacije odstupanja bolji je pravac P2 u odnosu 

19

350 

300 

+10 

P1 

∑ e i = 5 

∑ e 2 

= 5825 

i 

Potrošnja 

250 

200 

150 

100 

180 

35 

120 

+60 

30 

+50 

+190 

P2 

∑ e i = 0 

2 

∑ e i 

= 89000 

50 

0 

0 100 200 300 400 500 600 

Dohodak 

Slika 2.2: Kriterij minimalnih kvadrata odstupanja 

na pravac, koji "na oko" izgleda bolji, P1. Zašto? Vrijednosti odstupanja e i 

poprimaju pozitivne i negativne vrijednosti tako da se u njihovom zbrajanju 

me†usobno poništavaju. Tako u sluµcaju pravca P2, u kojemu su velika 

odstupanja, imamo u zbroju veće (potpuno) poništavanje vrijednosti odstupanja 

u odnosu na pravac P1, koji ima vidno manja odstupanja, ali koja se u 

zbroju ne poništavaju u cijelosti. Poništavanje vrijednosti u zbroju moµzemo 

izbjeći tako da kvadriramo vrijednosti e i : Iz Slike 2.2 vidimo da je za pravac 

P1 zbroj P e 2 i = ( 35)2 + 0 2 + + 10 2 = 5825 znatno manji u odnosu 

na pravac P2 gdje je P e 2 i = (( 180) 2 + ( 120) 2 + + 190 2 ) = 89000. 

Ako nam kriterij za vuµcenja pravca kroz toµcke dijagrama disperzije postane 

minimizacija P e 2 i ; tada vidimo da pravac, koji "na oko" izgleda bolji, 

bolji je i na temelju našeg postavljenog kriterija minimizacije kvadrata 

odstupanja koji sprjeµcava poništavanje pozitivnih i negativnih vrijednosti 

odstupanja. Metodu, koja se temelji na kriteriju minimizacije kvadrata odstupanja, 

zovemo Obiµcnom metodom najmanjih kvadrata (eng. OLS 

- Ordinary Least Square). 

Kvadriranjem odstupanja, osim što pretvaramo odstupanja u pozitivne 

vrijednosti, dajemo veću teµzinu većim (udaljenijim od regresijskog pravca) 

odstupanjima u odnosu na manja, budući da su vrijednosti kvadrirane. 

Problem se u tom sluµcaju moµze pojaviti u prisutnosti izuzetno udaljenih 

20

odstupanja (eng. outliers), µcija prisutnost moµze bitno promijeniti izgled 

regresijskog pravca, budući da je metoda najmanjih kvadrata izuzetno osjetljiva 

na takve udaljene toµcke. Uobiµcajeno je rješenje tog problema da se 

opaµzanja vezana za udaljene toµcke jednostavno izbace iz analize. Pri tome 

se me†utim mora pristupiti vrlo paµzljivo jer ponekad te udaljene toµcke u 

sebi mogu sadrµzavati bitne informacije o vezi izme†u analiziranih varijabli. 

Na temelju kriterija minimizacije kvadrata odstupanja iz Slike 2.2 vidimo 

da je pravac P1 bolji od pravca P2. Ali nitko nam ne jamµci da je pravac 

P1 najbolji izme†u svih mogućih pravaca koje moµzemo potegnuti kroz dijagram 

disperzije po kriteriju minimizacije kvadrata odstupanja. Moramo 

li na temelju reµcenoga potegnuti kroz toµcke dijagrama disperzije veliki broj 

pravaca i na temelju njihovog zbroja kvadrata odstupanja odluµciti koji je od 

njih najbolji, ili drugim rijeµcima koji ima minimalni P e 2 i ? Takav bi pristup 

bio sigurno vremenski jako rastrošan i na kraju ne bismo imali konaµcan odgovor, 

tj. ne bismo imali nikakvu sigurnost da je našpravac, najbolji me†u 

onima koje smo testirali, i najbolji me†u onima koje nismo testirali. Ovaj 

problem riješio je njemaµcki matematiµcar Carl Friedrich Gauss na sljedeći 

naµcin. Za model s jednom nezavisnom varijablom 

y i = b 0 + b 1 x i + e i (2.1) 

moramo izabrati parametre b 0 i b 1 tako da minimiziraju P e 2 i : Da bismo 

dobili parametri s tim svojstvima moramo parcijalno derivirati izraz P e 2 i 

po b 0 i b 1 i izjednaµciti prve derivacije s nulom kako bismo dobili ekstreme 

funkcija (minimum). 

Kriterij najmanjih kvadrata moµzemo de…nirati kao 

nX 

nX 

Min e 2 i = Min (y i b 0 b 1 x i ) 2 (2.2) 

i=1 

i=1 

gdje y i oznaµcava stvarnu vrijednost y za i-to opaµzanje, a n oznaµcava broj 

opaµzanja. 

Parcijalnim deriviranjem izraza 2.2 po parametrima b 0 i b 1 i izjednaµcavanjem 

prve derivacije s nulom dobivamo jednadµzbe 

@ 

@b 0 

P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P (y i b 0 b 1 x i ) = 0 (2.3) 

@ 

@b 1 

P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0: (2.4) 

Simultanim rješavanjem jednadµzbi 2.3 i 2.4 po parametrima b 0 i b 1 (cjeloviti 

izvod prikazan je u Dodatku A.1) dobijemo vrijednosti parametara 

koje imaju svojstvo minimizacije sume kvadrata odstupanja prikazanih u 

jednadµzbi 2.2 koje glase 

P P (xi x) (y i y) ~xi ~y i 

b 1 = P (xi x) 2 = P ~x 

2 

(2.5) 

i 

21

0 = y b 1 x (2.6) 

gdje y i x prikazuju sredine uzoraka, a ~x i ~y oznaµcavaju varijable x i y u 

njihovoj devijacijskoj formi 1 

~x i = x i x ~y = y i y: 

Korištenjem Gaussovih jednadµzbi 2.5 i 2.6 moµzemo dobiti parametre 

(procjenitelje) modela na temelju obiµcne metode najmanjih kvadrata u slu- 

µcaju jedne nezavisne varijable. 

Ako imamo više nezavisnih varijabli procjenitelje, temeljene na Gaussovoj 

metodi najmanjih kvadrata (OLS), moµzemo jednostavno dobiti korištenjem 

matriµcne algebre. 

Model sa (k 1) brojem nezavisnih varijabli 

y i = b 0 + b 1 x 1i + b 2 x 2i + + b (k 1) x (k 1)i + e i (2.7) 

moµzemo prikazati u matriµcnoj formi 

y = Xb + e (2.8) 

u kojoj 

2 3 2 

y 1 

y 2 

y = 6 7 

4 . 5 X = 6 

4 

y n 

gdje 

3 2 

1 x 11 x (k 1)1 

1 x 12 x (k 1)2 

. 

. . .. 

7 

. 5 b = 6 

4 

1 x 1n x (k 1)n 

3 

b 0 

b 1 7 

. 

b k 1 

2 

5 e = 6 

4 

3 

e 1 

e 2 

7 

. 5 

e n 

y = n 1 vektor stupac s opaµzanjima zavisne varijable 

X = n k matrica s opaµzanjima nezavisnih varijabli 

b = k 1 vektor stupac nepoznatih parametara 

e = n 1 vektor stupac odstupanja. 

Svaki element matrice X ima dva subskripta; prvi se odnosi na varijablu 

(stupac), dok se drugi odnosi na opaµzanje (redak). Tako npr. element x 24 

oznaµcava µcetvrto opaµzanje varijable x 2 . Interesantno je primijetiti da je prvi 

redak u matrici X ispunjen jedinicama. Ovaj redak odraµzava konstantni 

µclan koji se veµze za parametar b 0 . 

Našje cilj, kao i u sluµcaju sa samo jednom nezavisnom varijablom, minimizirati 

sumu kvadrata odstupanja koju u matriµcnoj algebri moµzemo pisati 

P 

min n e 2 i = min(e 0 e): (2.9) 

i=1 

1 Neka svojstva devijacijskih formi prikazana su u Dodatku A.1 

22

Iz jednadµzbe 2.8 imamo 

što sumu kvadrata odstupanja pretvara u 

e = y Xb; (2.10) 

e 0 e = (y Xb) 0 (y Xb) 

= y 0 y b 0 X 0 y y 0 Xb + b 0 X 0 Xb 

= y 0 y 2b 0 X 0 y + b 0 X 0 Xb: (2.11) 

Zadnji je korak moguć jer su b 0 X 0 y i y 0 Xb me†usobno jednaki skalari. 

Minimizirati sumu kvadrata odstupanja po parametrima modela moµzemo 

ako deriviramo e 0 e po parametrima i izjednaµcimo prvu derivaciju s nulom 

@ 

@b y0 y 2b 0 X 0 y + b 0 X 0 Xb = 2X 0 y+2X 0 Xb = 0; (2.12) 

iz µcega slijedi da 

b = X 0 X 1 X 0 y: (2.13) 

Za dobivanje jednadµzbe 2.13 nismo koristili nikakve pretpostavke o na- 

µcinu na koji se podaci generiraju. Jedino što pretpostavljamo je da postoji 

inverzna matrica (X 0 X) 1 , tj. da matrica X 0 X nije singularna matrica, 

što podrazumijeva da niti jedan redak (stupac) te matrice ne smije biti 

egzaktna linearna kombinacija ostalih redaka, što znaµci da nema 

multikolinearnosti (linearne veze izme†u nezavisnih varijabli). 

Tablica 2.2: Izraµcun vrijednosti procjenitelja (parametara) na temelju obiµcne 

metode najmanjih kvadrata odstupanja 

Student yi 

x 

x~ i 

y~i 

i x ~ 

i 

y 2 

i 

x ŷ 

i 

i ei 

e i 

Marko 100 150 104 160 16640 25600 126.34 26.34 693.87 

Ivan 250 300 46 10 460 100 199.15 50.85 2586.09 

Mira 300 500 96 190 18240 36100 296.22 3.78 14.29 

Maja 210 400 6 90 540 8100 247.68 37.68 1420.00 

Ana 160 200 44 110 4840 12100 150.61 9.39 88.18 

∑ 1020 1550 0 0 39800 82000 1020 0 4802.44 

Sredina 204 310 204 960.49 

Primjer 2.1 Iz jednadµzbi za parametre 2.5 i 2.6 i Tablice 2.2 moµzemo izraµcunati: 

P ~xi ~y i 

b 1 = P ~x 

2 

= 39800 = 0:48537 (2.14) 

i 

82000 

b 0 = y b 1 x = 204 0:48537 310 = 53: 535: (2.15) 

23

Isti smo rezultat mogli dobiti i korištenjem matriµcne forme iz jednadµzbe 

2.13 koja vrijedi za broj k nezavisnih varijabli pa stoga vrijedi i za sluµcaj 

samo jedne nezavisne varijable, kao u našem primjeru: 

gdje su 

Ako izraµcunamo 2 da 

2 

X = 

6 

4 

b = X 0 X 1 X 0 y 

1 150 

1 300 

1 500 

1 400 

1 200 

 

X 0 1 1 1 1 1 

X = 

150 300 500 400 200 

i da 

1 1 1 1 1 

X 0 y = 

150 300 500 400 200 

u konaµcnici imamo 

b = X 0 X 

1 X 0 y = 

5 1550 

1550 562 500 

3 2 

7 

5 ; y = 6 

4 

2 

 

6 

4 

2 

 

6 

4 

100 

250 

300 

210 

160 

1 150 

1 300 

1 500 

1 400 

1 200 

100 

250 

300 

210 

160 

3 

3 

7 

5 

3 

 

7 

5 = 

1020 

7 

5 = 356 000 

1 1020 

356 000 

5 1550 

1550 562 500 

 

; 

 

53: 535 

= 

: 

0:485 37 

(2.16) 

Vidljivo je da smo u 2.16 dobili identiµcni rezultat kao i u jednadµzbama 

2.14 i 2.15, tj. da je b 0 = 53:535, a b 1 = 0:48537. Drugim rijeµcima naš 

regresijski pravac uzorka (zaokruµzen na dvije decimale) dobiven metodom 

najmanjih kvadrata je 

^y i = 53:54 + 0:49x i : (2.17) 

Iz Tablice 2.2 vidimo da je P e 2 i = 4802:44 ovog pravca manja nego za 

pravce iz Slike 2.2. Ne samo to, već znamo da ne postoji pravac, me†u 

testiranima i ne testiranima do sada, koji bi imao manju sumu kvadrata 

odstupanja. Regresijski pravac iz 2.17 moµzemo gra…µcki prikazati kao na Slici 

2.3. Vidimo da za prvo opaµzanje (Marko iz Tablice 2.2) imamo dohodak od 

150; stvarnu potrošnju y 1 = 100 i Markovu procijenjenu potrošnju našim 

regresijskim pravcem od ^y 1 = 126:34. Stoga odstupanje regresijskog pravca 

2 Manipuliranje matricama olakšavaju matriµcno orijentirani raµcunalni paketi kao što su 

Matlab ili Scilab 

24

od stvarne vrijednosti (greška) u Markovom sluµcaju je (y 1 ^y 1 ) = e 1 = 

26:34. Ostale stvarne i procijenjene vrijednosti nisu prikazane na Slici 2.3 

nego ih moµzemo naći u Tablici 2.2. 

Potrošnja 

yˆ = 53.54 + 0. 49 

i 

x i 

ˆ = 274.04 y p 

y = 204 

yˆ1 =126.34 

y 1 

=100 

e1 = −26.34 

53.54 

0 

x 1 

=150 

x = 310 

x p 

= 450 

Dohodak 

Slika 2.3: Regresijski pravac uzorka 

Na temelju ovog dobivenog pravca moµzemo odgovoriti na pitanja na koje 

nismo mogli odgovoriti na temelju samo dijagrama disperzije kao što su: 

Koliko će studenti povećati potrošnju ako im se dohodak poveća za 

100 kn? Prva derivacija potrošnje po dohotku dobivenog pravca je 

d^y 

dx 

= 0:49, što znaµci da je graniµcna sklonost potrošnji reprezentativnog 

studenta 0:49, što nam govori da će od dodatne dobivene kune potrošiti 

49 lipa, ili ako dobije dodatnih 100 kuna, 49 kuna će potrošiti, a 51 

kunu uštedjeti. Gra…µcki 0:49 predstavlja koe…cijent smjera (nagib) 

regresijskog pravca na Slici 2.3. 

Kolika je vjerojatnost potrošnje studenta koji ima 450 kn dohotka? Iz 

našeg pravca imamo 

^y 450 = 53:54 + 0:49(450) = 274: 04; 

iz µcega moµzemo prognozirati da student koji ima 450 kn dohotka trebao 

bi trošiti 274:04 kn, kao što se jasno vidi iz regresijskog pravca na Slici 

2.3. 

25

Kolika je autonomna (koja ne ovisi o dohotku) potrošnja studenata? 

Potrošnja, koja ne ovisi o dohotku, u našem primjeru je 53:54 kn. To 

je i minimalna potrošnja našeg reprezentativnog studenta kada nema 

dohotka (x = 0; radi se o minimumu jer za dohodak vrijedi uvjet o nenegativnosti). 

Gra…µcki, kao što je prikazana na Slici 2.3, ta vrijednost 

oznaµcava odsjeµcak na ordinati regresijskog pravca. 

2.2 Svojstva regresijskog pravca 

Regresijski pravac dobiven metodom najmanjih kvadrata ima sljedeća svojstva: 

1. Regresijski pravac prolazi kroz sredinu uzoraka (x i y) kao što 

se jasno vidi na Slici 2.3. Ovo svojstvo proizlazi iz jednadµzbe 2.6 za 

izraµcunavanje parametra b 0 . Naime, ako je 

b 0 = y b 1 x (2.18) 

tada vrijedi da je 

y = b 0 + b 1 x (2.19) 

što nam govori da kada x poprima vrijednost svoje sredine x procijenjena 

vrijednost ^y je y: Drugim rijeµcima regresijski pravac prolazi kroz 

toµcku (x; y). 

Primjer 2.2 Lako moµzemo provjeriti da za x = 310 

^y 310 = 53:54 + 0:49(310) = 204 (2.20) 

^y poprima vrijednost 3 svoje sredine y = 204, kao što se vidi iz Tablice 

2.2. 

2. Sredina stvarnog y jednaka je sredini procijenjenog ^y. Svojstvo 

y = ^y proizlazi iz 4 ^y i = b 0 + b 1 x i 

= (y b 1 x) + b 1 x i 

= y + b 1 (x i x) : (2.21) 

Zbrajanjem lijeve i desne strane jednadµzbe 2.21 dobijemo 

P ^yi = ny + b 1 

P (xi x) : (2.22) 

3 Mala se greška pojavljuje u ovome izraµcunu uslijed zaokruµzivanja na dvije decimale. 

4 Napomena: ovo svojstvo vrijedi samo ako regresija ima konstantni µclan b 0, jer bez 

konstantnog µclana, kao što se jasno vidi iz izvoda, ne moµze se izvesti jednadµzba 2.21. 

26

Iz 

P 

Svojstva B.4 operatora zbrajanja (vidi Dodatak B.1) znamo da 

(xi x) = 0; što 2.22 pretvara u 

P ^yi = ny: (2.23) 

Ako lijevu i desnu stranu jednadµzbe 2.23 podijelimo s n; dobijemo 

P ^yi 

= ny 

n n 

^y = y: (2.24) 

Primjer 2.3 Iz Tablice 2.2 vidimo da je sredina stvarnog y = 204 

jednaka sredini procijenjenog ^y = 204. 

3. Suma odstupanja je nula 5 ( P e i = 0), što se jasno vidi iz Tablice 

2.2. Ovo svojstvo proizlazi iz uvjeta minimizacije kvadrata odstupanja 

po b 0 prikazanog u jednadµzbi 2.3 

@ P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P (y i b 0 b 1 x i ) = 2 P e i = 0 

@b 0 

(2.25) 

što povlaµci P e i = 0: Iz toga proizlazi da je i sredina odstupanja 

e = 

P 

ei 

n 

= 0: (2.26) 

4. Odstupanja e i i procijenjeni ^y i me†usobno su neovisni. Kovarijancu 

izme†u e i i ^y i moµzemo izraziti 

Cov (^y i ; e i ) = 1 nP 

^y i ^y (e i e) (2.27) 

n 

i=1 

Iz Svojstva 3. regresijskog pravca znamo da je e = 0; stoga da 

bi 

P 

izraz 2.27 bio nula (neovisnost izme†u ovih dviju varijabli) tada 

^yi ^y e i mora biti jednak nuli, ili ako pišemo u devijacijskoj formi 

P e^yi e i = 0: Regresijski pravac za dvije varijable u devijacijskoj 

formi moµzemo pisati bez konstantnog µclana 

e^yi = b 1 ~x i : (2.28) 

Varijable u devijacijskoj formi imaju sredinu nula, stoga regresijski 

pravac prolazi kroz ishodište (vidi Svojstvo 1. regresijskog pravca), 

iz µcega proizlazi da je odsjeµcak na ordinati tog pravca jednak nuli, ili 

drugim rijeµcima b 0 = 0: Na temelju jednadµzbe 2.28 moµzemo pisati 

P P e^yi e i = b 1 ~xi e i 

= b 1 

P ~xi (~y b 1 ~x i ) 

= b 1 

P ~xi ~y b 2 1 

P ~x 

2 

i : (2.29) 

5 Napomena: ovo svojstvo ne vrijedi kada nemamo konstantnog µclana b 0 u regresiji. 

27

Na temelju jednadµzbe 2.5 moµzemo pisati 

P ~xi ~y = b 1 

P ~x 

2 

i (2.30) 

što 2.29 pretvara u 

P e^yi e i = b 2 P 

1 ~x 

2 

i b 2 P 

1 ~x 

2 

i 

= 0: (2.31) 

Na ovaj smo naµcin dokazali da ne postoji linearna veza izme†u odstupanja 

i procijenjene zavisne varijable. U našem primjeru iz Tablice 2.2 

lako se moµze provjeriti da vrijedi P ^y i ^y e i = 0. 

5. Odstupanja e i i x i me†usobno su neovisni, drugim rijeµcima P x i e i = 

0. Ovaj zakljuµcak proizlazi iz uvjeta minimizacije kvadrata odstupanja 

po b 1 prikazanog u jednadµzbi 2.4 

@ P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P x i (y i b 0 b 1 x i ) = 2 P x i e i = 0 

@b 1 

(2.32) 

što povlaµci P x i e i = 0. Ovo svojstvo regresijskog pravca, tako†er se 

moµze lako provjeriti na primjeru iz Tablice 2.2. 

2.3 Svojstva procjenitelja 

Ako vrijede pretpostavke o regresijskoj funkciji populacije koje smo 

naveli na stranici 15 tada procjenitelji dobiveni metodom najmanjih kvadrata 

imaju odre†ena poµzeljna svojstva navedena u Gauss-Markovljevom 

teoremu: 

Gauss-Markovljev teorem: Ako vrijede pretpostavke klasiµcnog 

linearnog regresijskog modela, procjenitelji dobiveni metodom 

najmanjih kvadrata najbolji (naje…kasniji) su linearni nepristrani 

procjenitelji, tj. imaju minimalnu varijancu u klasi linearnih 

nepristranih procjenitelja. 

1. Linearnost: znaµci da je procjenitelj linearna funkcija sluµcajne varijable 

jer se moµze napisati kao linearna kombinacija pojedinih opaµzanja 

y. 

Primjer 2.4 Iz Tablice 2.2 moµzemo dobiti vektor b iz 

= 

 

33 

41 

2 

1025 

39 

164 

1 

8200 

b = X 0 X 1 X 0 y 

85 

164 

19 

8200 

23 

164 

9 

8200 

101 

164 

11 

8200 

2 

 

6 

4 

100 

250 

300 

210 

160 

3 

7 

5 

28

ili b 0 moµzemo dobiti iz linearne kombinacije 33 39 

41100+ 164 250 85 

164 300 

23 101 

164210 + 

164160 = 53: 537. Na sliµcan naµcin moµzemo dobiti vrijednost 

b 1 iz linearne kombinacije elemenata vektora y s drugim redom matrice 

(X 0 X) 1 X 0 . 

Stoga su procjenitelji dobiveni na taj naµcin, linearna kombinacija vrijednosti 

zavisne varijable y pa ih zovemo linearnim procjeniteljima. 

2. Nepristranost: znaµci da u ponovljenom uzorkovanju moµzemo oµcekivati 

da je procjenitelj u prosjeku jednak stvarnom populacijskom 

procjenitelju , što moµzemo pisati 

E(b) = : (2.33) 

Na slici 2.4 moµzemo vidjeti dvije distribucije dobivene ponovljenim 

Distribucija frekvencija 

Nepristrana 

Pristrana 

β 

E(b)=β 

E(b)≠β 

Slika 2.4: Nepristranost i pristranost procjenitelja 

E(b)=β 

uzorkovanjem iz iste populacije. 

Propozicija 2.1 Procjenitelj dobiven pomoću metode najmanjih kvadrata 

je nepristran, ili sredina distribucije bit će E(b) = . 

29

Dokaz. 

h 

E (b) = E X 0 X i h 

1 X 0 y = E X 0 X i 

1 X 0 (X + ") 

h 

= E X 0 X 1 X 0 X + X 0 X i h 

1 X 0 " = E I+ X 0 X i 

1 X 0 " 

h 

= + E X 0 X i 

1 X 0 " = : (2.34) 

Zadnji korak slijedi iz 

h 

E X 0 X i 

1 X 0 " 

h 

= E 

zato jer su X i " nezavisni i E ["] = 0. 

X 0 X 1 X 

0 i E ["] = 0 (2.35) 

Interesantno je primijetiti da u tom dokazu nismo koristili pretpostavke 

da nema autokorelacije i heteroskedastiµcnosti. To ukazuje da procjenitelji 

dobiveni metodom najmanjih kvadrata i u sluµcaju postojanja 

heteroskedastiµcnosti i autokorelacije reziduala su nepristrani 

sve dok sluµcajna greška ima sredinu nula i dok je neovisna od egzogenih 

varijabli. Izraz (X 0 X) 1 X 0 " iz jednadµzbe 2.34 moµzemo gledati 

kao regresija " na X. To ukazuje da će procjenitelji biti nepristrani, 

i u sluµcaju da smo zanemarili unijeti u model neku nedostajuću 

varijablu, sve dok je ta varijabla neovisna o ostalim X i ima sredinu 

0. Znaµci, pristranost procjenitelja, uslijed nedostajuće objasnidbene 

varijable, imat ćemo samo u sluµcaju ako je ona zavisna o drugim nezavisnim 

varijablama i ako ima sredinu razliµcitu od nule. Procjenitelj 

dobiven metodom najmanjih kvadrata normalno je distribuiran 

budući da je b linearna funkcija ", a " je normalno distribuiran 6 . 

3. E…kasnost: znaµci da procjenitelj dobiven metodom najmanjih kvadrata 

ima minimalnu varijancu izme†u svih linearnih procjenitelja koji 

su nepristrani. Na slici 2.5 prikazan je e…kasan i nee…kasan procjenitelj. 

Vidimo da su oba procjenitelja nepristrana, me†utim, e…kasan 

ima manje odstupanja (minimalno) oko sredine u odnosu na nee…kasnog 

procjenitelja. Gauss-Markovljev teorem ne odnosi se na nelinearne 

procjenitelje. Nelinearni procjenitelj moµze biti nepristran i 

imati manju varijancu u odnosu na procjenitelja dobivenog metodom 

najmanjih kvadrata. 

4. Konzistentnost: prethodna svojstva procjenitelja odnose se na svojstva 

konaµcnih uzoraka. Kada se veliµcina uzorka beskonaµcno poveća 

tada procjenitelji imaju odre†ena poµzeljna statistiµcka svojstva. Ta se 

svojstva zovu svojstva velikih uzoraka ili asimptotska svojstva. 

Konzistentnost je jedno takvo poµzeljno svojstvo, koje ima procjenitelj 

dobiven metodom najmanjih kvadrata. Kaµzemo da je procjenitelj 

konzistentan kada procjenitelj b povećanjem uzorka konvergira 

6 Vidi o tome više na stranici 42. 

30

Distribucija frekvencija 

Efikasan 

Neefikasan 

E(b)=β 

Slika 2.5: E…kasan i nee…kasan procjenitelj 

stvarnoj vrijednosti . Drugim rijeµcima kada je uzorak jako velik, 

vjerojatnost da je b razliµcit od veoma je mala ili formalno 

lim Pr fjb j > g = 0 za sve > 0 (2.36) 

n!1 

što znaµci, asimptotski gledano, da je vjerojatnost da procjenitelj, dobiven 

metodom najmanjih kvadrata, odstupa više od proizvoljne pozitivne 

vrijednosti od stvarnog parametra jednaka nuli. U tom sluµcaju 

kaµzemo da limes vjerojatnosti b je i pišemo 

plim b = : (2.37) 

µCesto se ne moµze dokazati da je neki procjenitelj nepristran; moguće je 

da u odre†enim nelinearnim i dinamiµckim modelima nepristran procjenitelj 

uopće ne postoji. U tim sluµcajevima konzistentnost je minimalni 

uvjet, koji se postavlja pred procjenitelja, kako bi bio koristan. Stoga 

su ekonometriµcari µcesto više zabrinuti konzistentnošću procjenitelja 

nego li njihovom (ne)pristranošću. 

31

Poglavlje 3 

Pokazatelji kvalitete regresije 

y 

y 

yˆ = 20 + 0. 8x 

yˆ = 20 + 0. 8x 

Nakon što smo procijenili parametre modela postavlja se pitanje koliko dobro 

tako dobiveni regresijski pravac pristaje opaµzanjima? Na slici 3.1 prika- 

0 x 0 

a) b) 

x 

Slika 3.1: Pristajanje regresijskog pravca opaµzanjima 

zana su dva istovjetna regresijska pravca uzorka izvuµcena iz dvije razliµcite 

populacije 

^y = 20 + 0:8x: 

U sluµcaju 3.1a) toµcke (opaµzanja) se grupiraju vrlo blizu regresijskom pravcu, 

dok se u sluµcaju 3.1b) grupiraju daleko od regresijskog pravca. Jasno je da 

gore navedeni regresijski pravac bolje pristaje sluµcaju a) nego sluµcaju b). 

32

3.1 Koe…cijent determinacije 

Uobiµcajen pokazatelj pristajanja regresijskog pravca nekim opaµzanjima je 

koe…cijent determinacije kojeg ćemo oznaµciti sa R 2 . Koe…cijent determinacije 

pokazuje koliko je varijance uzorka y objašnjeno našim modelom 

ili matematiµcki koe…cijent determinacije moµzemo de…nirati kao 

R 2 = 

1 

Var (^y) 

Var (y) = 

n 1 

1 

n 1 

P n 

i=i (^y i y) 2 P n 

P n 

i=i (y i y) 2 = i=i (^y i y) 2 

P n 

i=i (y i y) 2 (3.1) 

gdje 1 P n 

n 1 i=i (^y i y) 2 pokazuje "objašnjenu" varijancu y regresijskim pravcem 

a n 1 

P 

n 1 i=i (y i y) 2 "ukupnu" varijancu y. Drugim rijeµcima, nakon 

skraćivanja, koe…cijent determinacije regresijskog modela prikazuje dio ukupne 

varijance y koju smo objasnili regresijskim modelom. 

Na slici 3.2 prikazano 1 je za odre†enu vrijednost x i : 

ukupno odstupanje y od njegove sredine (y i 

y) 

regresijskim pravcem objašnjeno odstupanje y; (^y i 

y) 

regresijskim pravcem neobjašnjeno odstupanje y; (y i 

smo do sada oznaµcavali kao rezidual e i . 

^y) kojeg 

Propozicija 3.1 Kada je u modelu, dobiven metodom najmanjih kvadrata, 

prisutan konstantni µclan b 0 za y i = ^y i + e i vrijedi 

Var (y i ) = Var (^y i ) + Var (e i ) : 

Dokaz. Stvarnu vrijednost y i moµzemo izraµcunati na temelju zbroja procijenjene 

vrijednosti ^y i i sluµcajnog odstupanja e i 

Jednadµzbu 3.2 moµzemo pisati u devijacijskoj formi 

y i = ^y i + e i : (3.2) 

(y i y) = ^y i ^y + (e i e) (3.3) 

Iz Svojstva 3. regresijskog pravca, iz jednadµzbe 2.26 znamo da vrijedi 

e = 0 

1 Napomena: pogrešno bi bilo iz ove slike zakljuµciti da je ukupno odstupanje jednako 

zbroju objašnjenog odstupanja i neobjašnjenog odstupanja. Na slici je stvarna vrijednost 

postavljena tako da se mogu zornije prikazati te veliµcine, ali uoµcljivo je da kada bi se toµcka 

koja prikazuje stvarnu vrijednost y nalazila, recimo, izme†u regresijskog pravca i sredine 

y da bi ukupno odstupanje bilo manje od objašnjenog odstupanja. 

33

y 

( y i 

− y) 

y i 

y 

( y − ˆ) 

i 

y i 

( yˆ 

i 

− y) 

ˆ + 

yi = b0 

b1 

x i 

0 

x i 

x 

Slika 3.2: Ukupno, objašnjeno i neobjašnjeno odstupanje y od svoje sredine. 

a iz Svojstva 2. regresijskog pravca, jednadµzba 2.24 znamo da vrijedi 2 

^y = y 

Na temelju navedenih svojstava 3.3 moµzemo pisati 

(y i y) = (^y i y) + e i : 

Ako pre†emo operatorom sume i kvadriramo obje strane jednadµzbe dobijemo 

Izraz 

nX 

(y i y) 2 = 

i=1 

nX 

(^y i y) 2 + 2 

i=1 

nX 

(^y i 

i=1 

nX 

(^y i y) e i + 

i=1 

y) e i 

nX 

e 2 i : (3.4) 

predstavlja kovarijancu izme†u procijenjenog y i reziduala, što iz Svojstva 

4. regresijskog pravca, jednadµzba 2.31 znamo da je 0. Stoga 3.4 moµzemo 

pisati 

nX 

nX 

nX 

(y i y) 2 = (^y i y) 2 + e 2 i (3.5) 

i=1 

i=1 

2 Napomena: Svojstva 2. i 3. regresijskog pravca dobivena metodom najmanjih kvadrata 

ne vrijede kada u modelu nije prisutan konstantni µclan b 0:Vidi izvod tih Svojstava 

na stranici 27. 

i=1 

i=1 

34

i kada podijelimo s (n 

1) dobijemo 

ili 

P n 

i=1 (y i y) 2 

n 1 

P n 

i=1 

= 

(^y i y) 2 

+ 

n 1 

Var (y i ) = Var (^y i ) + Var (e i ) 

P n 

i=1 e2 i 

n 1 

µcime smo dokazali Propoziciju 3.1. 

Koristeći se ovim svojstvom koe…cijent determinacije moµzemo izvesti tako 

da podijelimo cijelu jednadµzbu s Var(y i ) te nakon skraćivanja za (n 1) 

dobijemo 

P n 

i=1 

1 = 

(^y i y) 2 P n P n 

P n 

i=1 (y i y) 2 + i=1 e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 = R2 i=1 

+ 

e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 (3.6) 

iz µcega slijedi da je koe…cijent deteminacije R 2 jednak 

R 2 = 1 

P n 

i=1 e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 : (3.7) 

Iz 3.7 vidimo da su vrijednosti koje R 2 moµze poprimiti izme†u 0 i 1. 

Jedino ako su sva odstupanja od regresijskog pravca jednaka nuli e i = 0 

tada je R 2 = 1. U tom sluµcaju sva opaµzanja leµze na regresijskom pravcu 

i govorimo o deterministiµckom, a ne više o stohastiµckom modelu. Ako je 

R 2 = 0 to znaµci da model ne objašnjava kretanje y ništa bolje od sredine 

uzorka y. Stoga moµzemo na R 2 gledati kao na pokazatelj koliko regresijski 

model bolje opisuje kretanje zavisne varijable u odnosu na trivijalni model 

koji sadrµzava samo konstantni µclan. 

Budući da R 2 mjeri objašnjenu varijaciju varijable y , on je osjetljiv na 

de…niciju te varijable. Na primjer objasniti potrošnju studenata u našem 

primjeru razliµcito je od objašnjenja kretanja logaritma potrošnje studenata, 

stoga niti koe…cijenti determinacije iz modela, koji imaju kao zavisnu varijablu 

potrošnju, nisu usporedivi s koe…cijentima deteminacije koji imaju zavisnu 

varijablu ln(potrošnja): Da bi koe…cijenti determinacije bili usporedivi 

izme†u razliµcitih modela, ti modeli moraju imati istu zavisnu varijablu. 

Budući da koe…cijent determinacije nema u svojem temelju odre†enu 

hipotezu koju testiramo, već pokazuje nam samo odnos objašnjene i ukupne 

varijance y, nemamo graniµcne vrijednosti na temelju kojih moµzemo zakljuµciti 

je li neka pojava dovoljno dobro objašnjena našim modelom. Što je veći 

R 2 , znaµci da smo veći dio pojave objasnili, ali teško je odrediti i što je 

to "veliki" koe…cijent determinacije. Vrijednost R 2 = 0:5 moµze biti niska 

u sluµcajevima kada analiziramo vremenske nizove, dok u sluµcaju analize 

vremenskih presjeka moµze biti zadovoljavajuće visoka, budući da je lakše 

objasniti agregatnu potrošnju zemlje kroz vrijeme (vremenski niz) u odnosu 

na potrošnju pojedinih kućanstava u zemlji (vremenski presjek). 

35

Primjer 3.1 Na temelju podataka iz Tablice 2.2 moµzemo izraµcunati koe…- 

cijent determinacije 

R 2 = 

P n 

i=i (^y i y) 2 

P n 

i=i (y i y) 2 = 19317:56 = 0:800 89: 

24120:00 

Budući da su jednadµzbe 3.1 i 3.7 istovjetne za model procijenjen pomoću 

metode najmanjih kvadrata s konstantnim µclanom, R 2 moµzemo dobiti i 

pomoću 

R 2 = 1 

P n 

i=1 e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 = 1 4802:44 

= 0:800 89: 

24120:00 

Ovaj nam koe…cijent determinacije govori da smo 80% varijacije potrošnje 

studenata uspjeli objasniti pomoću kretanja njihovog raspoloµzivog dohotka. 

Koe…cijenta determinacije, kao što je de…niran u 3.7 prate tri problema: 

1. Ne vrijedi za regresijske modele koji su izraµcunati metodom najmanjih 

kvadrata bez konstantnog µclana b 0 : Jednadµzbu 3.7 dobili smo iz 

pretpostavki 

e = 0 , ^y = y (3.8) 

koje ne vrijede kada nemamo konstantni µclan u modelu 3 . U tom slu- 

µcaju dobiveni koe…cijent determinacije iz 3.7 nije isti koe…cijentu determinacije 

iz 3.1. Kada nemamo konstantni µclan u modelu koristimo 

tzv. necentriranim koe…cijentom determinacije koji glasi 

necentrirani R 2 = 

P n 

i=1 ^y2 i 

P n 

i=1 y2 i 

= 1 

P n 

Pi=1 e2 i 

n 

i=1 y2 i 

: (3.9) 

Ovaj se pokazatelj zove necentrirani jer varijable nisu centrirane oko 

sredine ili nisu u devijacijskoj formi kao u sluµcaju obiµcnog koe…cijenta 

determinacije iz 3.1 koji stavlja u odnos centrirane varijable oko svojih 

sredina, pa se stoga µcesto zove i centrirani koe…cijent determinacije. 

Za raµcunanje necentriranog koe…cijenta determinacije, budući 

da ne koristi devijacijske forme, nije potrebno zadovoljavati svojstva 

iz 3.8. 

Primjer 3.2 Ako za procjenu potrošnje studenata iz Tablice 2.1 koristimo 

model bez konstantnog µclana b 0 

^y i = b 1 x i + e i 

3 Vidi Svojstvo 2 i 3 regresijskog pravca na stranici 27. 

36

centrirani R 2 izraµcunat pomoću jednadµzbe 3.1 je 

R 2 = 

dok izraµcunat pomoću 3.7 je 

P n 

i=i (^y i y) 2 

P n 

i=i (y i y) 2 = 33149:51 = 1: 374 4 

24120:00 

R 2 = 1 

P n 

i=1 e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 = 1 6891:56 

= 0:714 28: 

24120:00 

Necentrirani R 2 je 

îli alternativno 

necentrirani R 2 = 

P n 

i=1 ^y2 i 

P n 

i=1 y2 i 

= 225308:44 = 0:970 32 

232200:00 

necentrirani R 2 = 1 

P n 

Pi=1 e2 i 

n 

i=1 y2 i 

= 1 

6891:56 

= 0:970 32: 

232200:00 

Iz gonjeg primjera vidimo da su centrirani R 2 ; izraµcunati na temelju 

3.1 i 3.7, razliµciti 

P n 

i=i (^y i y) 2 

P n 

i=i (y i y) 2 6= 1 P n 

i=1 e2 i 

P n 

i=1 (y i y) 2 

i da je R 2 ; izraµcunat na temelju 3.1 veći od 1, što ukazuje da u tom 

sluµcaju ne vrijedi Var(y i ) =Var(^y i ) +Var(e i ). Jasno je da je tako izraµcunat 

R 2 pogrešno izraµcunat jer nisu zadovoljene pretpostavke iz 

3.8. S druge strane iz primjera 3.2 proizlazi da je necentrirani koe…- 

cijent determinacije ekvivalentan i kada nemamo konstantnog µclana u 

modelu. Odnosno, i dalje vrijedi 

P n P n 

Pi=1 ^y2 i 

n = 1 Pi=1 e2 i 

n : 

i=1 y2 i 

i=1 y2 i 

2. Ne vrijedi za regresijske modele koji nisu izraµcunati pomoću metode 

najmanjih kvadrata (OLS). Budući da smo koe…cijent determinacije 

izraµcunali na temelju Svojstava regresijskog pravca, izvedenog pomoću 

metode najmanjih kvadrata, tada, ako koristimo metodu najmanjih 

kvadrata, imat ćemo jednakost izme†u 3.1 i 3.7, no ako je regresijski 

pravac izraµcunat pomoću neke druge metode tada ta jednakost više 

ne vrijedi, stoga i tako izraµcunat R 2 ne vrijedi. Postoji alternativni 

naµcin raµcunanja koe…cijenta determinacije R 2 ; koji u sluµcaju metode 

najmanjih kvadrata ostaje isti kao u 3.1 i 3.7, a za ostale metode 

37

(ne OLS) procjenjivanja regresijskog pravca kreće se uvijek izme†u 

vrijednosti 0 i 1. Taj koe…cijent determinacije moµzemo izraµcunati kao 

R 2 = corr 2 (y i ; ^y i ) = 

P n 

i=1 (y i y) ^y i ^y 

( P n 

i=1 (y i y)) P n 

i=1 ^y i ^y ! 2 

; (3.10) 

tj. izraµcunavamo ga na temelju kvadriranog koe…cijenta korelacije izme†u 

stvarnih y i procijenjenih ^y. Ovako de…niran R 2 govori koliko se 

dobro mogu varijacije u y objasniti varijacijama u ^y; ili pokazuje jaµcinu 

linearne veze izme†u ovih dviju varijabli. Budući da se koe…cijent 

korelacije uobiµcajeno oznaµcava s r, zato se koe…cijent determinacije oznaµcava 

s R 2 da bi se naglasilo da je koe…cijent determinacije kvadrat 

koe…cijenta korelacije. 

Primjer 3.3 Na temelju podataka iz Tablice 2.2 imamo 

R 2 = corr 2 (y i ; ^y i ) = 0:8949 2 = 0:800 85: 

Iz gornjeg primjera proizlazi da je tako izraµcunat koe…cijent determinacije 

istovjetan koe…cijentima deteminacije koje smo izraµcunali na 

temelju 3.1 i 3.7. Interesantno je primijetiti da u sluµcaju samo jedne 

nezavisne varijable, kao u gornjem primjeru, budući da je procijenjeni 

^y linearna kombinacija samo x, moµzemo dobiti isti koe…cijent 

determinacije ako kvadriramo koe…cijent korelacije izme†u x i y; što 

se jasno vidi u sljedećem primjeru. 

Primjer 3.4 

R 2 = corr 2 (y i ; x i ) = 0:8949 2 = 0:800 85: 

3. R 2 nikada ne opada s povećanjem broja nezavisnih varijabli i kada dodatne 

varijable ne objašnjavaju kretanje zavisne varijable. Uobiµcajeni 

naµcin rješavanja tog problema je ukljuµcivanje u izraµcun koe…cijenta 

determinacije stupnjeve slobode, što nam daje tzv. korigirani R 2 

kojeg oznaµcavamo s 

R 2 = 1 

1 

P n 

(n k) i=1 e2 i 

1 

(n 1) 

P n 

i=1 (y i y) 2 : (3.11) 

Var(y i ) je neovisna od broja nezavisnih varijabli x, dok P n 

i=1 e2 i ovisi 

o 

P 

broju nezavisnih varijabli x, jer što je veći broj x-ova, smanjit će se 

n 

i=1 e2 i . Da bi se efekt smanjenja sume kvadrata reziduala pri uklju- 

µcivanju novih varijabli "kaznio", suma kvadrata reziduala dijeli se sa 

38

stupnjevima slobode (n k). U tom se sluµcaju koe…cijent determinacije 

ne povećava automatski s povećanjem broja regresora, već ovisi 

o tome je li nova varijabla više doprinijela smanjenju P n 

i=1 e2 i svojim 

ulaskom u model ili više štetila smanjenjem stupnjeva slobode (n k). 

Korigirani R 2 je uvijek manji od nekorigiranog R 2 , osim u sluµcaju kada 

model ukljuµcuje samo konstantni µclan pa su oba jednaka nuli. U 

ekstremnim sluµcajevima korigirani R 2 moµze biti negativan. 

Primjer 3.5 Na temelju podataka iz Tablice 2.2 korigirani koe…cijent 

determinacije bit će 

R 2 = 1 

1= (n k) P n 

i=1 e2 i 

1= (n 1) P n 

i=1 (y i y) 2 = 1 1= (5 2) 4802:44 

= 0:734 53: 

1= (5 1) 24120:00 

3.2 Znaµcajnost procjenitelja 

3.2.1 Standardna greška procjenitelja 

Na temelju jednadµzbe 2.13 procijenili smo vrijednosti parametara populacije 

na temelju jednog uzorka iz te populacije. Budući da se podaci mijenjaju 

u ovisnosti o uzorku kojeg vuµcemo iz neke populacije, mijenjaju se i parametri 

uzorka b kojima procjenjujemo parametre populacije . Postavlja 

se stoga pitanje koliko bi me†usobno odstupali parametri razliµcitih uzoraka 

s istim brojem opaµzanja koje vuµcemo iz iste populacije, ili koliko moµzemo 

biti sigurni da dobiveni parametri na temelju nekog uzorka precizno opisuju 

"nevidljive" parametre populacije? Zato što ne znamo stvarne vrijednosti 

populacije, zakljuµcke o odstupanjima u populaciji donosimo na temelju 

odstupanja u uzorku. Ako uzorak ima velika odstupanja oko regresijske 

funkcije, kao na Slici 3.1b); zakljuµcujemo da je taj uzorak izvuµcen iz neke 

populacije koja tako†er ima velika odstupanja. Ako su odstupanja velika, 

tada se iz populacije mogao izvući jedan drugi uzorak koji ima bitno razliµcite 

vrijednosti parametara regresijske funkcije uzorka u odnosu na naš prvo 

izvuµceni uzorak. U tom sluµcaju dobiveni parametri iz jednadµzbe 2.13 nisu 

pouzdani za opisivanje parametara populacije, ili drugim rijeµcima: ne mo- 

µzemo biti sigurni da parametri dobiveni iz uzorka precizno opisuju stvarne 

"nevidljive" parametre populacije. S druge strane ako su odstupanja oko 

regresijske funkcije uzorka mala, kao na Slici 3.1a), tada pretpostavljamo da 

je taj uzorak izvuµcen iz neke populacije koja ima mala odstupanja, i da bi 

parametri, koje bismo dobili iz ostalih uzoraka iste veliµcine, izvuµceni iz iste 

populacije, bili vrlo sliµcni parametrima regresijskog pravca iz prvog uzorka. 

Preciznost (pouzdanost) procjenitelja mjerimo standardnom devijacijom, 

koju zovemo i standardnom greškom procjenitelja i raµcunamo 

je na temelju varijance procjenitelja. Varijancu procjenitelja moµzemo 

izraziti 

Var (b) = E (b E [b]) (b E [b]) 0 : (3.12) 

39

Na temelju svojstva nepristranosti procjenitelja dobivenih metodom najmanjih 

kvadrata imamo 

E [b] = (3.13) 


2 

= 6 

4 

Var (b) = E (b ) (b ) 0 

E [b 1 1 ] 2 3 

E [(b 1 1 ) (b 2 2 )] E [(b 1 1 ) (b k k )] 

E [(b 2 2 ) (b 1 1 )] E [b 2 2 ] 2 E [(b 2 2 ) (b k k )] 

. 

. 

. 

.. 

7 

. 

5 

E [(b k k ) (b 0 0 )] E [(b k k ) (b 2 2 )] E [b k k ] 2 

(3.14) 

što moµzemo pisati 

2 

Var (b 1 ) Cov (b 1 ; b 2 ) Cov (b 1 ; b k ) 

Cov (b 2 ; b 1 ) Var (b 2 ) Cov (b 2 ; b k ) 

Var (b) = 6 

4 

. 

. 

. .. . 

Cov (b k ; b 1 ) Cov (b k ; b 2 ) Var (b k ) 

3 

7 

5 : (3.15) 

Vidimo da je matrica Var(b) simetriµcna matrica s varijancama parametara 

na glavnoj dijagonali i kovarijancama izme†u parametara na pozicijama 

izvan glavne dijagonale. 

Iz jednadµzbe 2.13 znamo da 

iz µcega imamo 

b = X 0 X 1 X 0 y = X 0 X 1 X 0 (X + ") 

= X 0 X 1 X 0 X + X 0 X 1 X 0 " 

= I + X 0 X 1 X 0 " 

+ X 0 X 1 X 0 " (3.16) 

(b ) = X 0 X 1 X 0 ": (3.17) 

Vrijednosti matrice Var(b) moµzemo stoga izraµcunati na temelju 

Var (b) = E (b ) (b ) 0 

h 

= E X 0 X 1 X 0 "" 0 X X 0 X i 1 

= X 0 X 1 X 

0 

2 I n 

 

X X 0 X 1 

= 2 X 0 X 1 X 0 X X 0 X 1 

= 2 X 0 X 1 : (3.18) 

40

Iz 3.18 poznata nam je vrijednost matrice (X 0 X) 1 . Me†utim skalar 2 

predstavlja varijancu regresijskog modela populacije koja nam je nepoznata. 

Moµzemo je procijeniti pomoću nepristranog procjenitelja varijance 

populacije izraµcunatog iz odstupanja uzorka 4 

s 2 = 

e0 e 

(3.19) 

n k 


Var (b) = 

e0 e 

n k X0 X 1 : (3.20) 

Standardne devijacije (greške) procjenitelja moµzemo izraµcunati tako da korjenujemo 

varijance ili 

sd (b) = p Var (b) 

r 

e 

= 

0 e 

n k (X0 X) 1 : (3.21) 

Iz jednadµzbe 3.18 vidimo da što je veća varijanca modela populacije 

2 (veća raspršenost oko regresijske funkcije populacije) da je veća i varijanca 

procjenitelja Var(b). Znaµci, ako imamo vrlo raspršenu populaciju oko 

regresijske funkcije populacije tada i regresijske funkcije uzoraka, koje su 

izvedene iz te populacije, mogu se me†usobno jako razlikovati. U sluµcaju 

da imamo malu raspršenost populacije oko regresijske funkcije populacije 

tada će uzorci izvedeni iz te populacije davati sliµcne vrijednosti parametara 

regresijskih funkcija uzoraka. 

Budući da ne znamo 2 , nju smo procijenili iz varijance uzorka s 2 (jednadµzba 

3.19), pretpostavljajući da ako uzorak ima velika odstupanja oko 

regresijske funkcije uzorka da i populacija iz koje je taj uzorak izvuµcen ima 

velika odstupanja oko regresijske funkcije populacije. 

Primjer 3.6 Na temelju jednadµzbe 3.21 moµzemo izraµcunati Var(b) za parametre 

iz primjera 2.1 na sljedeći naµcin: 

Var (b) = 4802:44 

1 

5 1550 

5 2 1550 562 500 

= 4802:44 

225 31 

164 8200 

31 1 

3 8200 82 000 

 

2196: 2 6: 051 9 

= 

: 

6: 051 9 0:01 952 2 

Vidimo da je Var(b 0 ) = 2196:2, Var(b 1 ) = 0:019522, te kovarijanca Cov(b 0 ; b 1 ) = 

6:0519. Standardna devijacija procjenitelja bit će 

sd (b 0 ) = p Var (b 0 ) = p 2196:2 = 46: 864 

sd (b 1 ) = p Var (b 1 ) = p 0:019522 = 0:139 72: 

4 Dokaz da se radi o nepristranom procijenitelju varijance populacije moµze se naći u [3], 

str. 48-49. ili [5], str. 30-31. 

41

Do sada nismo imali nikakvu pretpostavku vezanu za oblik distribucije 

odstupanja " i , osim što smo pretpostavili da su me†usobno nekorelirani, 

neovisni o X, da imaju sredinu nula i konstantnu varijancu. Me†utim da bi 

se moglo statistiµcki zakljuµcivati i testirati hipoteze moramo eksplicitno de- 

…nirati pretpostavku o distribuciji odstupanja. Uobiµcajena je pretpostavka 

da su odstupanja " i normalno distribuirana, tj. 

" N 0; 2 I n 

 

: (3.22) 

Drugim rijeµcima, vektor " normalno je distribuiran sa sredinom nula i s 

kovarijanµcnom matricom 2 I n . Iz jednadµzbe 3.16 vidimo da su procjenitelji 

b linearna funkcija vektora odstupanja " iz µcega slijedi da su procjenitelji 

dobiveni metodom najmanjih kvadrata tako†er normalno distribuirani sa 

sredinama i kovarijanµcnom matricom 2 (X 0 X) 1 tj. 

 

b N ; 2 X 0 X 1 

(3.23) 

iz µcega slijedi da je svaki element vektora b normalno distribuiran ili 

 

b k N k ; 2 X 0 X 

1 

(3.24) 

kk 

gdje (k; k) predstavlja element na glavnoj dijagonali matrice (X 0 X) 1 : 

3.2.2 Testiranje hipoteza nad procjeniteljima 

Pri statistiµckom testiranju hipoteza moµzemo uµciniti dvije vrste greške: mo- 

µzemo odbaciti hipotezu koja je istinita ili moµzemo ne odbaciti hipotezu koja 

je kriva. Odbacivanje istinite hipoteze u statistici se zove greška I. tipa, 

dok se neodbacivanje krive hipoteze zove greška II. tipa. Vjerojatnost nastanka 

greške I. tipa neposredno kontrolira istraµzivaµc proizvoljnim odabirom 

razine znaµcajnosti koja se u statistici oznaµcava s : Uobiµcajeno je testirati 

na razini znaµcajnosti od 5%, tj. s "ugra†enom" vjerojatnošću greške I. 

tipa od 5%. Postavlja se pitanje zašto dodatno ne smanjiti tu vjerojatnost 

greške, pa testirati na razini znaµcajnosti od 1% ili manje? Naµzalost na tim 

razinama znaµcajnosti dodatno smanjenje vjerojatnosti greške I. tipa drastiµcno 

povećava vjerojatnost da se uµcini greška II. tipa (koja se u statistici 

uobiµcajeno oznaµcava sa ), tj. da se ne odbaci hipoteza koja je kriva. Vjerojatnost 

da se ne uµcini greška II. tipa zove se snaga testa (1 ); odnosno 

snaga testa pokazuje sposobnost testa da odbaci krivu hipotezu. 

Ekonometrijski paketi pri testiranju razliµcitih hipoteza izraµcunavaju tzv. 

p vrijednost (p iz eng. probability) ili toµcnu razinu znaµcajnosti testa 

koja prikazuje najmanju razinu znaµcajnosti pri kojoj moµzemo odbaciti H 0 : 

Ako je p vrijednost manja od razine znaµcajnosti ; moµzemo odbaciti H 0 . 

Ona, tako†er, pokazuje osjetljivost odluke o odbacivanju nul hipoteze u 

odnosu na razinu znaµcajnosti. Tako npr. vrijednost p = 0:07 ukazuje da 

42

moµzemo odbaciti nul hipotezu na razini znaµcajnosti od 10%, ali ne i na 

razini znaµcajnosti od 5%. Kada moµzemo odbaciti H 0 , kaµzemo da su rezultati 

statistiµcki znaµcajni, a kada ne moµzemo odbaciti H 0 , kaµzemo da rezultati 

nisu statistiµcki znaµcajni. 

Za testiranje hipoteza o parametrima (procjeniteljima) modela koristit 

ćemo dva testa: t-test za testiranje zasebnih hipoteza i F-test za testiranje 

zajedniµckih hipoteza. 

t-test 

Iz jednadµzbe 3.24 slijedi da varijabla 

z = 

 

b k 

k 

2 (X 0 X) 1 

kk 

1=2 

(3.25) 

ima standardnu normalnu distribuciju, tj. sredinu nula i varijancu 1. Budući 

da nam nije poznata varijanca populacije 2 , zamijenit ćemo je procijenjenom 

nepristranom varijancom na temelju uzorka iz jednadµzbe 3.19, 

s 2 = 1 P 

n k e 

2 

i : Budući da su reziduali uzorka e i normalno distribuirani, njihova 

suma kvadrata P e 2 i ima 2 distribuciju 5 . Od tuda sluµcajna varijabla 

t k = 

 

b k 

k 

s 2 (X 0 X) 1 

kk 

1=2 

(3.26) 

predstavlja odnos standardizirane normalne varijable i drugog korijena varijable 

s 2 distribucijom. Budući da su ove dvije varijable i me†usobno 

nezavisne, tada sluµcajna varijabla t k ima Studentovu t distribuciju s (n k) 

stupnjeva slobode 6 . Studentova distribucija sliµcna je normalnoj distribuciji. 

Ima nešto deblje krakove u odnosu na normalnu distribuciju kada imamo 

mali broj stupnjeva slobode, no povećanjem broja stupnjeva slobode postaju 

sliµcnije i za dovoljan velik broj stupnjeva slobode postaju identiµcne. 

Slijedom gore reµcenog moµzemo konstruirati t-test kojim moµzemo testirati 

hipoteze o parametru populacije k pomoću 

k 

t k = b k 

sd (b k ) 

(3.27) 

koji ima t distribuciju s (n k) stupnjeva slobode. Vidimo da su nam u 3.27 

poznate sve veliµcine: parametar uzorka b k , standardna greška parametra 

uzorka sd(b k ) i vrijednost parametra populacije koju proizvoljno testiramo 

k :5 Vidi Dodatak C.1, teorem C.3. 

6 Vidi Dodatak C.1, teorem C.5. 

43

Dvostrani t-test Na temelju jednadµzbe 3.27 moµzemo testirati hipotezu 

da k poprima vrijednost k , tj. H 0 : k = k nasuprot alternativnoj 

hipotezi H 1 : k 6= k . Velika razlika u vrijednostima parametara uzorka b k; 

kojeg smo procijenili pomoću metode najmanjih kvadrata i testne veliµcine k 

podrazumijeva malu vjerojatnost da su te dvije veliµcine iste. U tom sluµcaju 

moµzemo lakše odbaciti H 0 . Nadalje iz brojnika jednadµzbe 3.27 moµzemo 

uoµciti da se povećanjem razlike izme†u b k i k testna statistika t k povećava 

u apsolutnoj vrijednosti. Stoga moµzemo lako zakljuµciti kako veća vrijednost 

jt k j implicira lakše odbacivanje H 0 . 

Interesantno je dalje primijetiti da povećanje veliµcine uzorka smanjuje 

standardnu grešku procjenitelja. Budući da se standardna greška procjenitelja 

nalazi u nazivniku jednadµzbe 3.27 to povećava t vrijednost. Veća t vrijednost 

podrazumijeva lakše odbacivanje H 0 što kod velikih uzoraka znatno 

smanjuje vjerojatnost greške II. tipa. Kako bi kompenzirali taj efekt, istra- 

µzivaµci uobiµcajeno smanjuju vjerojatnost greške I. tipa tako što smanje razinu 

znaµcajnosti njihovih testova. To objašnjava zašto je kod velikih uzoraka 

opravdano birati razinu znaµcajnosti od 1%, umjesto uobiµcajenih 5%, a kod 

vrlo malih uzoraka razinu znaµcajnosti od 10%. 

Budući da alternativna hipoteza H 1 : k 6= k dozvoljava vrijednosti 

koje su veće ali i manje od k , tada se takav test zove dvostrani test 

(testira se na oba kraka distribucije) µcije se kritiµcne vrijednosti t =2;(n k) 

de…niraju kao vjerojatnost 

Pr jt k j > t =2;(n k) = : (3.28) 

Odbacujemo H 0 ako je apsolutna vrijednost jt k j veća od kritiµcne vrijednosti 

t =2;(n k) gdje oznaµcava razinu znaµcajnosti a (n k) stupnjeve 

slobode. 

Primjer 3.7 Pretpostavimo da µzelimo testirati, s razinom znaµcajnosti od 

5%; hipotezu da je graniµcna sklonost potrošnji studenata, iz Tablice 2.1, 

0:6:Na temelju parametra kojeg smo izraµcunali u primjeru 2.1 i standardne 

devijacije koju smo izraµcunali u primjeru 3.6 moµzemo testirati H 0 : 1 = 0:6 

nasuprot alternativnoj hipotezi H 1 : 1 6= 0:6 pomoću t-testa na sljedeći 

naµcin: 

t 1 = b 1 1 0:485 0:6 

= = 0:823: 

sd (b 1 ) 0:1397 

U tablici Studentove distribucije vjerojatnosti E.2, prikazanoj u Dodatku, 

moµzemo naći kritiµcnu vrijednost t 0:025;3 = 3:1824: Budući da je u našem 

primjeru jt 1 j < t =2;(n k) , tj. 0:823 < 3:1824 zakljuµcujemo da ne moµzemo 

odbaciti nul hipotezu H 0 = 0:6 : 

Umjesto tablice Studentove distribucije mogli smo koristiti toµcnu razinu 

znaµcajnosti testa (p vrijednost) za dvostranu t distribuciju, s 3 stupnja 

44

slobode i testnom veliµcinom od 0:823, koju uobiµcajeno izraµcunavaju ekonometrijski 

paketi. U našem primjeru ona iznosi p = 0:4707, što nam govori 

da ne moµzemo odbaciti nul hipotezu jer vjerojatnost da smo uµcinili grešku 

ako odbacimo H 0 = 0:6 je 47:07%; mnogo veća od razine znaµcajnosti od 5% 

na kojoj testiramo. Budući da imamo vrlo mali uzorak (n = 5) opravdano 

bi bilo testirati na razini znaµcajnosti od 10%. Ali na temelju p vrijednosti 

od 47:07% odmah moµzemo zakljuµciti da i na razini od 10% ne moµzemo odbaciti 

nul hipotezu. Lako se moµze uoµciti da p vrijednost pokazuje "graniµcnu" 

razinu znaµcajnosti testa, ili najmanju razinu znaµcajnosti pri kojoj se moµze 

odbaciti nul hipoteza (u našem primjeru nul hipotezu moµzemo odbaciti tek za 

razine znaµcajnosti 47:07%). Statistiµcko zakljuµcivanje na temelju p vrijednosti 

identiµcno je zakljuµcivanju na temelju tablice Studentove distribucije 

vjerojatnosti. 

U prethodnom primjeru 3.7 vidjeli smo da rezultati testiranja nisu bili 

statistiµcki znaµcajni, ili da nismo mogli odbaciti H 0 = 0:6, što ne znaµci 

da automatski prihvaćamo vrijednost testiranog parametra 1 = 0:6 kao 

istinitu. U našem smo primjeru mogli testirati cijeli skup razliµcitih hipoteza 

koje ne moµzemo odbaciti na razini znaµcajnosti od 5%, kao što su npr. 

H 0 : 1 = 0:5; H 0 : 1 = 0:3; H 0 : 1 = 0:75: Bilo bi neozbiljno tvrditi da su 

sve te hipoteze istovremeno istinite, ili da ih sve istovremeno prihvaćamo. 

Stoga je jedini prikladni zakljuµcak da se gore navedene hipoteze ne mogu 

odbaciti. Drugim rijeµcima hipoteze u klasiµcnoj statistici ne prihvaćaju se, 

već se odbacuju ili ne odbacuju. 

Ekonometrijski paketi uobiµcajeno automatski prikazuju, pokraj vrijednosti 

parametara i njihovih standardnih devijacija, t vrijednosti kojima se 

testira hipoteza H 0 : k = 0, nasuprot hipotezi H 0 : k 6= 0. Budući da je u 

tom sluµcaju k = 0; t-test jednadµzbe 3.27 pretvara se u 

k 

t k = b k 

sd (b k ) = b k 0 

sd (b k ) = 

b k 

sd (b k ) ; (3.29) 

kojeg uobiµcajeno zovemo t-omjer. Ako je procijenjeni parametar znaµcajno 

razliµcit od 0; tada moµzemo reći da varijabla x k , koja se veµze za taj parametar, 

ima znaµcajan utjecaj na zavisnu varijablu y: Drugim rijeµcima, ako moµzemo 

odbaciti H 0 : k = 0, tada kaµzemo da je utjecaj varijable x k na y znaµcajan. 

Primjer 3.8 Je li utjecaj raspoloµzivog dohotka na potrošnju studenata iz 

Tablice 2.1 znaµcajan, moµzemo testirati pomoću 

t 1 = b 1 

sd (b 1 ) = 0:485 = 3: 472: 

0:1397 

Toµcna razina znaµcajnost testa iznosi p = 0:04; na temelju koje moµzemo sa 

znaµcajnošću od 5 i 10% odbaciti H 0 : 1 = 0: S druge strane, ako odaberemo 

razinu testiranja od 1% znaµcajnosti, tada ne moµzemo odbaciti tu istu 

45

nul hipotezu. Moµzemo stoga zakljuµciti da je utjecaj raspoloµzivog dohotka na 

potrošnju studenata statistiµcki znaµcajan ako testiramo sa znaµcajnošću od 5 i 

10%, no ako testiramo sa znaµcajnošću od 1%, ne moµzemo odbaciti hipotezu 

da raspoloµziv dohodak studenata ne utjeµce na njihovu potrošnju. 

Jednostrani t test Ponekad moramo testirati hipoteze nad parametrima 

koje imaju jednostranu alternativnu hipotezu. Ako testiramo hipotezu 

H 0 : k k , vidimo da će alternativna hipoteza H 1 : k > k biti jednostrana 

budući da uzima u obzir samo vrijednosti koje su veće od k . Ako 

razmotrimo jednadµzbu 3.27 vidimo da velika pozitivna razlika brojnika vodi 

ka velikoj pozitivnoj t k vrijednosti (standardna greška procjenitelja koja 

se nalazi u nazivniku izraza uvijek je pozitivna), a velika negativna razlika 

brojnika vodi ka velikoj negativnoj vrijednosti t k . Velika pozitivna razlika 

vodi ka odbacivanju H 0 , dok je velika negativna razlika u skladu s nul 

hipotezom H 0 : k k i ne vodi ka njezinom odbacivanju. Analogno, 

mogli smo konstruirati hipotezu H 0 : k k , sa H 1 : k < k : Kritiµcnu 

vrijednost za jednostrani test moµzemo stoga izraziti kao 

za H 0 : k k nasuprot H 1 : k > k te 

za H 0 : k k nasuprot H 1 : k < k : 

Pr t k > t ;(n k) = (3.30) 

Pr t k < t ;(n k) = (3.31) 

Primjer 3.9 Pretpostavimo da µzelimo testirati, s razinom znaµcajnosti od 

5%, hipotezu da je graniµcna sklonost studenata iz Tablice 2.1 jednaka ili 

veća od 0:6, ili H 0 : 1 0:6, nasuprot hipotezi H 0 : 1 < 0:6. Na temelju 

jednadµzbe 3.27 dobit ćemo 

t 1 = b 1 1 

sd (b 1 ) 

= 

0:485 0:6 

0:1397 

= 0:823; 

istu vrijednost koju smo dobili u primjeru 3.7 kada smo testirali dvostranim 

testom hipotezu H 0 : 1 = 0:6: Kritiµcna vrijednost za jednostrani test 7 s 5% 

znaµcajnosti i 3 stupnja slobode iznosi t 0:05;3 = 2:3534, dok je za dvostrani 

test iz primjera 3.7 bila t 0:025;3 = 3:1824: Budući da je u našem primjeru 

t 1 > t 0:025;3 , tj. 0:823 > 2:3534; na temelju jednadµzbe 3.31 ne moµzemo 

odbaciti s 5% znaµcajnosti hipotezu H 0 : 1 0:6: Ekonometrijski paketi uobi- 

µcajeno prikazuju p vrijednosti za dvostrane testove, koji su µcešći u praksi. 

Ako koristimo za statistiµcko zakljuµcivanje p vrijednosti umjesto tablica Studentove 

distribucije za jednostrani t-test, moramo dobivenu p vrijednost za 

dvostrani test podijeliti s 2. Tako u našem sluµcaju imamo p=2 = 0:4707=2 = 

7 Vidi Dodatak, Tablica E.2 

46

0:235 4, što ukazuje da je vjerojatnost da smo pogriješili 23:54%, ako odbacimo 

H 0 . Drugim rijeµcima ako testiramo s 5% znaµcajnosti, ne moµzemo 

odbaciti hipotezu da je graniµcna sklonost potrošnji studenata iz našeg primjera 

jednaka ili veća od 0:6: 

Primjer 3.10 Pretpostavimo da µzelimo testirati, sa znaµcajnošću od 5%, hipotezu 

da je graniµcna sklonost potrošnji studenata iz Tablice 2.1 jednaka ili 

manja od 0:1, ili H 0 : 1 0:1, nasuprot hipotezi H 1 : 1 > 0:1. Na temelju 

jednadµzbe 3.27 imamo 

t 1 = b 1 1 

sd (b 1 ) 

= 

0:485 0:1 

0:1397 

= 2: 756: (3.32) 

Iz Studentove tablice imamo t 0:05;3 = 2:3534. Budući da t 1 > t 0:025;3 ; ili 

2:756 > 2:3534 na temelju jednadµzbe 3.30 moµzemo odbaciti H 0 : Do istog 

zakljuµcka moµzemo doći koristeći se p vrijednošću koja za ovaj test iznosi 

p=2 = 0:070=2 = 0:035 :Drugim rijeµcima vjerojatnost da smo uµcinili grešku 

je 3:5%, ako odbacimo nul hipotezu. Zato što je vjerojatnost da smo uµcinili 

grešku, kada odbacujemo H 0 , manja od "dopuštene" vjerojatnosti greške od 

5%, hipotezu H 0 : 1 0:1 moµzemo odbaciti. 

Interval pouzdanosti parametara Interval pouzdanosti parametra mo- 

µzemo de…nirati kao raspon svih vrijednosti k za koje se H 0 : k = k ne 

moµze odbaciti t-testom. Vjerojatnost da se t statistika na†e izme†u kritiµcnih 

t vrijednosti iznosi 

Pr t =2;(n k) t k t =2;(n k) = 1 : (3.33) 

Supstitucijom jednadµzbe 3.27 u 3.33 dobijemo 

 

Pr t =2;(n k) b 

k k 

sd (b k ) t =2;(n k) = 1 : (3.34) 

Nakon sre†ivanja po k imamo 

Pr b k sd (b k ) t =2;(n k) k b k + sd (b k ) t =2;(n k) = 1 ; (3.35) 

ili kompaktno interval pouzdanosti populacijskog parametra k moµzemo 

pisati kao 

b k sd (b k ) t =2;(n k) : (3.36) 

Iz jednadµzbe 3.36 vidimo da interval pouzdanosti izraµcunavamo na temelju 

poznatih veliµcina koje smo izvukli iz uzorka te populacije, a to su: parametar 

b k i njegova standardna devijacija sd(b k ). Što je veća standardna devijacija 

procjenitelja, to će biti širi interval pouzdanosti. Širi interval pouzdanosti 

47

znaµci veću neizvjesnost u procjenjivanju populacijskog nepoznatog parametra 

k . Stoga se na standardnu grešku procjenitelja gleda kao na mjeru preciznosti 

procjenitelja koja nam govori koliko precizno procjenitelj b k opisuje 

stvarnu vrijednost populacijskog k . 

Populacijski parametar k je nepoznata, ali …ksna vrijednost, zato izraz 

3.35 ne moµzemo interpretirati kao "(1 ) je vjerojatnost da se populacijski 

parametar k nalazi u granicama b k sd (b k ) t =2;(n k) " jer bi to impliciralo 

da je interval pouzdanosti …ksan, a populacijski parametar sluµcajna vrijednost. 

Budući da je populacijski parametar k …ksna vrijednost, kada bi 

interval pouzdanosti tako†er bio …ksan, vrijednost populacijskog parametra 

leµzala bi, ili ne bi leµzala, u …ksnom intervalu pouzdanosti. U tom sluµcaju 

imali bismo samo dvije vjerojatnosti: ako leµzi, vjerojatnost je 1 (100%); 

ako ne leµzi u intervalu pouzdanosti je 0. Me†utim interval pouzdanosti nije 

…ksan već sluµcajan jer ovisi o izvuµcenom uzorku iz populacije. Stoga 

jedini pravilan naµcin interpretacije intervala pouzdanosti parametra je da 

u ponovljenom uzorkovanju, 100 (1 ) % izraµcunatih sluµcajnih intervala 

pouzdanosti, na temelju izvuµcenih uzoraka iz iste populacije, ukljuµcivat će 

stvarni populacijski …skni parametar k: Drugim rijeµcima kada bi se iz neke 

populacije izvuklo 100 uzoraka i na temelju njih izraµcunalo, koristeći izraz 

3.36, 100 sluµcajnih 95 postotnih intervala pouzdanosti za …ksni populacijski 

parametar k , u 95 od 100 intervala pouzdanosti našli bismo vrijednost 

populacijskog …ksnog parametra k : 

Primjer 3.11 Na temelju jednadµzbe 3.36 moµzemo izraµcunati 95 postotne 

intervale pouzdanosti za parametre modela izraµcunatih u primjeru 2.1. Da 

bismo dobili 95 postotni interval pouzdanosti biramo razinu znaµcajnosti od 

= 0:05 jer 100 (1 ) % = 100 (1 0:05) % = 95%: Kritiµcna vrijednost 

t =2;(n k) iznosi t 0:025;3 = 3:1824 (vidi Tablica E.2 u Dodatku). Na temelju 

izraza 3.36 moµzemo izraµcunati 95 postotni interval pouzdanosti za parametar 

0 

b 0 sd (b 0 ) t =2;(n k) 

= 53: 535 46:864 3:1824 

= 53:535 149: 14 


95: 605 0 202:675: 

Za parametar 1 95 postotni interval pouzdanosti bit će 


b 1 sd (b 1 ) t =2;(n k) 

= 0:48537 0:139 72 3:1824 

= 0:48537 0:444 6 

0:04077 1 :0:92997: 

48

F -test 

Na temelju t-testa moµzemo testirati pojedinaµcne hipoteze nad jednim koe…- 

cijentom. Postavlja se pitanje kako testirati zajedniµcke hipoteze nad koe…- 

cijentima kao što su na primjer 

H 0 : 1 = 2 = 0 ili H 0 : 1 + 2 4 = 1: 

U tom sluµcaju moµzemo konstruirati ograniµceni model koji će u sebi sadr- 

µzavati ograniµcenja nad parametrima i testirati razliku izme†u neobjašnjena 

odstupanja ograniµcenog modela i neograniµcenog modela. Kod neograniµcenog 

modela ne forsiramo da parametri poprime odre†ene vrijednosti, već 

dopuštamo da poprime bilo koju vrijednost koja, u sluµcaju da rabimo metodu 

najmanjih kvadrata, minimizira zbroj kvadrata odstupanja. Kod ograniµcenog 

modela, s druge strane, forsiramo da odre†eni parametri poprime 

a priori zadane vrijednosti koje ne minimiziraju zbroj kvadrata odstupanja. 

Jasno je stoga da zbroj kvadrata neobjašnjenih odstupanja bit će uvijek veći 

kod ograniµcenog modela u odnosu na neograniµceni model. Nadalje, što se 

forsirani parametar u neograniµcenom modelu udaljava svojom vrijednošću 

od parametra koji minimizira sumu kvadrata odstupanja (dobiven neograniµcenim 

modelom) to će biti veća razlika izme†u sume kvadrata odstupanja 

ograniµcenog i neograniµcenog modela. Na taj naµcin prirodno se nameće test 

koji uspore†uje zbrojeve kvadrata neobjašnjenih odstupanja ograniµcenog i 

neograniµcenog modela. Ako je razlika velika, tada će se nul hipoteza moći 

odbaciti, ako je razlika mala, tada se nul hipoteza neće moći odbaciti. 

Ako sumu kvadrata odstupanja P (y i ^y i ) 2 oznaµcimo s RSS, tada F test 

moµzemo pisati 

F = (RSS R RSS UR ) =J 

(3.37) 

RSS UR = (n k) 

gdje RSS R oznaµcava sumu kvadrata odstupanja ograniµcenog modela, RSS UR 

sumu kvadrata odstupanja neograniµcenog modela, J broj ograniµcenja i (n k) 

stupnjeve slobode neograniµcenog modela. Budući da je RSS R uvijek veći 

od RSS UR , gornji izraz uvijek će biti pozitivan. 

Ako vrijedi pretpostavka da su odstupanja e i normalno distribuirana, 

tada P (y i ^y i ) 2 ; što skraćeno pišemo P e 2 i , iz Teorema8 C.3 ima 2 distribuciju. 

Na temelju Teorema C.4 znamo da zbrajanje i oduzimanje varijabli 

s 2 distribucijom daju varijablu s 2 distribucijom. Stoga će i razlika 

RSS R RSS UR , tako†er, imati 2 distribuciju. Iz Teorema C.6 znamo da 

će odnos dviju sluµcajnih varijabli s 2 distribucijom x 1=n 1 

x 2 =n 2 

imati F distribuciju 

s (n 1 ; n 2 ) stupnjeva slobode, ili kao u sluµcaju naše jednadµzbe 3.37 F -test 

ima F distribuciju sa (J; n k) stupnjeva slobode. F -test je jednostrani test 

µciju kritiµcnu vrijednost F;(n 

J k) 

moµzemo de…nirati kao 

n 

o 

Pr F > F;(n J k) 

= (3.38) 

8 Vidi Dodatak C.1 

49

gdje predstavlja razinu znaµcajnosti testa. Drugim rijeµcima velika razlika 

izme†u RSS R i RSS UR vodit će k velikim vrijednostima F statistike iz 

3.37, a velike vrijednosti F statistike vodit će na temelju 3.38 odbacivanju 

nul hipotez·e. 

Ekonometrijski paketi µcesto automatski pokraj vrijednosti parametara, 

standardnih devijacija koe…cijenata, t vrijednosti, koe…cijenata determinacije 

itd. prikazuju i rezultate F -testa kojim se za model 

testira zajedniµcka hipoteza 

y = 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + + k 1 x k 1 

H 0 : 1 = 2 = = k 1 = 0; (3.39) 

odnosno, testira se zajedniµcka hipoteza da su svi parametri, koji se veµzu za 

nezavisne varijable, jednaki nula, što znaµci da niti jedna nezavisna varijabla 

nije znaµcajna za objašnjenje zavisne varijable y. U tom se sluµcaju ograniµceni 

model svodi na trivijalan model koji sadrµzi samo konstantni µclan 0 

y = 0 : (3.40) 

Iz Propozicije 3.1 znamo da za model s konstantnim µclanom vrijedi 

Var (y i ) = Var (^y i ) + Var (e i ) : 

Ako pomnoµzimo s (n 1) dobijemo jednadµzbu 3.5 

nX 

(y i y) 2 = 

i=1 

nX 

(^y i y) 2 + 

nX 

i=1 

i=1 

e 2 i 

koju moµzemo pojednostavljeno pisati 

T SS = ESS + RSS; (3.41) 

gdje T SS oznaµcava ukupnu sumu kvadrata odstupanja, ESS objašnjenu 

sumu kvadrata odstupanja, a RSS neobjašnjenu sumu kvadrata odstupanja 

od sredine uzorka. Budući da u ograniµcenom modelu 3.40 nemamo ni jednu 

nezavisnu varijablu, tada će njegova objašnjena suma kvadrata odstupanja 

biti ESS R = 0, a iz 3.41 slijedi da za tako ograniµceni model vrijedi 

RSS R = T SS: (3.42) 

Taj rezultat pretvara F -test, kojim moµzemo testirati hipotezu 3.39, u 



= (T SS RSS UR) = (k 1) 


50 

= ESS UR= (k 1) 


(3.43)

ili u odnos objašnjene i neobjašnjene varijance neograniµcenog modela. 

Broj ograniµcenja J je (k 1), tj. broj parametara koji se procjenjuju 

u modelu manje jedan (konstantni µclan koji nije ograniµcen). Interesantno 

je primijetiti da ograniµceni model 3.40 ima koe…cijent determinacije (korigirani 

kao i nekorigirani) jednak nuli jer je ESS = P (^y i y i ) 2 = 0: Stoga 

je testirati nul hipotezu 3.39 ekvivalentno testiranju nul hipoteze da je populacijski 

koe…cijent determinacije R 2 = 0: Drugim rijeµcima F -test iz 3.43 

moµzemo interpretirati i kao test kojim se testira znaµcajnost koe…cijenta 

determinacije R 2 . 

Kada imamo skup linearnih ograniµcenja u obliku 

r 11 1 + r 12 2 + + r 1k k = q 1 

r 21 1 + r 22 2 + + r 2k k = q 2 

. 

r J1 1 + r J2 2 + + r jk k = q J 

zgodno ih je prikazati u kompaktnoj matriµcnoj formi 

R = q: (3.44) 

Matrica R ima k stupaca koji odgovaraju broju parametara, koji se procjenjuju 

i J redaka, koji odgovaraju broju linearnih ograniµcenja nad parametrima. 

Broj stupaca mora biti manji od broja redaka (J < k); drugim rijeµcima 

moramo imati manje ograniµcenja od procijenjenih parametara. Testiranje 

nul hipoteze jednog skupa od J linearnih ograniµcenja moµzemo de…nirati sa 

nasuprot alternativnoj hipotezi 

H 0 : R q = 0 (3.45) 

H 1 : R q 6= 0: (3.46) 

Na ovaj naµcin lako moµzemo de…nirati zajedniµcku nul hipotezu koja se 

sastoji od mnogih linearnih ograniµcenja kao npr. 

putem 

R = 4 

H 0 : 2 = 2; 3 = 7 ; 4 + 5 6 = 1 

2 

0 1 0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 0 1 

0 0 0 1 1 1 0 

3 

2 

5 , q = 4 

ili hipotezu 3.39 da su svi parametri u modelu osim konstantnog µclana jednaki 

nuli 

R = [0 : I k 1 ] ; q = 0: 

2 

0 

1 

3 

5 

51

Za zadane parametre uzorka, dobivene metodom najmanjih kvadrata, mo- 

µzemo de…nirati vektor nepodudarnosti (eng. discrepancy vector) s 

m = Rb q (3.47) 

gdje vektor Rb prikazuje procijenjeno stanje, a q veliµcine koje µzelimo testirati. 

Na temelju Waldovog kriterija 

W = m 0 Var (m) m (3.48) 

nakon supstituiranja varijance populacije 2 procijenjenom varijancom populacije 

s 2 , moµzemo dobiti F statistiku 9 za testiranje linearne hipoteze 3.45 

h 

m 

nR 

0 s 2 (X 0 X) 1i o 1 

R 0 m 

F = 

J 

: (3.49) 

F statistika izraµcunata ovim naµcinom, s (J; n k) stupnjeva slobode, istovjetna 

je F statistici, koju dobijemo koristeći jednadµzbu 3.37, tj. daju 

potpuno isti rezultat. Prednost 3.49 nad 3.37 je relativno jednostavno de…- 

niranje skupa linearnih ograniµcenja koja ulaze u nul hipotezu. 

Primjer 3.12 Pretpostavimo da µzelimo nad parametrima modela 10 

y = 410:81 

(162:830) 

33:75 x 1+ 3:23 x 2+ 9:71 x 3 31:57 x 4+ 38:39 x 5 

(26:134) (0:989) (0:727) (1:162) (10:793) 

R 2 UR = 0:9989 

RSS UR = 6808:58 

ESS UR = 6394831 

(3.50) 

testirati s 5% znaµcajnosti sljedeće hipoteze: 

a) 

H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 0 (3.51) 

drugim rijeµcimaµzelimo testirati zajedniµcku hipotezu da su svi parametri 

vezani za nezavisne varijable jednaki nula nasuprot hipotezi H 1 : 1 = 

2 = 3 = 4 = 5 6= 0: U našem sluµcaju model iz jednadµzbe 3.50 

je neograniµceni model, dok će ograniµceni model, u kojeg ugra†ujemo 

nul hipotezu 3.51, biti model samo s konstantnim µclanom, ili u našem 

sluµcaju 

R 

y = 3067:82 

R 2 = 0:0000 

RSS R = 6401640 : (3.52) 

Budući da u ograniµcenom modelu nemamo nezavisnih varijabli, koe…- 

cijent determinacije R 2 ; kao i korigirani koe…cijent determinacije R 2 

9 Vidi detaljan izvod u [3] str. 96-97. 

10 Podaci za ovaj model prikazani su u Dodatku D.1. 

52

su nula. Vidimo da RSS R ograniµcenog modela 3.52 znatno je veći od 

RSS UR neograniµcenog modela 3.50. Hipotezom smo ograniµcili 5 parametara, 

zato je broj ograniµcenja J = 5, i imamo (n k) = (25 6) = 

19 stupnjeva slobode. Prema tome F test kojim testiramo nul hipotezu 

3.51 bit će 



= 

(6401640 6808:58) =5 

(6808:58) =19 

= 3569: 1: 

Kritiµcna vrijednost F distribucije za 5% znaµcajnosti prikazana je u 

Dodatku, Tablica E.3, i iznosi F0:05;19 5 = 2:740. Budući da je u našem 

sluµcaju F > F;(n 

J k) 

, moµzemo na razini od 5% znaµcajnosti odbaciti 

nul hipotezu 3.51. Na temelju Tablice E.4, iz Dodatka, vidimo da nul 

hipotezu moµzemo odbaciti i s 1% znaµcajnosti, tj. s vjerojatnošću da 

smo pri odbacivanju hipoteze uµcinili grešku od samo 1%; budući da je 

kritiµcna vrijednost F0:01;19 5 = 4:171 manja od testne veliµcine 3569:1. 

Kada testiramo hipotezu da su svi parametri vezani za nezavisne varijable 

jednaki nula, tada F vrijednost moµzemo dobiti koristeći se i 

jednadµzbom 3.43 

F = ESS UR= (k 1) 

RSS UR = (n k) = 6394831=5 

6808:58=19 = 3569:1 

u koju ulaze podaci samo neograniµcenog modela. Ekonometrijski paketi 

pokraj parametara modela µcesto automatski prikazuju ovu F vrijednost, 

kojom se testira hipoteza da su svi parametri modela vezani za nezavisne 

varijable jednaki nula (hipoteza 3.51). U matriµcnoj formi gornju 

hipotezu moµzemo testirati pomoću Waldovog kriterija ako de…niramo 

R = [0 : I 5 ] ; q = 0: 

Vidimo da matricom R ne ograniµcavamo samo konstantni µclan (prvi 

stupac). Broj ograniµcenja je J = 5 dok je broj parametara k = 6; što 

zadovoljava uvjet J < k, pa moµzemo izraµcunati vektor nepodudarnosti 

koji će u našem primjeru biti 

2 

m = Rb q = 

6 

4 

0 1 0 0 0 0 

0 0 1 0 0 0 

0 0 0 1 0 0 

0 0 0 0 1 0 

0 0 0 0 0 1 

2 

3 

7 

5 6 

4 

410:81 

33:75 

3:23 

9:71 

31:57 

38:39 

3 

7 

5 

2 

6 

4 

0 

0 

0 

0 

0 

3 2 

7 

5 = 6 

4 

33: 75 

3: 23 

9: 71 

31: 57 

38: 39 

Vektor nepodudarnosti prikazuje razliku izme†u vrijednosti parametara 

uzorka i vrijednosti koje testiramo. Budući da u našem primjeru 

testiramo hipotezu da su populacijski parametri vezani za nezavisne 

53 

3 

7 

5 :

varijable jednaki nula, vektor nepodudarnosti svodi se na vrijednosti 

procijenjenih parametara na temelju uzorka koji su vezani za nezavisne 

varijable. Što su veće, u apsolutnoj veliµcini, vrijednosti vektora 

nepodudarnosti, lakše će biti odbaciti nul hipotezu. Kada znamo da je 

procijenjena varijanca populacije našeg modela s 2 = 358:35; i da je 

simetriµcna matrica 

2 

73:9891 9:4129 0:2885 0:1717 0:2869 1:2070 

X 0 X 9:4129 1:9059 0:0182 0:0049 0:0404 0:1452 

1 = 0:2885 0:0182 0:0027 0:0019 0:0004 0:0030 

6 0:1717 0:0049 0:0019 0:0015 0:0003 0:0014 

4 0:2869 0:0404 0:0004 0:0003 0:0038 0:0100 

1:2070 0:1452 0:0030 0:0014 0:0100 0:3251 

imamo sve elemente za izraµcunavanje F vrijednosti pomoću jednadµzbe 

h 

m 

nR 

0 s 2 (X 0 X) 1i o 1 

R 0 m 

F = 

= 3569:1: 

J 

3 

; 

7 

5 

b) 

H 0 : 1 = 15 (3.53) 

nasuprot H 1 : 1 6= 15. U prethodnom smo poglavlju vidjeli da hipoteze 

nad jednim parametrom testiramo t-testom. F -test je općenit, 

stoga, osim testiranja nad više parametara, dopušta nam testiranje i 

nad jednim parametrom. Obje metode morale bi dovesti do istog zakljuµcka. 

Ako gornju hipotezu testiramo pomoću t-testa imamo 

t 1 = b 1 1 

sd (b 1 ) 

= 

33:75 ( 15) 

26:134 

= 0:71746 

(p=0:4818) : 

Ograniµceni model bit će 

y = 0 15x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 

(y + 15x 1 ) = 0 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 

koji procijenjen izgleda 

(y + 15x 1 ) = 318:21 

(98:061) + 3:05 

(0:945) x 2+ 9:76 

(0:715) x 3 31:17 

(1:008) x 4+ 36:97 

(10:478) x 5 

R 2 = 0:9989 

RSS R = 6993:03 : 

Prema tome F -test, kojim testiramo hipotezu 3.53, bit će 



= 

(6993:03 6808:58) =1 

6808:58=19 

= 0:514 73 

(p=0:4818) : 

Jasno je da t i F vrijednosti nisu iste, budući da proizlaze iz razliµcitih 

distribucija. Me†utim, toµcne razine znaµcajnosti testa p su identiµcne u 

54

oba sluµcaja, p = 0:4818, što upućuje na identiµcan statistiµcki zakljuµcak, 

tj. da ne moµzemo odbaciti nul hipotezu. Waldovim kriterijem moµzemo 

testirati hipotezu 3.53 na temelju matrica ograniµcenja 

R = 0 1 0 0 0 0 , q = 15 

koje daju vektor nepodudarnosti m = 18: 75. Kada ukljuµcimo ove 

vrijednosti u jednadµzbu 3.49 dobijemo vrijednost F = 0:514 73; koja je 

istovjetna F vrijednosti dobivenu prethodnom metodom (RSS). 

c) 

H 0 : 4 + 5 = 0 (3.54) 

nasuprot hipotezi H 1 : 4 + 5 6= 0. Iz gornje jednadµzbe slijedi da je 

4 = 5 ili 5 = 4 . Neovisno o tome koristimo li za ograniµcenje 

modela 3.50 jednakost 4 = 5 ili 5 = 4 , moramo dobiti istu 

vrijednost RSS R . Ako koristimo 4 = 5 ; imamo 

y = 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 5 x 4 + 5 x 5 

= 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 5 (x 5 x 4 ) 

i kada procijenimo parametre dobijemo ograniµceni model 

y = 392:81 

(157:61) 

31:70 x 1+ 3:30 x 2+ 9:74 x 3+31:84 (x 5 x 4 ) 

(25:508) (0:970) (0:714) (1:058) 

R 2 = 0:9989 

RSS R = 6942:08 : 

Ako koristimo 5 = 

4 imamo 

y = 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 4 x 5 

= 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 (x 4 x 5 ) 

i kada procijenimo parametre modela dobijemo ograniµceni model 

y = 392:81 

(157:61) 

31:70 x 1+ 3:30 x 2+ 9:74 x 3 31:84 (x 4 x 5 ) 

(25:508) (0:970) (0:714) (1:058) 

R 2 = 0:9989 

RSS R = 6942:08 

s identiµcnim RSS R . Stoga, neovisno o jednakosti koju koristimo za 

ograniµcenje modela, dobijemo istu F vrijednost 



= 

(6942:08 6808:58) =1 

(6808:58) =19 

= 0:372 6 

(p=0:5489) : 

Iz razine znaµcanost testa p = 0:5489 zakljuµcujemo da ne moµzemo odbaciti 

ovu hipotezu. Interesantno je primijetiti da pri testiranju ove hipoteze, 

iako se u hipotezi pojavljuju dva parametra, imamo samo jedno 

ograniµcenje. Jedno ograniµcenje bilo bi i kada bismo testirali hipotezu: 

H 0 : 1 + 2 2 4 + 5 = 0, unatoµc tome što se pojavljuju 4 parametra, 

dok s druge strane, ako npr. testiramo H 0 : 1 = 0; 4 = 30; 

55

imamo dva ograniµcenja. Znaµci, pri raµcunanju broja ograniµcenja nije 

vaµzan broj parametara koji se pojavljuje u hipotezi već broj jednadµzbi. 

Ako µzelimo dobiti F vrijednost pomoću Waldovog kriterija matrice 

ograniµcenja, kojima opisujemo hipotezu 3.54, glase 

R = 0 0 0 0 1 1 , q = 0 

koje daju vrijednost m =6:8241 i F = 0:3726; identiµcnu vrijednost 

koju smo dobili i metodom usporedbe RSS ograniµcenog i neograniµcenog 

modela. 

d) 

H 0 : 1 = 4 ; 2 = 3; 4 + 5 = 0 (3.55) 

nasuprot alternativnoj hipotezi H 1 : 1 6= 4 ; 2 6= 3; 4 + 5 6= 0. Kada 

imamo skup linearnih ograniµcenja, (kao u ovom primjeru) supstitucija 

tih ograniµcenja u neograniµceni model bit će sloµzen posao da bismo 

dobili ograniµceni model na temelju kojeg moµzemo izraµcunati RSS R , 

dok će to isto matriµcnom metodom, na temelju Waldovog kriterija, biti 

lakše izvedivo. Matrice ograniµcenja za testiranje gornje hipoteze bit 

će 

2 

3 2 3 

R = 4 

0 1 0 0 1 0 

0 0 1 0 0 0 

0 0 0 0 1 1 

koje daju vektor nepodudarnosti 

2 

m = 4 

2:1789 

0:2314 

6:8241 

5 , q = 4 

3 

5 : 

0 

3 

0 

5 

Na temelju jednadµzbe 3.49 za broj ograniµcenja J = 3 dobit ćemo F 

vrijednost od 0:1578 kojoj odgovara razina znaµcajnosti testa p = 0:9233. 

Drugim rijeµcima ovu hipotezu ne moµzemo odbaciti. 

56

Dodatak A 

Izvodi i dokazi 

A.1 Izvod parametara modela s jednom nezavisnom 

varijablom metodom najmanjih kvadrata 

Za model 

y i = b 0 + b 1 x i + e i 

(A.1) 

treba izabrati parametre b 0 i b 1 tako da minimiziraju P e 2 i : Da bi se dobili 

parametri s tim svojstvima, mora se parcijalno derivirati izraz P e 2 i po b 0 

i b 1 i izjednaµciti prve derivacije s nulom kako bi se dobili ekstremi funkcija 

(minimum) 

@ 

@b 0 

P e 

2 

i = 

@ 

@b 0 

P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P (y i b 0 b 1 x i ) = 0 (A.2) 

@ 

@b 1 

P e 

2 

i = 

@ 

@b 1 

P (yi b 0 b 1 x i ) 2 = 2 P x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0: (A.3) 

Ako jednadµzbe A.2 i A.3 podijelimo s 2 i napišemo u obliku tzv. normalnih 

jednadµzbi, imamo 

P P 

yi = b 0 n + b 1 xi (A.4) 

P P P 

xi y i = b 0 xi + b 1 x 

2 

i : (A.5) 

Sada moµzemo simultano riješiti po b 0 i b 1 tako da jednadµzbu A.4 pomnoµzimo 

s P x i ; a jednadµzbu A.5 s n 

P 

xi 

P 

yi = b 0 n P x i + b 1 ( P x i ) 2 (A.6) 

n P x i y i = b 0 n P x i + b 1 n P x 2 i : (A.7) 

57

Oduzimanjem jednadµzbe A.6 od jednadµzbe A.7 dobijemo 

iz µcega slijedi 

n P x i y i 

P 

xi 

P 

yi = b 1 

hn P x 2 i ( P x i ) 2i (A.8) 

b 1 = n P P P 

x i y i xi yi 

n P x 2 i 

( P x i ) 2 : (A.9) 

Jednadµzba A.9 moµze se jednostavnije napisati, ako pretpostavimo specijalni 

sluµcaj da je sredina uzoraka jednaka nuli. U tom specijalnom sluµcaju 

moµzemo dobiti koe…cijent smjera regresijskog pravca (b 1 ) tako da brojnik i 

nazivnik izraza A.9 podijelimo s n 2 

b 1 = 

P 

x i y i 

n 

P 

x 2 i 

n 

P P 

x i y i 

n 

P 

x i 

n 

n 

2 

= 

P 

x i y i 

P n xy 

x 2 i 

n 

x 2 : (A.10) 

Budući da u našem specijalnom sluµcaju po pretpostavci vrijedi x = y = 0 

jednadµzba A.10 postaje 

P 

x i y i 

P 

b 1 = P n xi y 

= P i 

x 2 i x 

2 

: (A.11) 

i 

n 

Pojednostavljena jednadµzba A.11 vrijedi samo za specijalni sluµcaj kada 

varijabla x i varijabla y imaju sredinu nula. Me†utim, bilo koju varijablu 

moµzemo transformirati tako da ima sredinu nula, ako je izrazimo u njezinoj 

devijacijskoj formi 1 ~x i = x i x ~y = y i y: 

Ovom transformacijom paralelno pomiµcemo regresijski pravac na ishodište 

koordinatnog sustava mijenjajući odsjeµcak na ordinati, ali ostavljajući nagib 

pravca nepromijenjenim, stoga se koe…cijent nagiba regresijskog pravca b 1 

moµze izraziti u devijacijskoj formi varijabli 

b 1 = 

P (xi x) (y i y) 

P (xi x) 2 = 

P ~xi ~y i 

P ~x 

2 

i 

: (A.12) 

Kada imamo b 1 ; iz jednadµzbe A.4 jednostavno moµzemo dobiti 

b 0 = 

P 

yi 

n 

b 1 

P 

xi 

n = y b 1x: (A.13) 

P 

ex i 

1 Dokaz: ex = = 

n 

zbrajanja u Dodatku B.1. 

P 

(x i x) 

n 

= 

P 

x i 

n 

x = x x = 0; vidi Svojstvo B.4. operatora 

58

Dodatak B 

Matematika 

B.1 Neka svojstva operatora zbrajanja P 

Operator zbrajanja P vrijednosti varijable x 

nX 

x i = x 1 + x 2 + + x n 

ima sljedeća svojstva: 

i=1 

Svojstvo 1 

gdje je k konstanta jer 

nX 

kx i = k 

nX 

i=1 

i=1 

x i 

(B.1) 

nX 

kx i = kx 1 + kx 2 + + kx n 

i=1 

nX 

= k (x 1 + x 2 + + x n ) = k x i : 

Svojstvo 2 

nX 

nX nX 

(x i + y i ) = x i + y i 

i=1 

i=1 i=1 

zato jer 

nX 

(x i + y i ) = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 + + x n + y n 

i=1 

i=1 

= (x 1 + x 2 + + x n ) + (y 1 + y 2 + + y n ) 

nX nX 

= x i + y i : 

i=1 i=1 

(B.2) 

59

Svojstvo 3 

nX 

k = k + k + + k = kn 

i=1 

(B.3) 

Svojstvo 4 

gdje je x = 1 n 

P n 

i=1 x i. 

nX 

(x i x) = 0 (B.4) 

i=1 

Dokaz. 

P n 

i=1 (x i 

n 

x) 

P n 

i=1 

= 

x i nx 

n n 

= 1 nX 

x i x = x x = 0 

n 

i=1 

iz µcega slijedi 

P n 

i=1 (x i 

n 

x) 

= 0 () 

nX 

(x i x) = 0: 

i=1 

60

Dodatak C 

Statistika 

C.1 Distribucije vjerojatnosti izvedene iz normalne 

distribucije 

Teorem C.1 Ako su z 1 ; z 2 ; : : : ; z n normalno i nezavisno distribuirane slu- 

µcajne varijable takve da z i N i ; 2 i 

 

, tada je linearna kombinacija 

P 

ki z i ; 

gdje su k i konstante koje nisu sve nula, tako†er normalno distribuirana sa 

sredinom P k i i i varijancom P k 2 i 2 i : 

Teorem C.2 Ako su z 1 ; z 2 ; : : : ; z n normalno i zavisno distribuirane sluµcajne 

varijable takve da z i N i ; 2 i 

 

, tada je linearna kombinacija 

P 

ki z i ; 

gdje su k i konstante koje nisu sve nula, tako†er normalno distribuirana sa 

sredinom P k i i i varijancom P k 2 i 2 i + 2 P k i k j cov (x i ; x j ) : 

Teorem C.3 Ako su z 1 ; z 2 ; : : : ; z n normalno i nezavisno distribuirane slu- 

µcajne varijable takve da z i N (0; 1), tj. standardizirane normalne varijable, 

tada P n 

i=1 z2 i ima 2 distribuciju s n stupnjeva slobode. 

Teorem C.4 Ako su x 1 ; x 2 ; : : : ; x n nezavisno distribuirane sluµcajne varijable 

koje imaju 2 distribuciju s n i stupnjeva slobode, tada zbroj P x i ima 

tako†er 2 distribuciju sa P n i stupnjeva slobode. 

Teorem C.5 Ako je z standardizirana normalna varijabla [z 1 N (0; 1)] a 

x ima 2 distribuciju s n stupnjeva slobode i nezavisna je od z, tada odnos 

pz 

ima Studentovu t distribuciju s n stupnjeva slobode. 

x=n 

Teorem C.6 Ako su x 1 i x 2 dvije nezavisne varijable s 2 distribucijom s 

odnosnim n 1 i n 2 stupnjevima slobode, tada odnos x 1=n 1 

x 2 =n 2 

ima F distribuciju 

s n 1 i n 2 stupnjeva slobode. 

61

Dodatak D 

Podaci 

D.1 

y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 

2835.9 4.49 287.80 496.1 100.00 0.3202 

2615.0 4.26 292.12 509.2 112.93 0.1125 

2556.2 3.83 296.12 510.2 115.61 0.3275 

2510.9 3.89 297.14 514.2 117.82 0.3974 

2582.6 3.79 298.66 527.9 119.16 0.3392 

2586.4 3.79 301.11 527.1 119.16 0.8013 

2608.4 3.98 306.48 529.9 119.06 1.3413 

2542.7 3.97 310.93 524.6 119.59 1.1790 

2598.7 4.02 316.30 528.9 120.79 0.8171 

2662.4 3.87 322.14 539.9 122.94 0.4666 

2704.3 3.99 327.57 550.3 124.90 0.2619 

2767.3 3.90 333.33 563.4 127.73 0.4310 

2894.1 3.89 340.24 576.8 129.21 0.0325 

2980.6 3.96 347.41 583.9 129.93 0.0507 

3022.8 4.03 352.85 591.0 130.56 0.3994 

3088.2 4.12 359.90 594.4 130.60 0.4184 

3207.4 4.18 367.92 603.4 130.60 0.6175 

3360.1 4.20 375.92 612.1 130.22 0.7757 

3513.9 4.19 383.57 624.9 130.46 0.7226 

3641.5 4.17 391.03 634.3 129.69 0.6831 

3840.1 4.20 397.53 650.4 128.74 0.7747 

3888.3 4.21 404.34 659.6 130.12 0.5136 

3920.2 4.25 413.47 671.2 133.57 0.5501 

3816.3 4.47 421.96 676.3 138.70 0.7459 

3951.2 4.77 430.39 696.5 142.58 0.8152 

62

Dodatak E 

Statistiµcke tablice 

Tablica E.1: Kumulativna površina ispod standardne normalne distribucije 

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 

Izvor: Vrijednosti su izračunate koristeći Excel funkciju NORMSDIST 

63

Tablica E.2: Jednostrane kritiµcne vrijednosti Studentove t distribucije 

n¡ k 0.10 0.05 0.25 0.001 0.005 

1 3.0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559 

2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250 

3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 

4 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 

5 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 

6 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 

7 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 

8 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 

9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 

10 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 

11 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 

12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 

13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 

14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 

15 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 

16 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 

17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 

18 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 

19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 

20 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 

21 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 

22 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 

23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 

24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7970 

25 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 

26 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 

27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 

28 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 

29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 

30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 

40 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 

60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 

120 1.2886 1.6576 1.9799 2.3578 2.6174 

1 1.2816 1.6449 1.9600 2.3264 2.5758 

Izvor: Vrijednosti su izračunate koristeći Excel funkciju TINV 

Æ 

64

Tablica E.3: Jednostrane kritiµcne vrijednosti F distribucije za 5 posto znaµcajnosti 

n 1 

n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 

1 161.446 199.499 215.707 224.583 230.160 233.988 236.767 238.884 240.543 241.882 243.905 245.949 248.016 249.260 

2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.329 19.353 19.371 19.385 19.396 19.412 19.429 19.446 19.456 

3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.785 8.745 8.703 8.660 8.634 

4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.912 5.858 5.803 5.769 

5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.678 4.619 4.558 4.521 

6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.000 3.938 3.874 3.835 

7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.575 3.511 3.445 3.404 

8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.688 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.284 3.218 3.150 3.108 

9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.073 3.006 2.936 2.893 

10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.913 2.845 2.774 2.730 

11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.788 2.719 2.646 2.601 

12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.687 2.617 2.544 2.498 

13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.604 2.533 2.459 2.412 

14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.534 2.463 2.388 2.341 

15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.475 2.403 2.328 2.280 

16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.425 2.352 2.276 2.227 

17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.381 2.308 2.230 2.181 

18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.342 2.269 2.191 2.141 

19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.308 2.234 2.155 2.106 

20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.278 2.203 2.124 2.074 

21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.250 2.176 2.096 2.045 

22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.226 2.151 2.071 2.020 

23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.204 2.128 2.048 1.996 

24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.183 2.108 2.027 1.975 

25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.165 2.089 2.007 1.955 

26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.148 2.072 1.990 1.938 

27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.132 2.056 1.974 1.921 

28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.118 2.041 1.959 1.906 

29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.104 2.027 1.945 1.891 

30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.092 2.015 1.932 1.878 

31 4.160 3.305 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 2.080 2.003 1.920 1.866 

32 4.149 3.295 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 2.070 1.992 1.908 1.854 

33 4.139 3.285 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 2.060 1.982 1.898 1.844 

34 4.130 3.276 2.883 2.650 2.494 2.380 2.294 2.225 2.170 2.123 2.050 1.972 1.888 1.833 

35 4.121 3.267 2.874 2.641 2.485 2.372 2.285 2.217 2.161 2.114 2.041 1.963 1.878 1.824 

36 4.113 3.259 2.866 2.634 2.477 2.364 2.277 2.209 2.153 2.106 2.033 1.954 1.870 1.815 

37 4.105 3.252 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 2.145 2.098 2.025 1.946 1.861 1.806 

38 4.098 3.245 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194 2.138 2.091 2.017 1.939 1.853 1.798 

39 4.091 3.238 2.845 2.612 2.456 2.342 2.255 2.187 2.131 2.084 2.010 1.931 1.846 1.791 

40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.003 1.924 1.839 1.783 

Izvor: Vrijednosti su izračunate koristeći Excel funkciju FINV. n1=stupnjevi slobode brojnika, n 2=stupnjevi slobode nazivnika 

65

Tablica E.4: Jednostrane kritiµcne vrijednosti F distribucije za 1 posto znaµcajnosti 

n 1 

n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 

1 4052.185 4999.340 5403.534 5624.257 5763.955 5858.950 5928.334 5980.954 6022.397 6055.925 6106.682 6156.974 6208.662 

2 98.502 99.000 99.164 99.251 99.302 99.331 99.357 99.375 99.390 99.397 99.419 99.433 99.448 

3 34.116 30.816 29.457 28.710 28.237 27.911 27.671 27.489 27.345 27.228 27.052 26.872 26.690 

4 21.198 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.374 14.198 14.019 

5 16.258 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 9.888 9.722 9.553 

6 13.745 10.925 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 7.718 7.559 7.396 

7 12.246 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 6.469 6.314 6.155 

8 11.259 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 5.667 5.515 5.359 

9 10.562 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 5.111 4.962 4.808 

10 10.044 7.559 6.552 5.994 5.636 5.386 5.200 5.057 4.942 4.849 4.706 4.558 4.405 

11 9.646 7.206 6.217 5.668 5.316 5.069 4.886 4.744 4.632 4.539 4.397 4.251 4.099 

12 9.330 6.927 5.953 5.412 5.064 4.821 4.640 4.499 4.388 4.296 4.155 4.010 3.858 

13 9.074 6.701 5.739 5.205 4.862 4.620 4.441 4.302 4.191 4.100 3.960 3.815 3.665 

14 8.862 6.515 5.564 5.035 4.695 4.456 4.278 4.140 4.030 3.939 3.800 3.656 3.505 

15 8.683 6.359 5.417 4.893 4.556 4.318 4.142 4.004 3.895 3.805 3.666 3.522 3.372 

16 8.531 6.226 5.292 4.773 4.437 4.202 4.026 3.890 3.780 3.691 3.553 3.409 3.259 

17 8.400 6.112 5.185 4.669 4.336 4.101 3.927 3.791 3.682 3.593 3.455 3.312 3.162 

18 8.285 6.013 5.092 4.579 4.248 4.015 3.841 3.705 3.597 3.508 3.371 3.227 3.077 

19 8.185 5.926 5.010 4.500 4.171 3.939 3.765 3.631 3.523 3.434 3.297 3.153 3.003 

20 8.096 5.849 4.938 4.431 4.103 3.871 3.699 3.564 3.457 3.368 3.231 3.088 2.938 

21 8.017 5.780 4.874 4.369 4.042 3.812 3.640 3.506 3.398 3.310 3.173 3.030 2.880 

22 7.945 5.719 4.817 4.313 3.988 3.758 3.587 3.453 3.346 3.258 3.121 2.978 2.827 

23 7.881 5.664 4.765 4.264 3.939 3.710 3.539 3.406 3.299 3.211 3.074 2.931 2.780 

24 7.823 5.614 4.718 4.218 3.895 3.667 3.496 3.363 3.256 3.168 3.032 2.889 2.738 

25 7.770 5.568 4.675 4.177 3.855 3.627 3.457 3.324 3.217 3.129 2.993 2.850 2.699 

26 7.721 5.526 4.637 4.140 3.818 3.591 3.421 3.288 3.182 3.094 2.958 2.815 2.664 

27 7.677 5.488 4.601 4.106 3.785 3.558 3.388 3.256 3.149 3.062 2.926 2.783 2.632 

28 7.636 5.453 4.568 4.074 3.754 3.528 3.358 3.226 3.120 3.032 2.896 2.753 2.602 

29 7.598 5.420 4.538 4.045 3.725 3.499 3.330 3.198 3.092 3.005 2.868 2.726 2.574 

30 7.562 5.390 4.510 4.018 3.699 3.473 3.305 3.173 3.067 2.979 2.843 2.700 2.549 

31 7.530 5.362 4.484 3.993 3.675 3.449 3.281 3.149 3.043 2.955 2.820 2.677 2.525 

32 7.499 5.336 4.459 3.969 3.652 3.427 3.258 3.127 3.021 2.934 2.798 2.655 2.503 

33 7.471 5.312 4.437 3.948 3.630 3.406 3.238 3.106 3.000 2.913 2.777 2.634 2.482 

34 7.444 5.289 4.416 3.927 3.611 3.386 3.218 3.087 2.981 2.894 2.758 2.615 2.463 

35 7.419 5.268 4.396 3.908 3.592 3.368 3.200 3.069 2.963 2.876 2.740 2.597 2.445 

36 7.396 5.248 4.377 3.890 3.574 3.351 3.183 3.052 2.946 2.859 2.723 2.580 2.428 

37 7.374 5.229 4.360 3.873 3.558 3.334 3.167 3.036 2.930 2.843 2.707 2.564 2.412 

38 7.353 5.211 4.343 3.858 3.542 3.319 3.152 3.021 2.915 2.828 2.692 2.549 2.397 

39 7.333 5.194 4.327 3.843 3.528 3.305 3.137 3.006 2.901 2.814 2.678 2.535 2.382 

40 7.314 5.178 4.313 3.828 3.514 3.291 3.124 2.993 2.888 2.801 2.665 2.522 2.369 

Izvor: Vrijednosti su izračunate koristeći Excel funkciju FINV. n1=stupnjevi slobode brojnika, n 2=stupnjevi slobode nazivnika 

66

Tablica E.5: Jednostrane kritiµcne vrijednosti 2 distribucije 

Æ 

n¡ k 0.995 0.990 0.975 0.95 0.9 0.5 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 

1 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 

2 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 

3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 

4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 

5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 4.351 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 

6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 

7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 

8 1.344 1.647 2.180 2.733 3.490 7.344 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 

9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 

10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 

11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 10.341 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 

12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 11.340 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 

13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.041 12.340 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 

14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 

15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 

16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 15.338 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 

17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 

18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 

19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 

20 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 19.337 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 

21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 

22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 21.337 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 

23 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 22.337 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 

24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558 

25 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 24.337 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 

26 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 25.336 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 

27 11.808 12.878 14.573 16.151 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 

28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994 

29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 28.336 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335 

30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 

31 14.458 15.655 17.539 19.281 21.434 30.336 41.422 44.985 48.232 52.191 55.002 

32 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 31.336 42.585 46.194 49.480 53.486 56.328 

33 15.815 17.073 19.047 20.867 23.110 32.336 43.745 47.400 50.725 54.775 57.648 

34 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 33.336 44.903 48.602 51.966 56.061 58.964 

35 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 34.336 46.059 49.802 53.203 57.342 60.275 

36 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 35.336 47.212 50.998 54.437 58.619 61.581 

37 18.586 19.960 22.106 24.075 26.492 36.336 48.363 52.192 55.668 59.893 62.883 

38 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 37.335 49.513 53.384 56.895 61.162 64.181 

39 19.996 21.426 23.654 25.695 28.196 38.335 50.660 54.572 58.120 62.428 65.475 

40 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 39.335 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766 

Izvor: Vrijednosti su izračunate koristeći Excel funkciju CHIINV. 

67

Bibliogra…ja 

[1] Baltagi, B.H., (2011), Econometrics, peto izdanje, Springer Text in Business 

and Economics. 

[2] Davidson, R., J.G. MacKinnon, (2004), Econometric Theory and Methods, 

Oxford University Press, New York. 

[3] Greene, W.H., (2003), Econometric Analysis, peto izdanje, Prentice Hall, 

New Jersey. 

[4] Gujarati, D.N., (2004), Basic Econometrics, µcetvrto izdanje, McGraw- 

Hill, New York. 

[5] Hayashi, F., (2000), Econometrics, Princenton University Press, New 

Jersey. 

[6] Kennedy, P., (2003), A Guide to Econometrics, peto izdanje, MIT Press, 

Cambridge, Massachusetts. 

[7] Pindyck R.S., D.C. Rubenfeld, (1998), Econometric Models and Economic 

Forecasts, µcetvrto izdanje, McGraw-Hill, New York. 

[8] Verbeek, M., (2005), A Guide to Modern Econometrics, drugo izdanje, 

John Wiley & sons, West Sussex, England. 

[9] Wooldridge, J., (2006), Introductory Econometrics: A Modern Approach, 

treće izdanje, South-Western Pub. 

68

UVOD U EKONOMETRIJU

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?