UVOD U EKONOMETRIJU

Iz jednadµzbe 2.8 imamo
što sumu kvadrata odstupanja pretvara u
e = y Xb; (2.10)
e 0 e = (y Xb) 0 (y Xb)
= y 0 y b 0 X 0 y y 0 Xb + b 0 X 0 Xb
= y 0 y 2b 0 X 0 y + b 0 X 0 Xb: (2.11)
Zadnji je korak moguć jer su b 0 X 0 y i y 0 Xb me†usobno jednaki skalari.
Minimizirati sumu kvadrata odstupanja po parametrima modela moµzemo
ako deriviramo e 0 e po parametrima i izjednaµcimo prvu derivaciju s nulom
@
@b y0 y 2b 0 X 0 y + b 0 X 0 Xb = 2X 0 y+2X 0 Xb = 0; (2.12)
iz µcega slijedi da
b = X 0 X 1 X 0 y: (2.13)
Za dobivanje jednadµzbe 2.13 nismo koristili nikakve pretpostavke o na-
µcinu na koji se podaci generiraju. Jedino što pretpostavljamo je da postoji
inverzna matrica (X 0 X) 1 , tj. da matrica X 0 X nije singularna matrica,
što podrazumijeva da niti jedan redak (stupac) te matrice ne smije biti
egzaktna linearna kombinacija ostalih redaka, što znaµci da nema
multikolinearnosti (linearne veze izme†u nezavisnih varijabli).
Tablica 2.2: Izraµcun vrijednosti procjenitelja (parametara) na temelju obiµcne
metode najmanjih kvadrata odstupanja
Student yi
x
x~ i
y~i
i x ~
i
y 2
i
x ŷ
i
i ei
e i
Marko 100 150 ­104 ­160 16640 25600 126.34 ­26.34 693.87
Ivan 250 300 46 ­10 ­460 100 199.15 50.85 2586.09
Mira 300 500 96 190 18240 36100 296.22 3.78 14.29
Maja 210 400 6 90 540 8100 247.68 ­37.68 1420.00
Ana 160 200 ­44 ­110 4840 12100 150.61 9.39 88.18
∑ 1020 1550 0 0 39800 82000 1020 0 4802.44
Sredina 204 310 204 960.49
Primjer 2.1 Iz jednadµzbi za parametre 2.5 i 2.6 i Tablice 2.2 moµzemo izraµcunati:
P ~xi ~y i
b 1 = P ~x
2
= 39800 = 0:48537 (2.14)
i
82000
b 0 = y b 1 x = 204 0:48537 310 = 53: 535: (2.15)
23