UVOD U EKONOMETRIJU

3.1 Koe…cijent determinacije
Uobiµcajen pokazatelj pristajanja regresijskog pravca nekim opaµzanjima je
koe…cijent determinacije kojeg ćemo oznaµciti sa R 2 . Koe…cijent determinacije
pokazuje koliko je varijance uzorka y objašnjeno našim modelom
ili matematiµcki koe…cijent determinacije moµzemo de…nirati kao
R 2 =
1
Var (^y)
Var (y) =
n 1
1
n 1
P n
i=i (^y i y) 2 P n
P n
i=i (y i y) 2 = i=i (^y i y) 2
P n
i=i (y i y) 2 (3.1)
gdje 1 P n
n 1 i=i (^y i y) 2 pokazuje "objašnjenu" varijancu y regresijskim pravcem
a n 1
P
n 1 i=i (y i y) 2 "ukupnu" varijancu y. Drugim rijeµcima, nakon
skraćivanja, koe…cijent determinacije regresijskog modela prikazuje dio ukupne
varijance y koju smo objasnili regresijskim modelom.
Na slici 3.2 prikazano 1 je za odre†enu vrijednost x i :
ukupno odstupanje y od njegove sredine (y i
y)
regresijskim pravcem objašnjeno odstupanje y; (^y i
y)
regresijskim pravcem neobjašnjeno odstupanje y; (y i
smo do sada oznaµcavali kao rezidual e i .
^y) kojeg
Propozicija 3.1 Kada je u modelu, dobiven metodom najmanjih kvadrata,
prisutan konstantni µclan b 0 za y i = ^y i + e i vrijedi
Var (y i ) = Var (^y i ) + Var (e i ) :
Dokaz. Stvarnu vrijednost y i moµzemo izraµcunati na temelju zbroja procijenjene
vrijednosti ^y i i sluµcajnog odstupanja e i
Jednadµzbu 3.2 moµzemo pisati u devijacijskoj formi
y i = ^y i + e i : (3.2)
(y i y) = ^y i ^y + (e i e) (3.3)
Iz Svojstva 3. regresijskog pravca, iz jednadµzbe 2.26 znamo da vrijedi
e = 0
1 Napomena: pogrešno bi bilo iz ove slike zakljuµciti da je ukupno odstupanje jednako
zbroju objašnjenog odstupanja i neobjašnjenog odstupanja. Na slici je stvarna vrijednost
postavljena tako da se mogu zornije prikazati te veliµcine, ali uoµcljivo je da kada bi se toµcka
koja prikazuje stvarnu vrijednost y nalazila, recimo, izme†u regresijskog pravca i sredine
y da bi ukupno odstupanje bilo manje od objašnjenog odstupanja.
33