Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

ventes convexo-cerradas de puntos extremos, han sido objeto de estudio, en
multitud de trabajos posteriores, reconstrucciones más perfectas (mediante
envolventes convexas, secuencialmente convexas o representaciones en términosdeintegralesvectoriales).
Por otra parte, aún en ausencia de compacidad, existen importantes clases
de espacios de Banach cuya bola unidad posee una rica estructura extremal.
Naturalmente, éste es el caso de los espacios estrictamente convexos, pero
también de importantes álgebras de funciones continuas y de operadores.
Digamos, sin ir más lejos, que la bola unidad de C(K), el álgebra compleja
de las funciones continuas definidas en un espacio compacto de Hausdorff
K, coincide con la envolvente convexo-cerrada de sus puntos extremos. Un
hecho probado por Phelps en [52]. Para una tal álgebra los puntos extremos
de la bola unidad y los elementos unitarios son exactamente los mismos. Posteriormente,
Russo y Dye demostraron en [57] que el grupo de los elementos
unitarios de cualquier C∗-álgebra (compleja y unital) verifica también la
igualdad que había descubierto Phelps en el caso especial de C(K).
La gran variedad de aplicaciones del Teorema de Krein-Milman y de los
resultados que acabamos de citar justifican ampliamente el interés de la obtención
de teoremas de este tipo para subconjuntos convexos no necesariamente
compactos de un espacio normado. La bola unidad es sin duda el
más representativo de tales conjuntos y sobre ella concentraremos nuestra
atención en esta memoria. El primer paso suele ser la descripción de los
puntos extremos para, a continuación, determinar si generan la bola mediante
alguno de los procedimientos ya mencionados (envolventes convexas,
secuencialmente convexas o convexo-cerradas).
Aunque no se encuentra entre los objetivos de este trabajo, es obligado
mencionar que la investigación de puntos extremos está conectada con un
xi