Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

20 Capítulo 2. Una nueva desigualdad en espacios normados
mos más adelante.
2.1 Orientación y distancias
Con objeto de poner a punto los ingredientes fundamentales que usaremos
en la demostración de la desigualdad, introduciremos en esta sección una
relación de orden natural en cualquier semicircunferencia de un espacio normado
real X0 de dimensión dos. Con tal propósito, sea a un elemento no
nulo de X0 y f un funcional de norma uno tal que ker f =lin{a}.
Dado un número real positivo r consideremos el conjunto
S(r, f)={x ∈ X0 : ||x|| = r, f(x) ≥ 0}
que como puede apreciarse, corresponde a una semicircunferencia centrada
en el origen y de radio r. Sea a∗ el funcional de soporte en el punto a , es ||a||
decir, a∗ ∈ SX∗ 0 ,a∗ ( a
||a|| )=1.
Veamos en primer lugar que si x e y son dos elementos diferentes del
conjunto S(r, f) tales que a ∗ (x) =a ∗ (y), entonces
a ∗ (x) =a ∗ (y) =r ó a ∗ (x) =a ∗ (y) =−r.
En efecto, los funcionales f y a∗ tienen distinto núcleo y por tanto son linealmente
independientes. En consecuencia separan los puntos de X0. Dado
que a∗ (x) = a∗ (y), se tiene necesariamente que f(x) 6= f(y) ypodemos
suponer sin perder generalidad que f(x)