Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 17
y en consecuencia
2γ1(f1(t)) = γ1(f1(t)) − γ1(ρ1(f1(t))),
por lo que γ1(f1(t)) ∈ ker x ∗ 1 y necesariamente f1(t) =s1, lo que no es posible
ya que t ∈ V1. En virtud del Lema 1.8,
Por tanto
Análogamente si t ∈ V2,
u(t) =γ1(f1(t)) o u(t) =γ1(ρ1(f1(t))).
min{||u(t) − γ1(f1(t))||, ||u(t) − γ1(ρ1(f1(t)))||} =0.
min{||u(t) − γ2(f2(t))||, ||u(t) − γ2(ρ2(f2(t)))||} =0.
Supongamos, para llegar a una contradicción, que t ∈ V 1 ∩ V 2. La continuidad
de las funciones que aparecen como primer miembro de las anteriores
igualdades nos garantiza que ambas se verifican para t. Puesto que
V 1 ⊆ T \V2 y V 2 ⊆ T \V1, t∈ T \(V1 ∪ V2) yportantof1(t) =s1, f2(t) =s2.
De este modo, las igualdades precedentes se traducen en las que siguen:
min{||u(t) − γ1(s1)||, ||u(t)+γ1(s1)||} =0.
min{||u(t) − γ2(s2)||, ||u(t)+γ2(s2)||} =0.
Consecuentemente, γ1(s1) =γ2(s2) o γ1(s1) =−γ2(s2). En cualquier caso
ker x ∗ 1 =kerx ∗ 2, y este hecho contradice la independencia lineal de los funcionales
x ∗ 1 y x ∗ 2.
En [8], [19] y [54], M.J. Canfell, D. Handelman y A.G. Robertson probaron
(independientemente) un caso particular del teorema anterior. Concretamente
el correspondiente al espacio euclídeo R 2 .