Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 15
Finalizamos el capítulo con la caracterización prometida de la propiedad
de representación por medias de longitud dos.
Teorema 1.10 Sea X un espacio normado estrictamente convexo de dimensión
2 y T un espacio topológico compacto de Hausdorff. Son equivalentes:
i) T es un F -espacio y dim T ≤ 1.
ii) C(T,X) tiene descomposición polar.
iii) Todo punto de la bola unidad de C(T,X) es media de dos puntos extremos.
Demostración:
En vista de los resultados anteriormente expuestos sólo resta probar que
la tercera afirmación implica la primera.
Denotemos por S1 , como es habitual, la esfera unidad del espacio euclídeo
R2 . Si H : R2 → X es un isomorfismo entonces la aplicación h : S1 → SX
dada por
h(z) = H(z)
, para todo z ∈ S1
||H(z)||
es un homeomorfismo tal que h(−z) =−h(z), para todo z ∈ S1 . Es pues
inmediato que las aplicaciones γ1, γ2 :[0, 1] → X definidas por
γ1(s) =h(cos(2πs), sen(2πs)) , γ2(s) =h(cos(2πs + π
π
), sen(2πs +
2 2 ))
cumplen las condiciones del Lema 1.9. Para cada j ∈ {1, 2}, sea x∗ j un
funcional de soporte de BX en el punto γj(0) y consideremos la función
continua ρj, de [0, 1
2
1 ] en [ , 1], que garantiza el citado lema. Notemos por sj
2
el único elemento del intervalo [0, 1
2 ] tal que γj(sj) ∈ ker x ∗ j. Sabemos que, de
hecho, sj ∈]0, 1
2 [ y ρj(sj) =sj + 1
continua dada por
ϕj(s) = γj(s)+γj(ρj(s))
2
2 . Sea además ϕj :[0, 1
2
, para todo s ∈ [0, 1
2 ].
] → X, la aplicación