Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

xix
corresponde al caso real. La relación existente entre la estructura extremal
de los espacios de funciones continuas vectorialmente valuadas y la teoría
de retracciones nos lleva, de este modo, a estudiar los espacios de funciones
uniformemente continuas. Este análisis ocupará los siguientes tres capítulos
de la memoria y proporcionará sus frutos en la teoría de retracciones. Pero
antes tendremos ocasión de conocer con cierto detalle la estructura extremal
de los espacios de funciones uniformemente continuas, lo que goza de un
interés propio e independiente de la teoría citada.
El tránsito de los espacios de funciones continuas a los espacios de funciones
uniformemente continuas vectorialmente valuadas entraña la superación
de severas dificultades que se pondrán de manifiesto en los comentarios siguientes.
El segundo capítulo de la memoria está dedicado íntegramente al estudio
de una nueva desigualdad que es válida en cualquier espacio normado
bidimensional (Teorema 2.6):
Sea X0 un espacio normado de dimensión dos y a ∈ X0\{0}. Entonces
existe un número real ρ > 0 (que sólo depende de kak) talque
|||y − a|| − ||x − a|| | ≥ ρ(1 − ||x+y||
2 ), (0.1)
para cualesquiera x, y ∈ SX0 tales que f(x)f(y) ≥ 0, donde f es un elemento
de X∗ 0 con ker f =lin {a}.
El vector a o, más exactamente, el subespacio que engendra, divide la
esfera unidad de X0 en dos “semicircunferencias”. Además, la condición
f(x)f(y) ≥ 0 nos dice precisamente que x e y deben pertenecer a una de
ellas. La denominación que usamos para la desigualdad anterior está basada
en este hecho.