Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

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xxvi Introducción La existencia de aplicaciones uniformemente continuas v : SX → SX que cumplan (0.3) está garantizada en todo espacio normado de dimensión infinita X. Si X es uniformemente convexo la condición (0.4) es automática. Por otra parte, si X es un espacio normado complejo, la aplicación v : SX → SX dada por v(x) =ix satisface evidentemente (0.3) y (0.4). Téngase en cuenta que lin {x, v(x)} denota el subespacio real de X engendrado por x y v(x). Los precedentes relativos al caso complejo son por tanto una consecuencia inmediata de los obtenidos en este capítulo. Pasamosyaadescribirelquintocapítulodelamemoria. Seproduce aquí una ruptura importante con respecto al contenido de los anteriores pues concentraremos nuestra atención en los espacios de funciones con valores en R y, además, sustituiremos la norma uniforme por el diámetro de la imagen de las funciones. A su vez, tales funciones se supondrán definidas en un espacio topológico compacto de Hausdorff K. Dada una función continua f : K → R, ρ(f) denotará el diámetro de f(K). Obtenemos de este modo una seminorma en el espacio C(K) de las funciones continuas de K en R. Fijemos un punto t0 ∈ K y sea X el subespacio de C(K) constituido por las funciones que se anulan en t0. El funcional ρ convierte a X en un espacio de Banach cuya estructura extremal estudiamos en este capítulo. UnavezdescritoslospuntosextremosdeBX (Lema 5.1) probaremos la equivalencia entre las siguientes afirmaciones (Teorema 5.3): i) Para cada x ∈ BX existe una sucesión {λn} de elementos del intervalo [0, 1] con P∞ n=1 λn =1y una sucesión {en} de puntos extremos de la bola unidad de X tales que x = P∞ n=1 λnen . ii) BX = co(EX).
iii) K es totalmente disconexo. xxvii Como consecuencia inmediata obtenemos (Corolario 5.4) que tales afirmaciones son equivalentes en el caso X = C0(L), siendo L un espacio localmente compacto (no compacto) y C0(L) el espacio de las funciones reales continuas queseanulanenelinfinito provisto de la norma del diámetro. Obsérvese en particular que en c0, con la norma del diámetro, se cumplen las afirmaciones i) y ii). Antes de finalizar esta introducción hemos de señalar que la mayor parte del contenido de la tesis ha sido ya publicado en varios artículos (véanse [31], [46], [47] y [48]). A continuación quiero mostrar mi agradecimiento en primer lugar a los matemáticospionerosenelestudiodepuntosextremosyalosquenoshan sugerido posibles caminos para seguir trabajando en la misma línea. En particular, a Juan Francisco Mena, de la Universidad de Granada, por su enorme calidad humana y por tantos pequeños ratos que ha dedicado a mi formación en investigación. Agradecer de forma extensiva al departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada por permitirme participar como investigador en los Proyectos de I+D+I que indico a continuación: PB98-1335/1999, P05-FQM-1215/2006, MTM2006-04837, P06-FQM-1438/2007 y P08-FQM- 03737/2009. A la Junta de Andalucía y al Ministerio de Educación, por las ayudas recibidas a través de las distintas convocatorias y por su financiación económica. A la Universidad de Almería, en particular a los compañeros del departamento al que pertenezco por brindarme la oportunidad de integrarme como docente e investigador y por el apoyo recibido durante estos años. En es-
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Glosario Descomposición polar, xvi
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