Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

xxi
continuas (ni siquiera continuas, como se acaba de indicar) definidas en la
esfera unidad de un espacio normado y con valores en dicha esfera. Sin embargo,
podemos restringirnos a subconjuntos convenientes de la esfera unidad
para obtener un resultado positivo en la línea que acabamos de exponer.
Además, en tal caso, podemos conseguir aplicaciones que son, de hecho, lipchitzianas.
Exponemos ya, sin más preámbulos, el resultado fundamental
(Teorema 3.4):
Sea X un espacio normado de dimensión mayor o igual que dos, x0 ∈ SX
y ρ ∈ R con 0 < ρ ≤ 2. Entonces existe una aplicación lipschitziana v, de
SX\B(x0, ρ) en SX, tal que
inf {kv(x) ± xk : x ∈ SX\B(x0, ρ)} > 0.
Una vez probado este enunciado dedicaremos cierta atención a las mejoras
que pueden conseguirse en dimensión par o infinita y, posteriormente, abordaremos
una cuestión que nos parece sumamente interesante, sobre todo,
por los problemas que deja abiertos para el futuro. Se trata, en concreto,
de analizar la posible existencia de aplicaciones entre esferas, sin puntos fijos
ni antípodas aproximados, que sean de hecho restricción de aplicaciones
lineales. Esto ocurre evidentemente en cualquier espacio normado complejo
(basta considerar la aplicación x 7→ ix). Sin embargo, como veremos en la
última sección del capítulo, todo espacio normado real y suave puede renormarse
de modo que cada isometría lineal posea un punto fijo o transforme
un punto en su antípoda (Teorema 3.11).
La desigualdad de la semicircunferencia y las aplicaciones sin puntos fijos
ni antípodas constituyen la base sobre la que abordar de manera eficiente
nuestro estudio de la estructura extremal de los espacios de funciones uniformemente
continuas vectorialmente valuadas.