Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

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ylafunciónt7→ (1 − kf(t)k)g(t), de T en X, pertenece a Y.
Es inmediato que el propio espacio C(T,X) tiene suficientes funciones
no nulas y lo mismo ocurre con U(M,X) (un subespacio de C(M,X)). Por
otra parte, si L es un espacio topológico localmente compacto de Hausdorff,
C0(L, X) (un subespacio de C(L, X)) tiene también suficientes funciones no
nulas.
Elinterésdelapropiedadqueacabamosdeintroducirseponedemanifiesto
en la Proposición 4.1:
Dado un subespacio Y de C(T,X) con suficientes funciones no nulas y
e ∈ EY se tiene que ke(t)k =1para todo t ∈ T.
Señalemos además que si X es estrictamente convexo la afirmación recíproca
es también cierta, lo que nos proporciona, simultáneamente, una caracterización
de los puntos extremos de la bola unidad de los espacios C(T,X)
y U(M,X). La correspondiente al primero de ellos había sido comentada
anteriormente.
Digamos, para hacer énfasis en la utilidad de la noción introducida, que
la Proposición 4.1 nos da como corolario inmediato el siguiente hecho bien
conocido:
Sea L un espacio topológico localmente compacto de Hausdorff tal que
EC0(L,X) 6= ∅. Entonces L es compacto.
Dado un espacio normado X es claro que EX 6= ∅ si, y sólo si, EC(T,X) 6= ∅
para todo espacio topológico T. Cabe también preguntarse si la condición
EX = ∅ es equivalente a afirmar que EC(T,X) = ∅ para cada espacio topológico
T. Se trata de una cuestión natural que estudiamos muy de pasada pues, de
acuerdo con los objetivos de la memoria y en particular con nuestra pretensión
de obtener teoremas de tipo Krein-Milman, es lógico trabajar bajo