Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

símbolos BX y SX denotaránlabolaunidadcerradaylaesferaunidadde
xiii
X, respectivamente. Siguiendo la notación clásica pondremos S1 , en lugar
de SX, si X es el espacio euclídeo real de dimensión dos. Por otra parte,
EX representará el conjunto de los puntos extremos (eventualmente vacío)
de BX. Además co(EX) y co(EX) serán, como es habitual, las envolventes
convexa y convexo-cerrada de EX, respectivamente. Cada vez que hagamos
referencia a la dimensión de un espacio normado X nos referiremos, aún
cuando posea estructura compleja, a su dimensión como espacio vectorial real
y la denotaremos por dim X. Un espacio topológico arbitrario será designado
por T y mediante el símbolo C(T,X) denotaremos el espacio de las funciones
continuas y acotadas de T en X, provisto, como es costumbre, de su norma
uniforme:
kfk =sup{kf(t)k : t ∈ T }, para todo f ∈ C(T,X).
El espacio de Banach dual de un espacio normado X será representado por
X∗ ysiA es un subconjunto de X escribiremos lin A para referirnos al
subespacio real de X engendrado por A. Dados x, y ∈ X el símbolo [x, y]
designará el segmento lineal cerrado determinado por tales puntos:
[x, y] ={(1 − t)x + ty : t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}
El significado de [x, y[ y ]x, y] resulta igualmente obvio.
En espacios del tipo C(T,X), el problema de la descripción de los puntos
extremos de la bola unidad no está resuelto a plena generalidad. Sin embargo,
para X estrictamente convexo (un espacio de Hilbert en particular) tales
puntos son las funciones continuas de T en la esfera unidad de X.
Una breve semblanza de los precedentes relacionados con la memoria nos
servirá para comprender el estado actual de esta línea y motivar, al mismo
tiempo, los problemas que abordaremos.