Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 5
regular, pues, cualquiera que sea el espacio topológico T, existe un espacio
completamente regular T # tal que C(T,X) es isométricamente isomorfo a
C(T # ,X) (véase a este respecto [64]). Nótese, por tanto, que la segunda
afirmación del teorema anterior se verifica para cualquier espacio topológico
T.
1.2 Teoremas de representación por medias
de longitud dos
El rango extremal de los espacios del tipo C(T,X) depende de las cualidades
de T ,delasdeX, e incluso de la buena avenencia entre ambos espacios. Para
ser más concretos, supongamos que estamos ante el mínimo rango posible (a
fin de cuentas, ésta es la propiedad que estudiamos). Entonces todo elemento
de la bola unidad de Y = C(T,X) es media de dos puntos extremos y, en
particular, dado e ∈ EY , existen u, v ∈ EY tales que e = u + v (aplíquese la
hipótesis a 1e).
Es claro pues que
2
−e(t) 6= u(t) 6= e(t), para todo t ∈ T.
Decimos en tal caso que EY es triangulable (dado cualquier elemento de EY
existe otro elemento en EY que no coincide con el anterior ni con su opuesto
en ningún punto). La triangulabilidad de EY es automática si T es compacto
de Hausdorff y contráctil (cualquiera que sea el espacio estrictamente convexo
X de dimensión mayor o igual que 2). También lo es si X es un espacio de
dimensión par o infinita (cualquiera que sea el espacio topológico T ), pues en
ambas situaciones existen aplicaciones continuas v de SX en SX sin puntos
fijos ni antípodas (−x 6= v(x) 6= x, ∀x ∈ SX). Finalmente, la condición
dim T < dim X − 1 también garantiza que EY es triangulable. Aunque,
como hemos visto, la triangulabilidad es una condición necesaria para que
las medias de longitud dos generen la bola, no es, por sí sola una condición
suficiente. Pero, en cualquier caso, permite precisar el contenido del Teorema