Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

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xvi Introducción tinuas de la bola unidad sobre la esfera unidad de cualquier espacio normado infinito-dimensional X fue probada por Dugundji en [12]. Posteriormente, Benyamini y Sternfeld ([4]) mejoraron sustancialmente este resultado probando que, de hecho, SX es un retracto de Lipschitz de BX. Los primeros resultados que muestran la conexión de tal tipo de retracciones con la geometría de C(T,X) aparecen en [6] y [44]. Es conocido a partir de tales trabajos que la identidad en la bola unidad de un espacio normado infinito-dimensional y estrictamente convexo X puede expresarse como media de un número finito de retracciones continuas de la bola en la esfera unidad de X. Posteriormente, como puede verse en [27], se consigue demostrar que dicha representación de la identidad es factible mediante retracciones uniformemente continuas si X admite estructura compleja y, en tal caso, no se requiere su convexidad estricta. En cambio, la representación por medio de retracciones lipschitzianas parece estar vedada aunque, de momento, sólo tenemosconstanciadetalhechoenelcasodelosespaciosdeHilbert. Pasamos ya a describir el contenido de la memoria: En el primer capítulo analizamos la posibilidad de que el rango extremal de un espacio del tipo C(T,X), con X estrictamente convexo, sea igual a dos. Esta propiedad nos dice, como hemos visto anteriormente, que cada elemento de la bola unidad de C(T,X) puede expresarse como media de dos puntos extremos. Se asumirá en toda la discusión que la dimensión de X es mayor o igual que dos, pues el rango extremal de C(T,R) es infinito (piénsese que si n es un natural y e1,...,en sonpuntosextremosdelabolaunidaddeC(T,R), los valores de la función e1+···+en son todos racionales. En consecuencia, si α n es un irracional del intervalo ]−1, 1[, la función constantemente igual a α no coincide con ninguna función del tipo e1+···+en ). n La propiedad sobre el espacio Y = C(T,X) que estudiamos en este capí-
xvii tulo implica, como a continuación observaremos, una cierta condición que, por su contenido geométrico, denominamos triangulabilidad. Concretamente, Decimos que EY es triangulable si dado e ∈ EY existe u ∈ EY tal que −e(t) 6= u(t) 6= e(t), para todo t ∈ T. Mostramos después que la triangulabilidad de EY no es suficiente para garantizar que el rango extremal del espacio Y sea dos, ni siquiera en presenciadelaigualdadBY =co(EY ). A través de tales consideraciones llegaremos de forma natural al concepto de F -espacio que, a su vez, puede entenderse en los siguientes términos: Un espacio topológico T recibe el nombre de F -espacio si cada función continua y acotada definida en un co-cero de T yconvaloresenR admite una extensión continua a todo T. Los espacios topológicos que acabamos de considerar son conocidos también en la literatura como espacios subestonianos. Por otra parte, la noción de F -espacio está conectada con una propiedad extraordinariamente útil en nuestro estudio del mínimo rango extremal en C(T,X): Dado un espacio topológico T y un espacio normado X, se dice que C(T,X) tiene descomposición polar si para cada f ∈ C(T,X) existe una función continua e de T en SX tal que f(t) =||f(t)||e(t), para todo t ∈ T. Disponemos ya de todos los elementos necesarios para enunciar el resultado principal de este capítulo (Teorema 1.7):
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142 Bibliografía [8] M.J. Canfell,
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144 Bibliografía [29] A. Jiménez-
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146 Bibliografía [47] J .C. Navarr
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Glosario Descomposición polar, xvi
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