Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 13
Lema 1.9 Sea X un espacio normado estrictamente convexo de dimensión
2 y γ :[0, 1] → X una aplicación continua tal que
γ([0, 1]) = SX, γ(0) = γ(1), γ|]0,1] es inyectiva y
γ(s + 1
1
)=−γ(s), para todo s ∈ [0,
2 2 ].
Consideremos x∗ ∈ X∗ tal que ||x∗ || = x∗ (γ(0)) = 1 (un funcional de soporte
de BX en el punto γ(0)). Entonces, para cada s ∈ [0, 1]
existe un único
2
ρ(s) ∈ [ 1
2 , 1] tal que γ(s) − γ(ρ(s)) ∈ ker x∗ . Además:
i) La aplicación s 7→ ρ(s), de [0, 1
2
1 ] en [ , 1], es continua.
2
ii) Existe un único s0 ∈ [0, 1
2 ] tal que γ(s0) ∈ ker x ∗ .
iii) s0 ∈]0, 1
2 [ y ρ(s0) =s0 + 1
2 .
Demostración:
Puesto que
x ∗ (γ(0)) = x ∗ (γ(1)) = 1, x ∗ (γ( 1
2 )) = −x∗ (γ(0)) = −1
se tiene
x ∗ (γ([0, 1
2 ]) = [−1, 1] = x∗ (γ([ 1
, 1]))
2
ydeellosesigueclaramentequedados∈ [0, 1
2 ], existe s0 ∈ [ 1,
1] tal que
2
γ(s) − γ(s0 ) ∈ ker x∗ . Conobjetodeprobarlaunicidadseas00 ∈ [ 1,
1] con
2
γ(s) − γ(s00 ) ∈ ker x∗ . Entonces los vectores γ(s00 ) − γ(s0 ) y γ(s00 ) − γ(s) son
linealmente dependientes y por tanto existe λ ∈ R tal que
γ(s 00 ) − γ(s 0 )=λ(γ(s 00 ) − γ(s)).
Si λ =0, γ(s00 )=γ(s0 ) ycomoγ|]0,1] es inyectiva, s00 = s0 . Si 0 < λ < 1, la
igualdad
(1 − λ)γ(s 00 )+λγ(s) =γ(s 0 )