Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 11
Definimos g :[0, 2] × T → X por
⎧
⎪⎨ (1 − s)f(t)+se(t) si 0 ≤ s ≤ 1
g(s, t) =
⎪⎩
(2 − s)e(t) − (s − 1)f(t) si 1 ≤ s ≤ 2
Claramente g es continua y omite el origen. Podemos pues considerar la
función continua Γ, de [0, 2] × T en SX, definida por
g(s, t)
Γ(s, t) = , para todo (s, t) ∈ [0, 2] × T.
||g(s, t)||
Sea A = {t ∈ T : ||h(t)|| 6= 0} y fijemos t en A. Teniendo en cuenta que
h(t) =||h(t)||f(t) y ||f(t)|| =1,setiene:
||2h(t) − Γ(0,t)|| = ||2h(t) − f(t)|| = |2||h(t)|| − 1| ≤ 1 y
||2h(t) − Γ(2,t)|| = ||2h(t)+f(t)|| =2||h(t)|| +1≥ 1.
En consecuencia, existe s en [0, 2] tal que
||2h(t) − Γ(s, t)|| =1.
Para probar que s es único, sea s 0 ∈ [0, 2] tal que ||2h(t) − Γ(s 0 ,t)|| =1.
Consideremos a =2h(t), M= lin {a, e(t)} y Φ ∈ M ∗ tal que
Es claro que
ker Φ =lin{a} y Φ(e(t)) > 0.
Φ(Γ(s, t)) ≥ 0, para todo s ∈ [0, 2] .
Aplicando el Lema 1.6 se tiene que Γ(s, t) =Γ(s 0 ,t). De donde se sigue que
s = s 0 , teniendo en cuenta que la aplicación Γ(·,t), de [0, 2] en X, es inyectiva
como fácilmente se comprueba.
Denotemos por s(t) el único elemento de [0, 2] con ||2h(t)−Γ(s(t),t)|| =1.
Veamos ahora que la aplicación t 7→ s(t), de A en [0, 2] , es continua. Si no lo
fuese, existiría un punto t en A, unared{ti} de elementos de A y un punto
s en [0, 2] tal que
{ti} → t y {s(ti)} → s 6= s(t).