Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Sección 1.1. Presentación y preliminares 3
por C(T,X). Es claro que la bola unidad del espacio Y = C(T,X) está
constituida por las funciones continuas de T en BX.
Aunque lo justificaremos más adelante en ambiente más general, véase la
Proposición 4.2 y el comentario que le precede, conviene mencionar aquí que
si X es estrictamente convexo, EY es el conjunto de las funciones continuas
de T en SX.
A continuación trataremos de motivar el contenido del capítulo.
La estructura extremal de la bola unidad de un espacio normado puede
encontrarse en situaciones muy diversas, comprendidas entre la ausencia de
tales puntos, que es el caso más desfavorable, como ocurre en c0 o L1([0, 1]),
y la convexidad estricta del espacio, que representa la mayor abundancia
posible de puntos extremos. En este último caso, exceptuando a R, todo
elemento de la bola unidad es media de dos puntos extremos y desde luego, no
cabe esperar una reconstrucción más perfecta. Sin embargo, esta propiedad
no es exclusiva de los espacios estrictamente convexos. De hecho, si H es
un espacio de Hilbert complejo, el álgebra L(H) de los operadores lineales y
continuos en H la verifica.
Los resultados que presentamos en la siguiente sección ofrecen un análisis
de los espacios C(T,X) cuyo rango extremal alcanza el valor mínimo. Se
trata pues de espacios que comparten con los estrictamente convexos o con
L(H) la propiedad geométrica que acabamos de mencionar.
Dado que, evidentemente, C(T,R) carece de tal propiedad (de hecho, sólo
en casos triviales, la bola unidad de este espacio es la envolvente convexa
de sus puntos extremos) supondremos, a lo largo de este capítulo, que la
dimensión de X es mayor o igual que 2. Debe quedar claro, como ya hemos
comentado en la introducción, que cualquier referencia a la dimensión de un
espacio normado en el desarrollo de la memoria, habrá de interpretarsese en