Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

Aún se puede afinar más en lo referente al rango o longitud de las representaciones
convexas por medio de puntos extremos. Centremos ahora nuestra
atención en las combinaciones convexas más sencillas que, evidentemente,
son aquellas en las que los escalares coinciden. Dado un natural n, diremos
que el rango extremal de un espacio normado Y es menor o igual que n si
todo elemento de la bola unidad cerrada de Y puede expresarse como media
de no más de n puntos extremos de BY . Si no existe ningún natural n que
cumpla lo anterior se dice que el rango extremal de Y es infinito (lo que en
particular ocurre si EY = ∅). En otro caso, el rango extremal de Y es el mínimo
natural n que satisface la condición citada. Es obvio que R tiene rango
infinito y que cualquier espacio estrictamente convexo de dimensión mayor
que uno tiene rango dos. Es igualmente evidente que no existen espacios
normados con rango extremal uno (si sólo consideramos, como indicábamos
anteriormente, espacios normados no triviales). Robertson caracterizó en
[54] los espacios compactos de Hausdorff T tales que el rango extremal de
C(T,C) es igual a dos. Kadison, Olsen, Pedersen y Rordam, entre otros,
han estudiado una noción similar, para unitarios en lugar de extremos, en el
marco de las C∗-álgebras (complejas y unitales). Véase a este respecto [32],
[49] y [55].
Concluimos la exposición de preliminares con algunos comentarios sobre
la interacción de la estructura extremal de los espacios de funciones continuas
con la teoría de retracciones en espacios de Banach.
Si X es un espacio normado de dimensión infinita y T = BX (con la
topología de la norma) los resultados que describen la estructura extremal
de C(T,X) originan de forma natural interesantes cuestiones acerca de retracciones
de BX sobre SX.
Hemos de señalar en primer lugar que la existencia de retracciones con-
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