Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

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8 Capítulo 1. Rango extremal en espacios de funciones continuas fj(t) =0, ∀t ∈ V k, ∀j ∈ {1,...,n}\{k} Si existiese t ∈ V 1 ∩ ...∩ V n, entonces u(t) =(u1(t),...,un(t)) = (f1(t),...,fn(t)) = f(t) =0 lo que nos llevaría a una contradicción. Si n =2y T es normal (en particular, si T es compacto de Hausdorff), la tesis del resultado anterior es una de las caracterizaciones de los llamados F -espacios (como puede deducirse de [64, Theorem 1.60]). La definición que se adopta en esta última referencia para tales espacios es, tal vez, la más interesante en nuestro contexto: Definición 1.3 Se dice que un espacio topológico T es un F -espacio si para todo subconjunto funcionalmente abierto V de T, se verifica que cada función continua y acotada de V en R admite una extensión continua a todo T. Ni que decir tiene que si la imagen de la función a extender está contenida en un intervalo [a, b], la correspondiente extensión puede elegirse con imagen contenida en el mismo intervalo (ya que obviamente [a, b] es un retracto de R). La noción de F -espacio es muy restrictiva (piénsese por ejemplo que cada F -espacio metrizable es discreto [20, 14.M.3]). Sin embargo, tales espacios aparecen con cierta frecuencia en la literatura y han sido objeto de un estudio sistemático por parte de Grove y Pedersen [21] bajo el nombre de espacios subestonianos (pues son, de hecho, una generalización de los espacios estonianos). Existen numerosos trabajos, cuyas referencias pueden encontrarse en [21], de autores tales como Gillman y Henriksen, Bade, Choquet, Seever y otros en los que se muestran sus propiedades básicas y su relación con diversos problemas del Análisis Funcional (diagonalización de matrices sobre espacios de funciones continuas escalarmente valuadas, medidas sobre F -espacios, teoremas de densidad de tipo Stone-Weierstrass, etc). Señalemos finalmente que las álgebras de Von Neumann conmutativas son todas del tipo C(T,IC) con T un F -espacio compacto de Hausdorff.
Sección 1.2. Teoremas de representación por medias de longitud dos 9 En [20, Theorem 14.25] se prueba que un espacio topológico T es un F - espacio si, y sólo si, dada una función continua f : T → R existe una función continua g : T → R tal que f(t) =|f(t)|g(t), para todo t ∈ T. Es claro que |g(t)| =1, para todo t tal que f(t) 6= 0. Si exigimos |g(t)| =1, para todo t ∈ T, aparece la denominada descomposición polar de f. En general, dado un espacio topológico T y un espacio normado X, se dice que C(T,X) tiene descomposición polar si para cada f ∈ C(T,X) existe una función continua e, de T en SX, tal que f(t) =||f(t)||e(t), para todo t ∈ T. La siguiente observación nos será de utilidad más adelante: Lema 1.4 Sea T un espacio topológico y X un espacio normado tales que C(T,X) tiene descomposición polar. Entonces T es un F -espacio. Demostración: Sea f : T → R unafuncióncontinuayfijemos un punto x ∈ SX. Consideremos la aplicación h : T → X definida por h(t) = f(t) 1+|f(t)| x, para todo t ∈ T. Evidentemente h ∈ C(T,X) y por hipótesis existe e : T → SX continua tal que h(t) =||h(t)||e(t), para todo t ∈ T. Sea x ∗ ∈ SX ∗ tal que x∗ (x) =1.Entonces es decir, x ∗ (h(t)) = ||h(t)||x ∗ (e(t)), para todo t ∈ T, f(t) 1+|f(t)| = |f(t)| 1+|f(t)| x∗ (e(t)), para todo t ∈ T.
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142 Bibliografía [8] M.J. Canfell,
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144 Bibliografía [29] A. Jiménez-
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146 Bibliografía [47] J .C. Navarr
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Glosario Descomposición polar, xvi
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