Matemática (Libro para el Docente parte II) - Región Educativa 11
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MATEMÁTICA<br />
MÓDULOS PARA DOCENTES<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
TERMINALIDAD<br />
DE<br />
PRIMARIA<br />
PARA<br />
ADULTOS<br />
A DISTANCIA
INDICE<br />
Introducción<br />
Contenidos y actividades<br />
* Eje: Números<br />
Números naturales<br />
Números fraccionarios<br />
Expresiones decimales<br />
* Eje: Operaciones<br />
Adición y sustracción<br />
* Eje: Medida<br />
1<br />
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano<br />
* Actividades grupales<br />
* Bibliografía<br />
* Evaluación<br />
Ministerio de Educación. Av Santa Fé 1548. Buenos Aires.<br />
Hecho <strong>el</strong> depósito que establece la Ley <strong>11</strong>.723.<br />
<strong>Libro</strong> de Edición Argentina. ISBN 950-00-0372-4<br />
Primera Edición. Primera Reimpresión.
Ministro de Educación de la Nación<br />
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri<br />
Secretario de Educación Básica<br />
Lic. Andrés D<strong>el</strong>ich<br />
Subsecretario de Educación Básica<br />
Lic. Gustavo Iaies<br />
infopace@me.gov.ar<br />
Material <strong>el</strong>aborado por los<br />
Equipos Técnicos d<strong>el</strong> Programa de<br />
Acciones Compensatorias en Educación<br />
d<strong>el</strong> Ministerio de Educación.
ÍNDICE GENERAL<br />
Módulo 1 7<br />
Módulo 2 25<br />
Módulo 3 51<br />
Módulo 4 75<br />
Módulo 5 101<br />
Módulo 6 123
MÓDULO 1<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
ÍNDICE<br />
Introducción <strong>11</strong><br />
Contenidos y actividades 12<br />
Eje Números 12<br />
Números naturales 12<br />
Números racionales 14<br />
Fracciones 14<br />
Expresiones decimales 15<br />
Eje Operaciones 16<br />
Adición y sustracción 16<br />
Eje Medida 19<br />
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano 19<br />
Actividades grupales 19<br />
Evaluación 20<br />
Bibliografía 23
INTRODUCCIÓN<br />
El Módulo Inicial (diagnóstico), se caracterizó por la integración de todos los<br />
contenidos en <strong>el</strong> contexto significativo de “Un día en la vida de los Costa”. Se<br />
pensó que era conveniente continuar en <strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos con una<br />
línea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Se<br />
trabajan contenidos de los ejes: Números, Operaciones y Medida.<br />
D<strong>el</strong> eje Números se sistematizan los contenidos: números naturales, racionales,<br />
fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir d<strong>el</strong><br />
conocimiento d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal.<br />
D<strong>el</strong> eje Operaciones se plantean la adición y la sustracción* y se propone<br />
considerar la estimación y <strong>el</strong> cálculo aproximado.<br />
Respecto d<strong>el</strong> eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempo<br />
usadas más frecuentemente.<br />
Seguramente usted habrá registrado las dificultades de los alumnos, en <strong>el</strong><br />
instrumento diagnóstico d<strong>el</strong> Módulo Inicial. Es probable que la mayoría haya<br />
podido leer y escribir correctamente números naturales, como también operar<br />
mentalmente con dichos números y con las expresiones decimales. Sin<br />
embargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades <strong>para</strong> simbolizar las<br />
operaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en <strong>el</strong> Módulo 1<br />
<strong>para</strong> alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensión d<strong>el</strong><br />
sistema de numeración decimal (composición y descomposición de números<br />
naturales y expresiones decimales), ya que este tema es fundamental <strong>para</strong> la<br />
construcción de los algoritmos de las operaciones.<br />
Los objetivos proponen que <strong>el</strong> alumno:<br />
◆ Aplique las reglas d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal a la construcción de los algoritmos<br />
de suma y resta.<br />
◆ Utilice los algoritmos de adición y sustracción entre números naturales y expresiones<br />
decimales.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va situaciones de adición y sustracción.<br />
◆ Reconozca las fracciones como <strong>parte</strong>s de un entero.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso común.<br />
* En realidad, suma y resta son los nombres <strong>para</strong> <strong>el</strong> resultado de la adición y de la sustracción;<br />
pero en <strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos, se usan suma y resta porque <strong>el</strong> adulto está más<br />
familiarizado con esos nombres.<br />
<strong>11</strong>
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES<br />
A continuación se presenta <strong>el</strong> esquema de contenidos d<strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong><br />
alumnos.<br />
Números Operaciones Medida<br />
Racionales Naturales<br />
Fracciones Expresiones decimales<br />
Eje Números<br />
Números naturales<br />
Adición Sustracción de tiempo<br />
Situaciones problemáticas<br />
Los números que se utilizan <strong>para</strong> contar la cantidad de <strong>el</strong>ementos de un<br />
conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de éstos ni <strong>el</strong> orden en que se<br />
encuentran, se llaman números naturales. Se designa con N <strong>el</strong> conjunto de<br />
estos números:<br />
N= 0,1,2,3,4,5...<br />
El 0 es un número natural porque indica la cantidad de <strong>el</strong>ementos d<strong>el</strong><br />
conjunto vacío.<br />
Además de contar, los números naturales permiten indicar un orden o<br />
posición: 1º, 2º, 3º... Es decir que <strong>el</strong> número natural surge como resultado de<br />
un proceso de coordinación entre la cardinalidad y la ordinalidad.<br />
El numeral es la expresión gráfica d<strong>el</strong> número. Actualmente se utiliza <strong>el</strong><br />
sistema de numeración decimal <strong>para</strong> simbolizar los números.<br />
Elementos Cardinal Numeral<br />
Treinta y seis 36<br />
En <strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos, las actividades, desde la Nº1 hasta la Nº<strong>11</strong>,<br />
tienen como propósito la comprensión d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal a<br />
través d<strong>el</strong> reconocimiento de sus reglas o características:<br />
12
Sistema de numeración decimal<br />
Cada símbolo representa<br />
10 distinta cantidad de unisímbolos<br />
dades, según <strong>el</strong> lugar que<br />
ocupa.<br />
La regla de construcción d<strong>el</strong> sistema decimal puede resumirse en: “no más de<br />
9 unidades su<strong>el</strong>tas cualquiera sea <strong>el</strong> orden de estas unidades”, ya que se van<br />
agrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal modo que en<br />
las cifras d<strong>el</strong> numeral 10 está representando <strong>el</strong> registro simbólico de 1 decena<br />
(10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades su<strong>el</strong>tas).<br />
Es importante destacar <strong>el</strong> carácter posicional d<strong>el</strong> sistema de numeración<br />
decimal. De la posición que ocupe una cifra en un numeral, depende <strong>el</strong> valor<br />
r<strong>el</strong>ativo que <strong>el</strong>la represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejemplo,<br />
<strong>el</strong> numeral doscientos veintidós es <strong>el</strong> registro simbólico de:<br />
2 2 2<br />
dos unidades, es decir, su<strong>el</strong>tas<br />
dos decenas, es decir, 20 unidades agrupadas<br />
dos centenas, es decir, 20 decenas agrupadas<br />
Sin mencionar <strong>el</strong> calificativo absoluto o r<strong>el</strong>ativo en la actividad Nº4, se<br />
propone <strong>el</strong> reconocimiento de esos valores.<br />
Desde la actividad Nº5 y hasta la Nº<strong>11</strong>, inclusive, se trabaja <strong>el</strong> agrupamiento<br />
de a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a las<br />
unidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100<br />
cuadraditos a las centenas. Este material facilita <strong>el</strong> agrupamiento y <strong>el</strong> canje,<br />
razón por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias presenciales con aqu<strong>el</strong>los<br />
alumnos que presenten dificultades <strong>para</strong> comprender la composición y la<br />
descomposición de números en <strong>el</strong> sistema de numeración decimal. Si <strong>el</strong><br />
alumno comprende las reglas d<strong>el</strong> sistema, posiblemente no tendrá dificultades<br />
<strong>para</strong> entender los algoritmos de las operaciones.<br />
Con <strong>el</strong> fin de comprobar <strong>el</strong> niv<strong>el</strong> de comprensión d<strong>el</strong> sistema de numeración<br />
decimal, usted podrá sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formas<br />
un numeral, por ejemplo:<br />
1.478 • 1.478 unidades, o<br />
• 147 decenas + 8 unidades, o<br />
• 14 centenas + 7 decenas + 8 unidades, o<br />
• 1 u. de mil + 47 decenas + 8 unidades, o<br />
• 14 centenas + 78 unidades, etc.<br />
13<br />
Se agrupa<br />
de a 10<br />
unidades
Se consideró importante que <strong>el</strong> alumno pudiera com<strong>para</strong>r <strong>el</strong> sistema de numeración<br />
decimal, especialmente su carácter posicional, con otro sistema que<br />
no tiene esa característica. Por tal motivo se presentó <strong>el</strong> sistema de numeración<br />
romano, que no es posicional y sus símbolos están sujetos a otras reglas.<br />
Números racionales<br />
Fracciones<br />
Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa sólo han quedado 2 alfajores,<br />
cortará cada uno de <strong>el</strong>los en dos <strong>parte</strong>s aproximadamente iguales y les entregará<br />
una mitad d<strong>el</strong> alfajor a cada uno de sus niños. Esa mitad aproximada tiene un<br />
símbolo que es 1 . A estas <strong>parte</strong>s se las llama fracciones o quebrados.<br />
2<br />
Al conjunto de números formado por los números enteros y sus <strong>parte</strong>s<br />
posibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de números racionales y se<br />
lo designa con la letra Q.<br />
Q= x/x es número racional<br />
En la vida cotidiana, <strong>para</strong> nombrar los números racionales, usamos con más<br />
frecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimos<br />
que compramos 1,500 kg. de mandarinas a $ 1,20 <strong>el</strong> kg. o que necesitamos<br />
1,75m. de t<strong>el</strong>a <strong>para</strong> hacer un vestido.<br />
Las expresiones fraccionarias equivalentes o familia de fracciones, representan<br />
todas una misma cantidad que llamamos número racional. Por ejemplo:<br />
Fracción Fracciones Fracción Expresión<br />
irreducible ordinarias decimal decimal<br />
Clase o familia<br />
de la mitad 1 = 2 = 3<br />
=<br />
4<br />
=<br />
5<br />
=<br />
0,5<br />
2 4 6 8 10<br />
En general, <strong>el</strong> alumno adulto no tiene dificultades <strong>para</strong> comprender <strong>el</strong><br />
significado de las fracciones de uso común, especialmente si están r<strong>el</strong>acionadas<br />
con las medidas, por ejemplo:<br />
1 kg., 1 l. ó 3 m.<br />
2 4 4<br />
En la vida cotidiana se plantean permanentemente situaciones en las que<br />
aparecen las <strong>parte</strong>s de un todo. El hecho de compartir una pizza con los amigos,<br />
requiere obtener trozos “aproximadamente iguales”. En <strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong><br />
alumnos, Rosa, Carlos, Berta y Jorge comen una pizza y esto da lugar a tres<br />
actividades de reconocimiento de fracciones, la Nº21, la Nº22 y la Nº23.<br />
14
Se sugiere trabajar con los alumnos la r<strong>el</strong>ación de equivalencia con fracciones<br />
simples, tales como:<br />
1 2 2 1 3 6<br />
2 4 6 3 4 8<br />
fig. 1 fig. 2 fig. 3<br />
Es conveniente partir de <strong>el</strong>ementos concretos como, por ejemplo, una tableta<br />
de chocolate o un pan lactal cortado en rebanadas, insistiendo siempre en que<br />
las <strong>parte</strong>s son “aproximadamente iguales”. Para escribir cada fracción las <strong>parte</strong>s<br />
deberían ser “exactamente iguales”.<br />
Posteriormente podrá utilizarse la representación gráfica (fig. 1, 2 y 3)<br />
considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero.<br />
Finalmente se simbolizará:<br />
1 = 2 2 = 1 3 = 6<br />
2 4 6 3 4 8<br />
Es importante que en cada caso <strong>el</strong> alumno pueda reconocer <strong>el</strong> entero como<br />
2 , 4 , 6 , 3 , 4 y 8 .<br />
2 4 6 3 4 8<br />
Expresiones decimales<br />
Las situaciones de todos los días, obligan a reconocer las expresiones decimales<br />
y a operar con las mismas: en las vidrieras donde se destacan los precios de<br />
los productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo se<br />
utilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentación d<strong>el</strong> área, es<br />
a partir d<strong>el</strong> dinero (tema éste tan significativo <strong>para</strong> los adultos), que se<br />
introduce <strong>el</strong> concepto de las expresiones decimales (actividad Nº25 en <strong>el</strong><br />
Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos).<br />
El contenido se sistematiza a partir d<strong>el</strong> conocimiento d<strong>el</strong> sistema de<br />
numeración decimal. Para <strong>el</strong>lo se utiliza <strong>el</strong> material representativo usado <strong>para</strong><br />
facilitar los canjes. Se optó por aumentar <strong>el</strong> tamaño d<strong>el</strong> cuadrado que representa<br />
la unidad con <strong>el</strong> fin de facilitar la división de la misma en diez y cien <strong>parte</strong>s<br />
iguales y, también, con <strong>el</strong> objeto de que no se confunda la unidad con la<br />
centena, se optó por representar la unidad agrandada en <strong>el</strong> dibujo.<br />
15
Se propone, además, la representación gráfica de fracciones tales como<br />
1 y 10 , 3 y 30<br />
10 100 10 100<br />
(actividades Nº26 y Nº27), <strong>para</strong> que <strong>el</strong> alumno compare fracciones decimales<br />
y pueda establecer la r<strong>el</strong>ación de equivalencia entre 8 y 80 , por ejemplo.<br />
10 100<br />
Al introducir los números fraccionarios, se amplió <strong>el</strong> universo de los números<br />
ya que con los naturales no alcanza <strong>para</strong> expresar la cantidad de porciones de<br />
pizza que comieron Carlos o Rosa (actividades Nº21, Nº22 y Nº23). Sería<br />
conveniente que los participantes observaran, además, que cada vez que se<br />
expresa una cantidad como 3 de pizza, se la está com<strong>para</strong>ndo con otra a la que<br />
4<br />
se llama unidad (en este ejemplo, la pizza entera 4 ).<br />
4<br />
Las expresiones decimales son otra forma de expresar los números fraccionarios.<br />
Tomando como base la regla d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal, trate de<br />
que los participantes hagan agrupamientos de a 10, <strong>para</strong> que <strong>el</strong>los mismos<br />
analicen qué ocurre hacia la derecha de las unidades en este gráfico:<br />
x 10 x 10<br />
1 centena 1 decena 1 unidad<br />
o o o<br />
10 decenas 10 unidades<br />
Después de haber trabajado con los alumnos las actividades Nº27 y Nº28,<br />
sería productivo completarlas con este gráfico d<strong>el</strong> siguiente modo:<br />
x 10 x 10 x 10 . 10 .<br />
.<br />
.<br />
10<br />
1 unidad de mil 1 centena 1 decena 1 unidad 1 décimo 1 centésimo<br />
ó ó ó ó ó<br />
10 centenas 10 decenas 10 unidades 0,1 unidad 0,01 unidad<br />
ó<br />
0,1 décimo<br />
La com<strong>para</strong>ción con los centavos ayuda a entender <strong>el</strong> valor de los centésimos<br />
y la diferencia entre 0,50 y 0,05, ya que evidentemente no es lo mismo tener<br />
cincuenta centavos que cinco centavos.<br />
Eje Operaciones<br />
Adición y sustracción<br />
Resolver una operación significa poder transformar los <strong>el</strong>ementos originales en<br />
otros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una lista<br />
de 47 invitados se le agregan otros 16, la lista presentará 63 invitados, como resultado<br />
de haber transformado los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.<br />
16
Como ya se explicitó en <strong>el</strong> Módulo Inicial <strong>para</strong> docentes, <strong>el</strong> planteamiento de<br />
problemas debe preceder a la enseñanza de las operaciones básicas. Dicho de<br />
otra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos se plantean situaciones problemáticas aditivas<br />
r<strong>el</strong>acionándolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar <strong>el</strong> total, y<br />
situaciones de sustracción r<strong>el</strong>acionadas con los conceptos de quitar, disminuir,<br />
complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmos<br />
de ambas operaciones.<br />
¿Qué es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento.<br />
Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de comprender<br />
su fundamento. Cuando se usa <strong>el</strong> t<strong>el</strong>evisor, la computadora, <strong>el</strong> t<strong>el</strong>éfono<br />
y tantos otros <strong>el</strong>ementos <strong>el</strong>ectrónicos modernos, se ponen en juego una serie de<br />
pasos lógicos. Esa secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas, constituye<br />
un algoritmo. Utilizar <strong>el</strong> t<strong>el</strong>éfono, por ejemplo, responde al siguiente esquema:<br />
descolgar <strong>el</strong> auricular, esperar <strong>el</strong> tono, marcar, etc. Por lo tanto, <strong>el</strong><br />
aprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritméticas <strong>el</strong>ementales<br />
sino que está presente en <strong>el</strong> accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutar<br />
estos algoritmos no se los acompaña de una reflexión, ni de una comprensión<br />
de su funcionamiento, ya que en determinados actos, un algoritmo es una<br />
herramienta que permite resolver problemas, como <strong>el</strong> de la comunicación, en<br />
<strong>el</strong> ejemplo d<strong>el</strong> t<strong>el</strong>éfono. Para <strong>el</strong> usuario, entonces, basta con automatizar las<br />
acciones, sin analizar <strong>el</strong> por qué de las mismas. En cambio, un técnico, necesita<br />
comprender <strong>el</strong> funcionamiento d<strong>el</strong> a<strong>para</strong>to <strong>el</strong>ectrónico a partir de conocimientos<br />
científicos r<strong>el</strong>acionados con la construcción d<strong>el</strong> mismo.<br />
¿Se puede enseñar a los alumnos la adición y la sustracción simplemente<br />
como una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Basta<br />
con recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprender<br />
como una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los números<br />
en juego. Podría intentar enunciarles: colocar <strong>el</strong> minuendo (número mayor)<br />
arriba d<strong>el</strong> sustraendo (número menor), de manera que coincidan en columna<br />
las unidades d<strong>el</strong> mismo orden. A las unidades d<strong>el</strong> minuendo se les resta las d<strong>el</strong><br />
sustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al compañero (las decenas), y se le<br />
suma a las unidades que se tenía; después se restan las unidades d<strong>el</strong> sustraendo.<br />
3<br />
Ejemplo: 4 1<br />
5 minuendo<br />
-<br />
2 9 sustraendo<br />
1 6<br />
Sin embargo, esto es sólo <strong>el</strong> procedimiento. La naturaleza d<strong>el</strong> algoritmo<br />
matemático no es sólo instrumental sino también un proceso de construcción<br />
racional que se apoya en aprendizajes anteriores (<strong>el</strong> sistema de numeración<br />
decimal, los propios conceptos de adición y sustracción), a los que al mismo<br />
tiempo favorece. La r<strong>el</strong>ación entre lo conceptual y lo procedimental (lo<br />
instrumental), en <strong>el</strong> aprendizaje de los algoritmos de las operaciones, se puede<br />
sintetizar así:<br />
17
• Los distintos pasos d<strong>el</strong> algoritmo se recuerdan mejor cuando existen más<br />
datos o claves <strong>para</strong> recuperarlo memorísticamente.<br />
• Comprender su fundamento científico permite la reconstrucción d<strong>el</strong> mismo,<br />
si se ha olvidado alguno de sus pasos.<br />
Por eso, en <strong>el</strong> Módulo 1 se propone a los alumnos utilizar <strong>el</strong> material representativo<br />
<strong>para</strong> la construcción d<strong>el</strong> algoritmo de la adición y d<strong>el</strong> de la sustracción.<br />
Sería conveniente que <strong>el</strong> adulto tratara de comprender <strong>el</strong> por qué de las<br />
acciones que se van realizando secuencialmente; que pueda r<strong>el</strong>acionar, por<br />
ejemplo, “llevo 1” con <strong>el</strong> “con 10 unidades formo una decena que la agrego a<br />
la columna de las decenas”.<br />
Reflexionar sobre la fundamentación de los algoritmos:<br />
• Facilita la transferencia hacia otros aprendizajes.<br />
• Posibilita la reducción d<strong>el</strong> número de errores cometidos habitualmente.<br />
• Favorece la reconstrucción cuando no se los recuerde.<br />
• Permite la recreación de otros procedimientos por tener estrategias adquiridas.<br />
Si se analiza <strong>el</strong> error conocido como “<strong>el</strong> mayor menos <strong>el</strong> menor dentro de la<br />
resta”, en él se resta <strong>el</strong> mayor menos <strong>el</strong> menor, independientemente de que<br />
pertenezca al minuendo o al sustraendo.<br />
3 5 2<br />
- 2 7 8<br />
1 2 6<br />
El conocimiento conceptual indica que esta operación consiste en quitar a<br />
una cantidad, otra menor y establece que todas las cantidades d<strong>el</strong> sustraendo<br />
deben ser restadas al minuendo. Si esto se comprende y se aplica, difícilmente<br />
se incurra en un error.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 1 se plantea que existen muchos caminos <strong>para</strong> llegar al mismo<br />
resultado y que, tal vez, <strong>el</strong> camino que se le propone al alumno (algoritmo<br />
tradicional), no coincida con <strong>el</strong> utilizado por él. Si usted comprueba que esto<br />
es así, y que <strong>el</strong> adulto ha usado otro procedimiento, convendría insistir <strong>para</strong><br />
que lo explicitara; también ayudarlo a que r<strong>el</strong>acione <strong>el</strong> procedimiento que<br />
utilizó con <strong>el</strong> concepto, <strong>para</strong> que la estrategia personal quede fundamentada.<br />
La resolución de las actividades Nº16, Nº17, Nº18, Nº19 y Nº20, le permitirán<br />
a usted comprobar qué conocimientos conceptuales ha adquirido <strong>el</strong> alumno.<br />
18
Eje Medida<br />
Tiempo histórico. Tiempo cotidiano<br />
El tiempo histórico y <strong>el</strong> tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades:<br />
unidades mayores <strong>para</strong> períodos históricos más prolongados como la década y<br />
<strong>el</strong> siglo; unidades menores <strong>para</strong> <strong>el</strong> tiempo cotidiano, año, mes, semana, día,<br />
hora, minuto.<br />
La actividad Nº14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza a<br />
partir d<strong>el</strong> año 1 de la centena exacta.<br />
El tratamiento de este tema es de utilidad <strong>para</strong> aplicarlo en <strong>el</strong> área de las<br />
ciencias sociales, al aprendizaje de los períodos históricos y a la comprensión de<br />
la línea d<strong>el</strong> tiempo.<br />
Respecto d<strong>el</strong> tiempo cotidiano, <strong>para</strong> la resolución de situaciones en las que<br />
intervienen horas y minutos (Ej.: actividades Nº39, Nº40, Nº41 y Nº42), se<br />
sugiere estimular <strong>el</strong> desarrollo de estrategias espontáneas <strong>para</strong> <strong>el</strong> cálculo. Para<br />
com<strong>para</strong>r tiempos, se podrán utilizar noticias deportivas, estimar <strong>el</strong> tiempo que<br />
demanda una tarea, calcular los tiempos de estudio por día, por semana, etc. A<br />
modo de ejemplo, usted podrá presentar en una instancia presencial un problema<br />
como éste:<br />
Un avión recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20<br />
minutos. El vu<strong>el</strong>o de retorno lo efectúa en 80 minutos. ¿Cómo explica esto?,<br />
teniendo en cuenta que en ambos viajes la situación climática y la ruta fueron<br />
similares.<br />
Actividades grupales<br />
Se proponen algunas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar los<br />
contenidos tratados, especialmente los referidos al sistema de numeración<br />
decimal y las operaciones, y <strong>para</strong> favorecer la integración grupal.<br />
Adivinar <strong>el</strong> número<br />
Propósito: trabajar serie numérica e intervalo numérico.<br />
Usted piensa en un número y los alumnos deben descubrirlo; <strong>para</strong> <strong>el</strong>lo, sólo<br />
pueden preguntar (tantas veces como sea necesario): ¿es mayor que...? o ¿es<br />
menor que...? Usted solamente puede responder sí o no.<br />
¿Cuál es mi regla?<br />
Propósito: afianzar la serie numérica y <strong>el</strong> cálculo mental.<br />
Usted o un alumno, dicen varios números r<strong>el</strong>acionados por una regla. Por<br />
ejemplo: <strong>11</strong>4, 124, 134. Los alumnos deben descubrir qué regla se aplicó (en<br />
este caso “+ 10”).<br />
19
¿Cómo obtener <strong>el</strong> número?<br />
Propósito: ejercitar <strong>el</strong> cálculo mental.<br />
Se escriben en <strong>el</strong> pizarrón varios números, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9.<br />
Después usted propone a los participantes que, empleando estos números,<br />
formulen cálculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25..., 37..., etc.<br />
EVALUACIÓN<br />
Se proponen algunas actividades de evaluación en función de los temas<br />
tratados y considerando diferentes niv<strong>el</strong>es de complejidad. Usted podrá<br />
s<strong>el</strong>eccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, según<br />
las características d<strong>el</strong> grupo de alumnos a su cargo.<br />
Actividad Nº1<br />
El número representado es 195.<br />
a) El número representado tiene cent.+ dec.+ unid.<br />
b) El número representado tiene dec. + unid.<br />
c) El número representado tiene unid. en total.<br />
d) Agrégu<strong>el</strong>e al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?<br />
20
Actividad Nº2<br />
El número 386 está expresado de distintas maneras. Subraye las correctas.<br />
Actividad Nº3<br />
El kilo de queso sardo cuesta $ 12.<br />
¿Cuánto cuesta?<br />
1/2 kg.:<br />
1/4 kg.:<br />
Actividad Nº4<br />
3C + 8D + 6U 3C + 7D + 26U<br />
2D + 18D + 6U<br />
1C + 1D + 76U 2C + 17D + 16U<br />
3C + 7D + 16U<br />
¿Qué es más barato: dos bolsitas de yerba de 1/2 kg. cada una que cuestan<br />
$0,90 cada una o una de 1 kg. que cuesta $1,90? ¿Por qué?<br />
Actividad Nº5<br />
Juan corre todas las mañanas 45 minutos antes de ir a trabajar. Si comienza a<br />
correr a las 7, ¿a qué hora finalizará?<br />
Juan mira su r<strong>el</strong>oj y piensa “aún me faltan 10 minutos <strong>para</strong> dejar de correr”.<br />
¿A qué hora miró su r<strong>el</strong>oj?<br />
21
BIBLIOGRAFÍA<br />
Mialaret, Gastón: La matemática ¿cómo se aprende, cómo se enseña? Madrid,<br />
Visor, 1972.<br />
Rico Romero, L., Castro Martínez, Encarnación, Castro Martínez, Enrique:<br />
Números y operaciones. Madrid, Síntesis, 1989.<br />
Gabba, Pablo: <strong>Matemática</strong> <strong>para</strong> maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978.<br />
Per<strong>el</strong>man, Y.: Problemas y experimentos recreativos. Moscú, 1979.<br />
Rey, María Esther: Didáctica de la matemática. Buenos Aires, Estrada, 1994.<br />
Brindstein, M. y Hyanfling, M.: <strong>Matemática</strong> 1. Buenos Aires, Aique, 1993.<br />
23
MÓDULO 2<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
Índice<br />
Introducción<br />
Contenidos y actividades<br />
Geometría<br />
Operaciones<br />
La multiplicación<br />
Su naturaleza<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la multiplicación<br />
Propiedades de la multiplicación<br />
Propiedad conmutativa<br />
Propiedad asociativa<br />
Propiedad distributiva<br />
Los errores más frecuentes<br />
Tabla pitagórica<br />
La división<br />
Su naturaleza<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la división<br />
La propiedad distributiva de la división con respecto a la suma<br />
Los errores más frecuentes<br />
Estadística<br />
Tablas de doble entrada<br />
Promedio<br />
Evaluación<br />
Bibliografía
ÍNDICE<br />
Introducción 29<br />
Contenidos y actividades 30<br />
Geometría 30<br />
Operaciones 32<br />
La multiplicación 32<br />
Su naturaleza 32<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la multiplicación 33<br />
Propiedades de la multiplicación 34<br />
Propiedad conmutativa 34<br />
Propiedad asociativa 35<br />
Propiedad distributiva 35<br />
Los errores más frecuentes 36<br />
La división 39<br />
Su naturaleza 39<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la división 40<br />
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma 41<br />
Los errores más frecuentes 41<br />
Estadística 44<br />
Tablas de doble entrada 44<br />
Promedio 44<br />
Evaluación 46<br />
Bibilografía 49
INTRODUCCIÓN<br />
El mundo que nos rodea está constituido no sólo por gran cantidad de objetos<br />
de diferentes formas y diseño como por ejemplo, muebles (mesas cuadradas,<br />
redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (r<strong>el</strong>ojes prismáticos, esféricos,<br />
cúbicos; ollas cilíndricas, prismáticas), sino también por las transformaciones<br />
propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construcción, ensanchamiento<br />
de una calle, cambio de dirección en una avenida, etc.<br />
En la vida cotidiana está presente, cada vez más, la geometría, que junto con<br />
la aritmética forman un todo. ¿Cómo pensar en los conceptos geométricos de<br />
perímetro, superficie y volumen sin r<strong>el</strong>acionarlos con <strong>el</strong> concepto de medida?<br />
¿Cómo resolver situaciones geométricas que tienen que ver con longitudes, planos<br />
y escala sin <strong>el</strong> aporte de las operaciones y de los números? Sistemática y<br />
paulatinamente, <strong>el</strong> hombre va tomando posesión d<strong>el</strong> espacio, orientándose,<br />
analizando formas y buscando r<strong>el</strong>aciones espaciales. Intuitivamente, va adquiriendo<br />
<strong>el</strong> conocimiento de su entorno.<br />
Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas d<strong>el</strong><br />
conocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prácticos d<strong>el</strong> adulto.<br />
Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuición <strong>para</strong> llegar<br />
a la reflexión, se presenta la geometría en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos. Intuición<br />
y reflexión son dos formas d<strong>el</strong> conocimiento geométrico que se r<strong>el</strong>acionan y se<br />
complementan. El hecho de adquirir conocimientos d<strong>el</strong> espacio real a partir de<br />
la intuición, es lo que se llama la percepción espacial. En las actividades que se<br />
proponen a los alumnos, se destacan los temas de geometría que caracterizan la<br />
percepción espacial: <strong>el</strong> reconocimiento de formas (actividad Nº6 b: Reconocimiento<br />
de cuerpos), de propiedades geométricas (actividad Nº6 a: Paral<strong>el</strong>ismo<br />
y perpendicularidad), transformaciones (actividad Nº2: Transformación d<strong>el</strong><br />
plano según desde donde se observe) y de r<strong>el</strong>aciones espaciales (actividad Nº5<br />
c y actividad Nº8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia).<br />
El Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos, tiene como objetivos que <strong>el</strong> alumno:<br />
◆ Se oriente en planos y croquis.<br />
◆ Reconozca distancia entre dos puntos.<br />
◆ Diferencie formas geométricas.<br />
◆ Reconozca <strong>para</strong>l<strong>el</strong>ismo y perpendicularidad.<br />
◆ Reconozca ángulos: rectos, agudos, obtusos y llanos.<br />
◆ Aplique los conocimientos d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal, y algunas propiedades<br />
de la multiplicación y división en <strong>el</strong> uso de los algoritmos.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va situaciones sencillas de promedio.<br />
29
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES<br />
Se trabajan contenidos de los ejes: Geometría, Operaciones y Estadística.<br />
Geometría Operaciones Estadística<br />
Orientación Cuerpos<br />
en planos geométricos Tablas de<br />
y mapas Multipli- División doble<br />
cación entrada<br />
Paral<strong>el</strong>ismo y Promedio<br />
perpendicularidad<br />
Ángulos Situaciones multiplicativas<br />
Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, se<br />
trabaja la multiplicación como suma reiterada entre números naturales y<br />
expresiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamente<br />
aplicada y reconocida. La división se presenta como la operación inversa de la<br />
multiplicación y como resta reiterada.<br />
D<strong>el</strong> eje Estadística, los contenidos que se trabajan son la tabla de doble<br />
entrada como recurso organizador de la información y <strong>el</strong> promedio.<br />
Los contenidos d<strong>el</strong> eje Geometría que se abordan son: orientación en planos<br />
y croquis, <strong>para</strong>l<strong>el</strong>ismo, perpendicularidad, ángulos, cuerpos geométricos.<br />
Geometría<br />
Las experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan las<br />
actividades y abstracciones posteriores.<br />
Observar es ver, notar lo común que puede haber en situaciones distintas, lo<br />
diferente en objetos y acciones, y lo característico de cada cosa.<br />
La observación de los alumnos puede orientarse por medio de preguntas que<br />
refieran a aspectos fundamentales. La actividad Nº1 propone observar un<br />
croquis y orientarse en él teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividad<br />
Nº2 se presenta <strong>el</strong> mismo croquis, pero variando su orientación y omitiendo las<br />
referencias que tenía <strong>el</strong> anterior. En ambas, la observación se va guiando a través<br />
de preguntas, <strong>para</strong> que <strong>el</strong> alumno pueda interpretar croquis y orientarse en <strong>el</strong><br />
entorno espacial que ese croquis representa. Toda observación debe ir acompañada<br />
de una acción posterior. Las actividades Nº1 y Nº2, por ejemplo, comienzan<br />
con una observación, pero inmediatamente <strong>el</strong> alumno debe actuar: señalar<br />
o indicar lo que se le solicita.<br />
30
La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, pero<br />
<strong>para</strong> que se pueda construir <strong>el</strong> espacio geométrico es imprescindible llegar a la<br />
abstracción. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriéndose a la geometría,<br />
reconocer lo que hay de común o de diferente en algunas situaciones, simplificar<br />
la situación real, esquematizándola como en la actividad Nº4 b, o determinar<br />
<strong>el</strong> campo de validez de una propiedad (actividad Nº6 a).<br />
Con este plan se trabajan, en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos, desplazamientos y<br />
recorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, <strong>para</strong>l<strong>el</strong>ismo y perpendicularidad,<br />
ángulos y cuerpos.<br />
Jean Piaget afirma que: "la representación d<strong>el</strong> espacio se debe a las actividades<br />
que realiza cada individuo, durante su experiencia diaria". En <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong><br />
alumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observación) a lo conceptual<br />
o abstracto (que incluye la reflexión y la abstracción).<br />
El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y localizar<br />
referencias y calles, señalar recorridos, identificar distancias además d<strong>el</strong><br />
sentido y la dirección de las calles. Se pretende que <strong>el</strong> alumno pueda leer e<br />
interpretar un plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en <strong>el</strong> espacio<br />
cercano o cotidiano.<br />
Una posible actividad <strong>para</strong> realizar con los alumnos en los encuentros presenciales<br />
podría ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escribe<br />
en un pap<strong>el</strong> las indicaciones <strong>para</strong> ir de una casa a otra; c) se intercambian<br />
los pap<strong>el</strong>es; d) después de leer las indicaciones, cada subgrupo representa gráficamente<br />
ese recorrido en un croquis o plano; e) vu<strong>el</strong>ven a intercambiar los pap<strong>el</strong>es;<br />
f) cada grupo interpreta <strong>el</strong> croquis o plano y, en forma verbal, es expresado<br />
por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debe<br />
coincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando <strong>el</strong> croquis o plano<br />
responde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos se<br />
equivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores más comunes son confundir<br />
sentido con dirección y derecha con izquierda.<br />
En la actividad Nº3, a partir de la lectura d<strong>el</strong> plano, se incorpora la noción de<br />
calles <strong>para</strong>l<strong>el</strong>as y calles perpendiculares. Usted podrá sugerir a los alumnos<br />
observar <strong>el</strong> entorno <strong>para</strong> encontrar ejemplos de <strong>para</strong>l<strong>el</strong>ismo y perpendicularidad<br />
(en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.).<br />
Respecto de la noción de ángulo y su clasificación, se recomienda:<br />
a) recurrir al plegado de pap<strong>el</strong>es <strong>para</strong> obtener ángulos rectos, ángulos que son<br />
la mitad de un recto y ángulos que son un cuarto de un recto;<br />
b) obtener por plegado cuatro ángulos rectos y vincularlos con: la intersección<br />
de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; d<strong>el</strong>ante, atrás; izquierda,<br />
derecha; norte, sur; este, oeste;<br />
c) realizar cambios de dirección en una marcha: giro completo; medio giro;<br />
cuarto de giro;<br />
d) representar gráficamente los desplazamientos realizados.<br />
31
La representación gráfica, permite que se puedan expresar ideas y conocimientos;<br />
es una forma de comunicación en la que se utilizan esquemas, construcciones<br />
geométricas, figuras o dibujos. Es una descripción y ésta, ya sea verbal<br />
o gráfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en <strong>el</strong> espacio, establecer<br />
r<strong>el</strong>aciones entre <strong>el</strong> objeto que se va a representar y su representación<br />
gráfica. Por eso, describir no es tarea fácil, también es necesario tener presente<br />
la forma, las características y la ubicación en <strong>el</strong> espacio d<strong>el</strong> objeto.<br />
La representación gráfica también es una herramienta útil, ya que puede<br />
ayudar a encontrar estrategias <strong>para</strong> la resolución de problemas. En geometría,<br />
es importante tanto <strong>para</strong> expresar formas como <strong>para</strong> comprender razonamientos.<br />
Cuando se plantean situaciones problemáticas en las que se pide calcular <strong>el</strong><br />
perímetro de una figura o <strong>el</strong> valor de un ángulo de la misma, es común que <strong>el</strong><br />
alumno, <strong>para</strong> facilitar la resolución: a) represente gráficamente la figura, b) ubique<br />
en <strong>el</strong>la los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita <strong>el</strong> razonamiento<br />
correcto y la posterior resolución. Por tal motivo, en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos,<br />
se insiste en los recorridos, las distancias y la representación gráfica de las<br />
mismas (actividad Nº4 d). En la actividad Nº6, <strong>el</strong> alumno debe encontrar <strong>el</strong> o<br />
los planos (representación gráfica) que corresponden al desarrollo d<strong>el</strong> cubo.<br />
Se sugiere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina <strong>el</strong> plano d<strong>el</strong><br />
desarrollo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.<br />
Operaciones<br />
Se analizarán las operaciones de multiplicación y división, teniendo en<br />
cuenta:<br />
• su naturaleza;<br />
• los tipos de problemas que se resu<strong>el</strong>ven con <strong>el</strong>las;<br />
• las propiedades <strong>el</strong>ementales;<br />
• los errores algorítmicos más frecuentes que su<strong>el</strong>en cometer los alumnos.<br />
La multiplicación<br />
Su naturaleza<br />
La multiplicación debe entenderse, en principio, como una operación aritmética<br />
entre números naturales. El punto de partida de esta operación son dos números<br />
y <strong>el</strong> punto de llegada otro número distinto (o no) de los anteriores.<br />
Ejemplos: 2 x 5 = 10<br />
2 x 1 = 2<br />
¿La multiplicación es una suma abreviada?<br />
La interpretación de la multiplicación como una suma abreviada en todos los<br />
casos, es un error, ya que la multiplicación no es un caso particular de la suma.<br />
32
Es otra operación que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce a<br />
<strong>el</strong>la. La multiplicación es una operación aritmética que puede interpretarse<br />
como suma abreviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con números<br />
naturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puede<br />
pensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (este<br />
caso de multiplicación de dos expresiones decimales, será tratado en <strong>el</strong> Módulo 3).<br />
Otra interpretación de la multiplicación, es considerarla un producto cartesiano.<br />
Un ejemplo práctico de esta interpretación, es <strong>el</strong> portero <strong>el</strong>éctrico (<strong>para</strong><br />
las zonas urbanas), o un tablero de hot<strong>el</strong> como <strong>el</strong> que figura en la actividad<br />
Nº18 (dibujo d<strong>el</strong> tablero).<br />
Hay 5 habitaciones por piso (P.B., 1º y 2º)<br />
O sea que en la P.B. hay: (P.B.1), (P.B.2), (P.B.3), (P.B.4) y (P.B.5);<br />
en <strong>el</strong> 1º Piso: (1º1), (1º2), (1º3), (1º4) y (1º5);<br />
en <strong>el</strong> 2º Piso: (2º1), (2º2), (2º3), (2º4) y (2º5).<br />
Estos pares ordenados son <strong>el</strong> producto de los <strong>el</strong>ementos pisos (PB, 1º y 2º) por<br />
los <strong>el</strong>ementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5).<br />
Si se quiere averiguar cuántas habitaciones tiene <strong>el</strong> hot<strong>el</strong> en total, basta con<br />
multiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la multiplicación<br />
Los solucionables por suma reiterada (actividades Nº<strong>11</strong>, Nº12, Nº13, Nº14 y<br />
Nº15). Ejemplo:<br />
Un café cuesta $ p1,30, ¿cuánto debe pagarse por 3 cafés?<br />
$ 1,30<br />
+ $ 1,30<br />
$ 1,30<br />
$ 3,90 ó<br />
$ 1,30 x 3 = $ 3,90<br />
33
Los solucionables por producto cartesiano. En <strong>el</strong> punto a) se propuso como<br />
ejemplo <strong>el</strong> tablero d<strong>el</strong> hot<strong>el</strong>.<br />
Otro ejemplo:<br />
Hay 6 estantes y en cada estante hay 5 latas de pintura. ¿Cuántas latas de<br />
pintura hay en total?<br />
6 estantes x 5 latas (por estante) = 30 latas<br />
estantes<br />
El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sin<br />
embargo, ambas se resu<strong>el</strong>ven empleando la multiplicación. Es conveniente trabajarlos<br />
conjuntamente.<br />
Propiedades de la multiplicación<br />
Las propiedades de la multiplicación que se trabajan en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong><br />
alumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y de la<br />
resta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continuación<br />
se le propone una forma de trabajarlas.<br />
Propiedad conmutativa<br />
6 (6;5)<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1 2 3 4 5 latas<br />
Juan quiere saber cuántas latas de aguarrás le quedan después de una venta<br />
importante. Revisa primero las cajas y cuenta 6 latas en cada una. Luego cuenta<br />
las cajas y verifica que hay 5. Después calcula 6 x 5 = 30 latas<br />
Un amigo que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego continúa con<br />
las latas que hay en cada caja (6). Entonces, calcula:<br />
6 x 5 = 5 x 6<br />
Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar <strong>el</strong> orden de<br />
las cosas sin que se altere <strong>el</strong> resultado, se está pensando en operaciones conmutativas.<br />
La multiplicación es una operación conmutativa.<br />
34
Propiedad asociativa<br />
¿De qué otra forma se puede expresar 5 x 8?<br />
Como 8 = 2 x 4, entonces:<br />
5 x 8 = 5 x (2 x 4)<br />
Sin enunciar la propiedad se puede proponer expresar de otra forma las<br />
operaciones:<br />
6 x 4 = 2 x 3 x 4<br />
9 x 7 = 3 x 3 x 7<br />
10 x 8 = 5 x 2 x 4 x 2<br />
5 x 6 = 5 x 3 x 2<br />
Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimientos,<br />
antes de enunciar la propiedad.<br />
Propiedad distributiva<br />
El planteamiento didáctico de esta actividad es muy similar al anterior; se ha<br />
reservado <strong>el</strong> uso de esta propiedad <strong>para</strong> multiplicar números de dos dígitos.<br />
Ejemplo:<br />
Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. ¿Cuántos libros hay en total?<br />
La resolución es 15 x 12, pero como<br />
12 = 10 + 2, entonces se puede expresar la operación<br />
anterior así:<br />
15 x (10 + 2) que se resu<strong>el</strong>ve:<br />
15 x 10 + 15 x 2<br />
150 + 30 = 180 ó<br />
como 12 = 6 + 6<br />
15 x 6 + 15 x 6<br />
90 + 90 = 180 ó<br />
como 12 = 8 + 4<br />
15 x 8 + 15 x 4<br />
120 + 60 = 180<br />
Esta propiedad está ligada a la suma abreviada, por <strong>el</strong>lo su tratamiento puede<br />
ser anterior al de la propiedad asociativa, que implica realizar dos multiplicaciones<br />
consecutivas.<br />
35
Los errores más frecuentes<br />
Las equivocaciones están estrechamente r<strong>el</strong>acionadas con dos aspectos; <strong>el</strong><br />
primero tiene que ver con <strong>el</strong> grado de claridad que se tenga d<strong>el</strong> concepto de<br />
multiplicación, y <strong>el</strong> segundo con la dificultad <strong>para</strong> r<strong>el</strong>acionar <strong>el</strong> concepto con<br />
<strong>el</strong> procedimiento. Esto último también tiene que ver con haber o no haber<br />
construido <strong>el</strong> algoritmo de la multiplicación.<br />
Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en <strong>el</strong> procedimiento<br />
y la solución que se da, es la repetición infinita d<strong>el</strong> algoritmo <strong>para</strong><br />
lograr la mecanización; en realidad, los obstáculos no se superan. Es necesario<br />
tratar de comprender la naturaleza d<strong>el</strong> error. Si <strong>el</strong> problema está, por ejemplo<br />
en una incorrecta aplicación de la propiedad distributiva, se tratará de<br />
replantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver a<br />
trabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente allí se encuentra la<br />
base d<strong>el</strong> error.<br />
Manejar correctamente <strong>el</strong> algoritmo, significa comprender que, <strong>para</strong> resolver,<br />
por ejemplo:<br />
2 6<br />
x 4<br />
Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y<br />
4 unidades su<strong>el</strong>tas.<br />
C D U Se escriben las 4 u. su<strong>el</strong>tas en la<br />
columna de las unidades y se colocan<br />
2<br />
las 2 decenas en la columna de las<br />
2 6 decenas<br />
x 4<br />
Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas<br />
1 0 4 a las que se suman las 2 decenas<br />
correspondientes a las 24 unidades<br />
Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0<br />
decenas su<strong>el</strong>tas.<br />
Los errores más frecuentes<br />
• Errores en la aplicación de la propiedad distributiva:<br />
C D U<br />
3 4 2 multiplicando<br />
x 3 multiplicador<br />
34 6<br />
Se realizó <strong>el</strong> producto d<strong>el</strong> multiplicador por las unidades d<strong>el</strong> multiplicando,<br />
pero, <strong>para</strong> las siguientes cifras, se optó por repetir sin multiplicar.<br />
36
• Olvido de las decenas d<strong>el</strong> multiplicador:<br />
C D U<br />
34 2<br />
x3 5<br />
1.7 1 0<br />
• Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez:<br />
C D U<br />
2 2<br />
3 4 5<br />
x 4<br />
2. 0 4 0<br />
Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes<br />
(4 y 3) antes de multiplicarla por <strong>el</strong> 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24)<br />
(2 + 3 = 5 ; 4 x 5 = 20).<br />
• Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse:<br />
Se omitió:<br />
C D U<br />
1 4 7<br />
x 8<br />
8 2 6<br />
a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 decenas<br />
correspondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unidades.<br />
b)Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas correspondientes<br />
a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 de-<br />
cenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas su<strong>el</strong>tas<br />
UM C D U<br />
3 5<br />
1 4 7<br />
x 8<br />
1.1 7 6<br />
• Realizar <strong>el</strong> producto d<strong>el</strong> multiplicador sólo por las decenas o centenas que<br />
deben sumarse:<br />
CDU<br />
1<br />
3 6 2<br />
x 7<br />
2. 1 7 4<br />
37
Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algún paso,<br />
alguna acción, dentro d<strong>el</strong> algoritmo que <strong>el</strong> alumno olvida o no ha llegado a<br />
comprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez que<br />
seguramente generará errores ante algún cambio en la situación original. Es<br />
necesario que <strong>el</strong> alumno pueda r<strong>el</strong>acionar conceptos y procedimientos, <strong>para</strong><br />
que cada uno de los pasos d<strong>el</strong> algoritmo tenga sentido.<br />
Se sugiere partir, entonces, de la revisión de algunos conceptos r<strong>el</strong>acionados<br />
con la multiplicación que son:<br />
Sistema de numeración decimal.<br />
Propiedad asociativa de la multiplicación<br />
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.<br />
Interpretación de la multiplicación como suma abreviada.<br />
Una estrategia que podría facilitar la comprensión de los algoritmos de la<br />
multiplicación y de la división es la construcción de la tabla pitagórica. En <strong>el</strong><br />
Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y la pitagórica<br />
es un ejemplo que, además, puede ser utilizado como recurso cuando <strong>el</strong> alumno<br />
tenga dudas con respecto a las multiplicaciones básicas (tablas de multiplicar),<br />
consultándolas cuando fuere necesario.<br />
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30<br />
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40<br />
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50<br />
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60<br />
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70<br />
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80<br />
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90<br />
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
38
¿Cómo trabajar esta tabla? En primer lugar, sería conveniente que se les diera<br />
a los alumnos <strong>para</strong> completar. Una vez completada se les puede proponer que<br />
tracen la diagonal que va desde <strong>el</strong> 0 hasta <strong>el</strong> 100 y plantear por ejemplo:<br />
• Observen los números a ambos lados de la diagonal. ¿A qué conclusiones se<br />
puede arribar?<br />
• Observe los números de las columnas y las filas. ¿Qué diferencias y qué<br />
similitudes encuentra?<br />
• ¿Hay números repetidos? ¿Cuáles?<br />
• Los números que están en la diagonal, ¿en qué se diferencian de los demás?<br />
Y todas las preguntas que usted considere oportunas. También se podrá pedir<br />
al alumno que registre todas sus observaciones <strong>para</strong> ser leídas y discutidas en la<br />
reunión presencial.<br />
De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirán las propiedades de la<br />
multiplicación:<br />
• la conmutativa: simetría respecto de la diagonal;<br />
• <strong>el</strong> cero "absorbe" cualquier número (la columna y la fila que lo contienen,<br />
tienen como resultado d<strong>el</strong> producto, <strong>el</strong> cero). De aquí se concluye que cual-<br />
quier número multiplicado por cero, da como resultado, cero;<br />
• la fila y la columna correspondiente al producto de los números x 1, da por<br />
resultado <strong>el</strong> mismo número; de aquí se concluye que cualquier número<br />
multiplicado x 1, da ese mismo número; en matemática se dice que <strong>el</strong> 1 es<br />
<strong>el</strong> <strong>el</strong>emento neutro de la multiplicación;<br />
• los números de la diagonal corresponden todos a cuadrados perfectos.<br />
La división<br />
Su naturaleza<br />
Ej.: 2 x 2 = 4<br />
3 x 3 = 9<br />
...............................<br />
10 x 10 = 100<br />
En la división se dispone de dos números iniciales (dividendo y divisor) y a<br />
partir de <strong>el</strong>los se obtiene otro que recibe <strong>el</strong> nombre de cociente. Cuando en la<br />
división, <strong>el</strong> resto es cero, la división se llama exacta. Cuando <strong>el</strong> resto no es cero,<br />
la división se llama entera.<br />
Se debe tener presente que no siempre <strong>el</strong> cociente entre dos números<br />
naturales, es otro número natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.<br />
En este caso <strong>el</strong> cociente (1,50) es una expresión decimal (número racional).<br />
39
Por otro lado:<br />
• 10 : 5 es igual a 2 porque 2 x 5 = 10<br />
• 3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3<br />
La división es la operación inversa de la multiplicación. La división no es un<br />
caso especial de la sustracción. Es una operación que, sólo a veces, puede<br />
resolverse por restas reiteradas.<br />
Los problemas que se resu<strong>el</strong>ven con la división<br />
Si bien la división tiene tres significados: como partición, como reparto y<br />
como búsqueda de número de <strong>el</strong>ementos en un conjunto que da lugar a la<br />
formación de pares, en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos y en éste se trabaja sólo en<br />
los dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la división en<br />
situaciones asociadas a “repartir” y “partir”.<br />
• Cada caja de chiclets cuesta $ 1,50. Tengo $ 6. ¿Cuántas cajas puedo comprar?<br />
• Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. ¿Cuánto cuesta cada una?<br />
El procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,50 cuatro<br />
veces <strong>para</strong> obtener $ 6 en total.<br />
$ 1,50 $ 1,50 $ 1,50 $ 1,50<br />
1 caja 1 caja 1 caja 1 caja<br />
Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas <strong>para</strong> ambos<br />
problemas: en <strong>el</strong> primero: 4 cajas; en <strong>el</strong> segundo: $ 1,50.<br />
En <strong>el</strong> primer problema, se puede llegar a la solución por resta reiterada.<br />
Tengo $ 6<br />
Compro 1 caja $ 6 - $ 1,50 = $ 4,50<br />
Compro la 2da caja $ 4,50 - $ 1,50 = $ 3<br />
Compro la 3ra caja $ 3 - $ 1,50 = $ 1,50<br />
Compro la 4ta caja $ 1,50 - $ 1,50 = $ 0<br />
He comprado 4 cajas de chiclets.<br />
Si quisiéramos resolver <strong>el</strong> segundo problema de la misma manera, sería<br />
imposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $ 6. La división puede resolverse<br />
en algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es<br />
40
un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartir<br />
entre las 4 cajas. Las actividades Nº24 y Nº25 d<strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos<br />
plantean situaciones de este tipo de división. En cambio en la actividad Nº26<br />
se plantean situaciones similares a las d<strong>el</strong> primer problema, ya que se pueden<br />
resolver como resta reiterada e implican la idea de partición: se deben "partir"<br />
los $ 6 en x <strong>parte</strong>s de $ 1,50 cada una.<br />
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma<br />
El algoritmo clásico de la división resulta de una aplicación inicial de la propiedad<br />
distributiva a la derecha (ya que solamente en esa dirección es posible la<br />
división respecto de la suma) y de la multiplicación sistemática de la descomposición<br />
de los números. Por ejemplo:<br />
458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que:<br />
(400 + 50 + 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Además al realizar 50 : 4 resulta<br />
un resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades <strong>para</strong> continuar <strong>el</strong><br />
algoritmo (18 : 4).<br />
400 : 4 = 100<br />
50 : 4 = 10 y sobra 1 decena = 10 unidades<br />
18 : 4 = 4 y sobran 2 unidades ( resto).<br />
Los errores más frecuentes<br />
<strong>11</strong>4 cociente<br />
• Aplicación incorrecta d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal<br />
En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una.<br />
¿Cuántas filas completas tiene <strong>el</strong> campo?<br />
El mayor problema su<strong>el</strong>e presentarse cuando las centenas se agotan en <strong>el</strong><br />
reparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta las<br />
unidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en <strong>el</strong> dividendo<br />
como, lo que es peor, en <strong>el</strong> cociente. Lo expresa así:<br />
6 0 4 6<br />
0 0 4 1 0<br />
En este caso, es conveniente utilizar <strong>el</strong> material que aparece al final d<strong>el</strong><br />
Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos: recortar 6 centenas (cuadrados de 100 cuadraditos) y<br />
4 cuadraditos su<strong>el</strong>tos (unidades) y, realizando los canjes correspondientes,<br />
resolver la división construyendo <strong>el</strong> algoritmo.<br />
41
Otro procedimiento válido, es la estimación previa a partir de sucesivas<br />
multiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo:<br />
6 x 10 = 60 < 604<br />
6 x 100 = 600 < 604<br />
6 x 1000 = 6000 > 604<br />
Esto implica un importante trabajo de estimación de resultados, ya que le<br />
permite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unidades en<br />
<strong>el</strong> cociente, pues éste va a estar entre 100 y 1.000.<br />
• Su<strong>el</strong>e ocurrir que, llegado <strong>el</strong> momento de verificar <strong>el</strong> resultado con la calcu-<br />
ladora, <strong>el</strong> alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, <strong>el</strong> punto),<br />
por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente <strong>el</strong> alumno<br />
estimó que <strong>el</strong> resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya<br />
que 12 : 4 = 3), difícilmente podrá aceptar que 12,5 : 4 dé por resultado 31.<br />
• La primera cifra d<strong>el</strong> dividendo es de menor valor absoluto que la cifra d<strong>el</strong><br />
divisor.<br />
En la actividad Nº30 d<strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos, se plantea <strong>el</strong> algoritmo<br />
376 : 5 en <strong>el</strong> que <strong>el</strong> valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 y<br />
esto su<strong>el</strong>e ser motivo de errores por la dificultad que presenta.<br />
Lo mismo que en <strong>el</strong> caso anterior se sugiere trabajar con <strong>el</strong> material que se<br />
adjunta al final d<strong>el</strong> Módulo 1 <strong>para</strong> alumnos.<br />
Como las 3 centenas no se pueden "partir" en 5 <strong>parte</strong>s iguales, habrá que<br />
canjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas su<strong>el</strong>tas. De esta<br />
manera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte la<br />
tabla pitagórica o, como se le propone en la actividad mencionada, que<br />
complete la tabla d<strong>el</strong> 5 <strong>para</strong> buscar <strong>el</strong> número que, multiplicado por 5 da un<br />
valor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente al inverso d<strong>el</strong><br />
utilizado <strong>para</strong> buscar productos en la tabla pitagórica.<br />
x 0 1 2 3 4<br />
0 0 0 0 0 0<br />
1 0 1 2 3 4<br />
2 0 2 4 6 8<br />
Se lee: "dos por<br />
tres, es seis".<br />
42
x 0 1 2 3 4<br />
0 0 0 0 0 0<br />
1 0 1 2 3 4<br />
2 0 2 4 6 8<br />
Se lee: “seis dividido<br />
tres, es dos”<br />
• Aplicación incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la división<br />
respecto de la suma.<br />
Rosa cobró este mes $ 405. Si le pagan $ 5 la hora. ¿Cuántas horas trabajó?<br />
Es un ejemplo similar al mencionado en <strong>el</strong> caso d<strong>el</strong> campo con las manzanas,<br />
ya que también éste tiene 0 en las decenas, pero aquí también se da la otra<br />
dificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.<br />
4 0 5 5<br />
0 5 8<br />
No se tienen en cuenta las unidades en <strong>el</strong> momento de dividir. Si se aplicara<br />
correctamente la propiedad distributiva a la derecha, no podría cometerse ese<br />
error ya que:<br />
4 0 5 : 5 = 4 0 0 : 5 + 0 : 5 + 5 : 5<br />
= 80 + 0 + 1<br />
Rosa trabajó 81 horas.<br />
En general, los errores, obstáculos y dificultades de la división, tienen su<br />
origen en la incorrecta aplicación de:<br />
• las reglas d<strong>el</strong> sistema de numeración decimal;<br />
• la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma;<br />
• no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos.<br />
La actividad Nº27 d<strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos, propone <strong>el</strong> algoritmo<br />
tradicional como procedimiento <strong>para</strong> resolver la operación 733 : 3. Teniendo<br />
en cuenta las dificultades que, en general, presenta la división, se utilizaron<br />
como recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con <strong>el</strong> fin<br />
de establecer con facilidad la r<strong>el</strong>ación entre la explicación con palabras y la<br />
simbolización numérica.<br />
43
Como en <strong>el</strong> caso de la multiplicación, es importante detectar <strong>el</strong> origen d<strong>el</strong><br />
error <strong>para</strong> evitar mecanizaciones tediosas que no solucionan <strong>el</strong> problema.<br />
Estadística<br />
Tablas de doble entrada<br />
Las tablas de doble entrada son un recurso valioso <strong>para</strong> la organización de datos<br />
y <strong>el</strong> posterior análisis de los mismos. El adulto está familiarizado con <strong>el</strong>las,<br />
ya que los medios de comunicación las utilizan como ordenadores de la información.<br />
Las actividades Nº19, Nº20 y Nº21, presentan diferentes tipos de tablas,<br />
desde un tablero de un hot<strong>el</strong>, donde los pisos están en la vertical y <strong>el</strong> número<br />
de habitación en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equipos<br />
de fútbol. La actividad Nº21, le propone al alumno buscar tablas de doble<br />
entrada en diarios y revistas.<br />
Se sugiere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guías que<br />
se venden en quioscos y librerías o en folletos turísticos de las localidades. Con<br />
<strong>el</strong> propósito de facilitar la ubicación de zonas, barrios o calles, esos planos,<br />
hechos en escala, tienen en <strong>el</strong> borde horizontal, números y en <strong>el</strong> vertical, letras.<br />
Trabajar ubicaciones y recorridos implica no sólo continuar con la propuesta<br />
iniciada en geometría, sino también ejercitar la lectura e interpretación de las<br />
tablas de doble entrada.<br />
Promedio<br />
Es importante favorecer en los alumnos, la comprensión de las informaciones<br />
que a diario reciben de los medios <strong>para</strong> interpretar, críticamente, algunos datos<br />
cuantitativos. A continuación se presentan algunas definiciones de conceptos<br />
que servirán <strong>para</strong> interpretar ese tipo de información. El propósito no es que<br />
usted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice <strong>para</strong> aclarar dudas cuando<br />
la situación lo requiera.<br />
Población: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre <strong>el</strong> que se<br />
efectúan observaciones. Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Rioja<br />
forman una población.<br />
Muestra: <strong>parte</strong> de la población sobre la que se trabaja o se observa. Por<br />
ejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja.<br />
Frecuencia: número de veces que se repite un suceso en la muestra observada.<br />
Podría ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada.<br />
Promedio (o media aritmética): es <strong>el</strong> cociente entre la suma de todos los<br />
valores obtenidos y <strong>el</strong> número de observaciones realizadas. Por ejemplo, se<br />
podría obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las edades y<br />
dividiendo por <strong>el</strong> total de las personas de la muestra.<br />
Moda: es <strong>el</strong> valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.<br />
44
Si en la muestra hay:<br />
15 personas hasta 9 años de edad<br />
25 " de entre 10 y 20 " " "<br />
20 " " " 21 y 29 " " "<br />
30 " " " 30 y 40 " " "<br />
10 " de más de 40 " " "<br />
La moda de esa muestra, son las 30 personas de entre 30 y 40 años.<br />
Algunas veces, <strong>el</strong> promedio no puede considerarse significativo porque está<br />
muy influido por los valores extremos, como en la situación planteada en <strong>el</strong><br />
Módulo 2 <strong>para</strong> alumnos, referida a las calificaciones. Es evidente que los valores<br />
extremos 4 y 8, influyeron en <strong>el</strong> promedio.<br />
Otro ejemplo de promedio no significativo sería <strong>el</strong> siguiente:<br />
En abril, <strong>el</strong> equipo azul ganó 3 partidos<br />
En mayo, " " " " 3 partidos<br />
En junio, " " " " 4 partidos<br />
¿Cuál fue <strong>el</strong> promedio de partidos ganados en esos tres meses?<br />
3 + 3 + 4 10<br />
= =<br />
3,33...<br />
3 3<br />
Este resultado no es significativo. En este caso <strong>el</strong> promedio no es útil.<br />
Se sugiere trabajar con ejemplos propuestos por los alumnos que pueden ser<br />
<strong>el</strong> resultado de una tarea de búsqueda de información en diarios y revistas.<br />
45
EVALUACIÓN<br />
Se presentan tres actividades de evaluación que usted podrá reformular o<br />
modificar según las dificultades y logros de los alumnos durante <strong>el</strong> desarrollo<br />
d<strong>el</strong> módulo.<br />
En caso de cambiar los valores de la actividad Nº3, tenga presente que la suma<br />
debe tener como resultado un número entero, ya que en <strong>el</strong> Módulo 2 <strong>para</strong><br />
alumnos, no se trabajó la división con expresiones decimales.<br />
1.- El restaurante "La Moderna" ofrece comidas <strong>para</strong> enviar a domicilio. Éstas<br />
son algunas de las ofertas:<br />
MINUTAS<br />
Milanesa $ 3,50<br />
Milanesa suiza $ 3,90<br />
Milanesa napolitana $ 5,00<br />
Suprema de pollo $ 4,00<br />
Suprema suiza $ 4,70<br />
Suprema napolitana $ 6,00<br />
Bife de chorizo $ 5,80<br />
Entrecot $ 4,40<br />
Ensalada de estación $ 3,00<br />
Papas fritas, naturales o puré $ 3,00<br />
Tortillas (papa o ac<strong>el</strong>ga) $ 3,00<br />
SANDWICHERÍA<br />
Hamburguesa sola $ 2,50<br />
Hamburguesa c/queso $ 3,00<br />
Hamburguesa c/jamón y queso $ 4,00<br />
Hamburguesa completa $ 4,50<br />
Lomito solo $ 4,50<br />
Lomito c/queso $ 5,00<br />
Lomito completo $ 6,00<br />
Arabesco simple (jamón y queso) $ 3,00<br />
Arabesco completo(jam.,queso,<br />
tomate y huevo) $ 4,00<br />
Sándwich de milanesa $ 3,00<br />
Sándwich de milanesa completo $ 4,50<br />
Un grupo de ocho amigos decide hacer <strong>el</strong> siguiente pedido:<br />
5 milanesas<br />
2 supremas de pollo<br />
3 hamburguesas completas<br />
4 porciones de papas fritas<br />
Y deciden dividir <strong>el</strong> importe por <strong>parte</strong>s iguales entre los ocho, ¿cuánto pagó<br />
cada uno?<br />
46
2.- Este es <strong>el</strong> plano de la zona de envío d<strong>el</strong> restaurante "La Moderna".<br />
a) Nombre dos calles que sean perpendiculares.<br />
b) ¿Qué clase de ángulo es <strong>el</strong> que aparece en <strong>el</strong> plano, limitado por las calles Rivadavia<br />
y B<strong>el</strong>grano?<br />
c) ¿Y <strong>el</strong> que está limitado por las calles Independencia y San Martín?<br />
d) ¿Roca e Independencia son <strong>para</strong>l<strong>el</strong>as? ¿Por qué?<br />
B<strong>el</strong>grano<br />
3.- Éstos son los gastos diarios de Juan, durante una semana:<br />
Lunes $ 8,75<br />
Martes $ 13,00<br />
Miércoles $ 9,25<br />
Jueves $ 19,00<br />
Viernes $ <strong>11</strong>,50<br />
Sábado $ 14,50<br />
Domingo $ 15,00<br />
Rivadavia<br />
Alberdi<br />
Laprida<br />
San Martín<br />
¿Cuál fue <strong>el</strong> promedio de gastos esa semana?<br />
47<br />
Roca<br />
Independencia
BIBLIOGRAFÍA<br />
Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: <strong>Matemática</strong> 1. Buenos Aires, Aique, 1993,<br />
cap. 2, 7, 8.<br />
Buenos Aires (Provincia). Dirección de Educación Primaria: <strong>Matemática</strong> <strong>para</strong><br />
maestros. Buenos Aires, 1991.<br />
Catalá, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitación a la didáctica de la<br />
geometría. Madrid, Síntesis, 1989.<br />
Chem<strong>el</strong>lo, Graci<strong>el</strong>a; Carozi de Rojo, Mónica y otros: “La matemática y su<br />
didáctica.Nuevos y antiguos debates”, en Didácticas especiales. Buenos Aires,<br />
Aique, 1992.<br />
Maza Gómez, Carlos: Enseñanza de la multiplicación y de la división.<br />
Madrid, Síntesis, 1991.<br />
49
MÓDULO 3<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
ÍNDICE<br />
Introducción 55<br />
Contenidos y actividades 56<br />
Noción de proporcionalidad 57<br />
Las mediciones 59<br />
La longitud 60<br />
Las escalas 60<br />
Geometría 62<br />
Polígonos 62<br />
Clasificación de los polígonos 63<br />
La superficie de los polígonos 64<br />
Cálculo de superficies 66<br />
Operaciones 67<br />
Evaluación 70<br />
Bibliografía 73
INTRODUCCIÓN<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos se desarrollan contenidos de los ejes<br />
Operaciones, Medida y Geometría. En <strong>el</strong> eje Operaciones, como ya se procedió<br />
con otros temas, se trabaja la noción de proporcionalidad a partir de situaciones<br />
cotidianas. El propósito es que los alumnos reconozcan si existe o no existe<br />
r<strong>el</strong>ación de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propiedades<br />
de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores no<br />
conocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de cálculos utilizando<br />
<strong>el</strong> sentido común, convendría que analizaran que están utilizando tales<br />
propiedades.<br />
En <strong>el</strong> eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las no<br />
escalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generándose<br />
confusión entre qué cosas pueden ser medidas y cómo, y cuáles son las que no<br />
se pueden medir.<br />
A partir de la noción de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla <strong>el</strong><br />
concepto de escala, que también se trata en los módulos 2 y 5 de Ciencias<br />
Sociales.<br />
Es conveniente que los alumnos comprendan no sólo <strong>el</strong> concepto de escala,<br />
sino que lo apliquen <strong>para</strong> calcular o representar distancias.<br />
Dentrode las magnitudes escalares, se desarrollarán,principalmente,<strong>el</strong> concepto<br />
de medir y <strong>el</strong> de dos de las magnitudes más utilizadas; longitud y superficie.<br />
Al iniciar <strong>el</strong> tema de medidas de longitud se trabajará con unidades no convencionales<br />
hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida convencional.<br />
Con respecto a la superficie, al igual que en <strong>el</strong> caso anterior, se comienza con<br />
unidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en <strong>el</strong><br />
SIMELA.<br />
En <strong>el</strong> eje Geometría, a partir de las curvas y los poliláteros se arriba al concepto<br />
de polígonos, su clasificación en regulares y no regulares, en <strong>el</strong> nombre que<br />
reciben según <strong>el</strong> número de lados y en <strong>el</strong> reconocimiento de sus <strong>el</strong>ementos.<br />
Trabajar con la superficie de los rectángulos, se considera propósito central ya<br />
que a partir de su fórmula y d<strong>el</strong> concepto de la superficie se obtienen las fórmulas<br />
de la mayoría de las restantes figuras planas.<br />
Las actividades de cálculo de superficie, son ejemplos de cómo en una misma<br />
actividad, se r<strong>el</strong>acionan todos los ejes, ya que también se debe operar y medir.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 los objetivos tienden a que <strong>el</strong> alumno:<br />
◆ Afiance la comprensión y la correcta utilización de los algoritmos de la multiplicación<br />
y la división, especialmente con la unidad seguida de ceros.<br />
55
◆ Conceptualice la noción de proporcionalidad.<br />
◆ Comprenda los conceptos de medida: perímetro, superficie y volumen.<br />
◆ Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie.<br />
◆ Reconozca los <strong>el</strong>ementos de los polígonos.<br />
◆ Utilice correctamente las fórmulas <strong>para</strong> calcular superficies y volúmenes.<br />
◆ Emplee <strong>el</strong> concepto de escala <strong>para</strong> calcular longitudes o <strong>para</strong> hacer representaciones.<br />
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES<br />
El siguiente esquema sintetiza los contenidos d<strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos.<br />
Operaciones<br />
Multiplicación<br />
de una expresión<br />
decimal por un<br />
número de dos<br />
cifras<br />
Multiplicación<br />
y división<br />
de un decimal<br />
por la unidad<br />
seguida de ceros<br />
Noción de<br />
proporcionalidad<br />
Escalas<br />
Magnitudes escalares<br />
Situaciones problemáticas<br />
Medida Geometría<br />
56<br />
Longitud<br />
Superficie<br />
Unidades de<br />
superficie<br />
convencionales y<br />
no convencionales<br />
Formas planas<br />
Polígonos<br />
Cálculo de la superficie<br />
de un rectángulo
Noción de proporcionalidad<br />
Si bien <strong>el</strong> desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son contenidos<br />
d<strong>el</strong> próximo módulo, en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos se presenta la noción de<br />
proporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienen<br />
formalizado este concepto pero lo aplican cuando pre<strong>para</strong>n recetas de cocina,<br />
mezclas de combustible o de albañilería, y realizan interpretación de planos,<br />
mapas u hojas de ruta, etc. En <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, se han utilizado algunos<br />
de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otras<br />
situaciones cotidianas <strong>para</strong> reconocer si existe o no existe proporcionalidad<br />
directa.<br />
Respecto a la proporcionalidad, <strong>para</strong> que reconozcan cómo se r<strong>el</strong>acionan dos<br />
magnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con los<br />
alumnos a partir d<strong>el</strong> error. Es común que los adultos utilicen criterios <strong>para</strong> <strong>el</strong><br />
reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son incorrectos,<br />
por ejemplo, su<strong>el</strong>e pensarse que: "Si al aumentar una magnitud, también<br />
aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales". Esto no sólo<br />
confunde, sino que origina errores en la resolución de problemas ya que<br />
utilizan las propiedades de proporcionalidad en situaciones en que no<br />
corresponden porque no existe tal r<strong>el</strong>ación. Usted podrá dar algunos ejemplos<br />
como las boletas de servicios (<strong>el</strong>ectricidad, gas, t<strong>el</strong>éfono, etc.), <strong>para</strong> demostrar<br />
que esta condición es insuficiente. Es fácil comprobar en estos casos que al<br />
doble de consumo no le corresponde <strong>el</strong> doble de importe.<br />
Otro de los errores r<strong>el</strong>acionados con proporcionalidad, es considerar la razón<br />
como sinónimo de fracción. Cuando se utiliza una razón, lo que se está haciendo<br />
es indicar la r<strong>el</strong>ación que existe entre dos cantidades. Por ejemplo, si decimos<br />
que de cada 3 personas altas hay 5 bajas y escribimos la razón 3 , esta escritu-<br />
5<br />
ra establece que la r<strong>el</strong>ación entre bajos y altos, indica, entre otras cosas:<br />
Que hay más bajos que altos.<br />
Que la cantidad de personas bajas es "casi" <strong>el</strong> doble que la cantidad de<br />
personas altas.<br />
Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 serán altas y 500<br />
bajas, etc.<br />
En las r<strong>el</strong>aciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 ó 30 de cada<br />
50, ya que la r<strong>el</strong>ación es la misma.<br />
Las fracciones 3 , 6 y 30 son equivalentes, pero no iguales.<br />
5 10 50<br />
Si se tiene en cuenta que se opera d<strong>el</strong> mismo modo con las razones y con las<br />
fracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, pero<br />
tampoco deben tratarse d<strong>el</strong> mismo modo. En este sentido, es conveniente que<br />
se remarque la lectura correcta de una razón. Por ejemplo, si resulta 5 , debe<br />
6<br />
leerse "cinco de cada seis" y no "cinco sextos". La lectura correcta permite<br />
marcar la r<strong>el</strong>ación entre esas cantidades y no un número, como resulta de leer<br />
"cinco sextos".<br />
57
En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la línea de se<strong>para</strong>ción<br />
en forma horizontal y no oblicua.<br />
Sólo después de utilizar correctamente la escritura, la lectura y <strong>el</strong> concepto de<br />
razón, los alumnos están en condiciones de continuar con proporciones.<br />
Para comprender qué representan, las proporciones también requieren ser<br />
leídas correctamente.<br />
3 6<br />
=<br />
4 8<br />
"3 es a 4 como 6 es a 8" ó<br />
Se lee: "Es igual 3 de cada 4 que 6 de cada 8"<br />
La r<strong>el</strong>ación que existe entre 3 y 4 es la misma que<br />
entre 6 y 8<br />
En las proporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permite<br />
observar la r<strong>el</strong>ación que existe entre las cantidades, de tal manera que, en caso<br />
de conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado se<br />
interprete como un resultado lógico y no simplemente como <strong>el</strong> resultado de<br />
una cuenta.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos se tratará nuevamente <strong>el</strong> tema de la proporcionalidad.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resulta<br />
más sencillo <strong>para</strong> los alumnos.<br />
Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, convendría<br />
continuar con más ejemplos tratando de que éstos estén de acuerdo con las<br />
actividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a continuación.<br />
a) Si <strong>para</strong> pre<strong>para</strong>r 4 porciones de g<strong>el</strong>atina se requieren 2 tazas de agua, ¿cuántas<br />
tazas se necesitarán <strong>para</strong> 8 porciones?<br />
b) Si se gastan 3 panes de jabón en 2 meses, ¿<strong>para</strong> cuántos meses alcanzarán 9<br />
panes? (Gastando en forma regular <strong>el</strong> jabón.)<br />
c) Si en 3 hectáreas se obtuvieron 5 ton<strong>el</strong>adas de grano, ¿cuántas ton<strong>el</strong>adas se<br />
obtendrán en 6 hectáreas? (Se entiende que <strong>el</strong> rendimiento por hectárea se<br />
considera aquí de manera constante.)<br />
d) ¿Cuántos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se co-<br />
secharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales<br />
tienen <strong>el</strong> mismo rendimiento.)<br />
Las aclaraciones entre paréntesis, indican lo que permanece constante en cada<br />
unode los problemas enunciados. Cuandoexiste una r<strong>el</strong>ación directamente proporcional,<br />
es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad.<br />
Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en <strong>el</strong> problema b) es más<br />
lógico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabón. Al señalar que se gasta<br />
58
en forma constante queda claro que se supone una regularidad en <strong>el</strong> problema que se<br />
plantea. Esto permitirá decir que existe proporcionalidad directa.<br />
Por intuición o por sentido común hallarán y justificarán las respuestas, lo<br />
que no quita que se llegue también al resultado siguiendo <strong>el</strong> procedimiento matemático<br />
correspondiente, ya que no siempre <strong>el</strong> resultado será fácilmente calculable<br />
sin utilizar la proporción escrita. En cuanto al procedimiento matemático<br />
correspondiente, éste se planteará en <strong>el</strong> Módulo 4.<br />
El cálculo aproximado d<strong>el</strong> resultado, en forma mental o por intuición, debe<br />
ser estimulado; pero es <strong>el</strong> procedimiento escrito <strong>el</strong> que permitirá calcular correctamente<br />
en situaciones más complejas.<br />
Otra de las formas de trabajar con proporciones es a través de tablas, éstas<br />
tienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de un<br />
problema en forma más ordenada, reconocer más fácilmente la constante o<br />
calcular varias incógnitas a partir de un sólo enunciado.<br />
Trabajar con <strong>el</strong> concepto de proporcionalidad es necesario <strong>para</strong> abordar un<br />
caso particular de las proporciones que es la escala.<br />
Las mediciones<br />
En <strong>el</strong> mundo físico y sensible, la cantidad se manifiesta de dos modos<br />
distintos, <strong>para</strong> diferenciarlas, se puede partir de las siguientes preguntas:<br />
• ¿Cuántas hojas tiene este módulo?<br />
• ¿Cuánta agua hay en <strong>el</strong> vaso?<br />
Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con un<br />
número, pero no se puede contestar a la segunda d<strong>el</strong> mismo modo. ¿Se puede<br />
contar la cantidad de agua?<br />
En <strong>el</strong> primer caso la respuesta es una cantidad discreta o discontinua, y <strong>para</strong><br />
cuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran.<br />
En <strong>el</strong> segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y <strong>para</strong> cuantificarla<br />
es necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuántas veces<br />
cabe esta unidad en <strong>el</strong> objeto que se quiere cuantificar.<br />
Las primeras cantidades se cuentan, porque se trata de cantidades<br />
discontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas.<br />
Es necesario tener presente este tipo de clasificación porque es común que se<br />
trabaje con ambas clases en forma simultánea.<br />
La primera actividad que se propone a los alumnos, es reconocer qué cosas<br />
pueden ser o no ser medidas con precisión, sin diferenciar entre las cantidades<br />
continuas y discontinuas.<br />
59
La longitud<br />
Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o no<br />
puede ser <strong>el</strong>egida arbitrariamente. Si se quiere medir una longitud, es lógico<br />
que se piense en unidades tales como <strong>el</strong> metro o <strong>el</strong> kilómetro en lugar de pasos,<br />
una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y generalizado.<br />
Pero, <strong>para</strong> construir estas unidades convencionales, la humanidad<br />
tuvo que recorrer un largo camino. En la antigüedad, sólo se utilizaron<br />
unidades no convencionales (objetos, <strong>parte</strong>s d<strong>el</strong> cuerpo humano, etc.)<br />
Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidades<br />
convencionales, universalmente aceptadas. Por eso <strong>para</strong> estudiar las medidas de<br />
longitud, como también las de superficie, <strong>el</strong> camino lógico es a través de las<br />
unidades arbitrarias en una primera instancia, <strong>para</strong> llegar después a las convencionales<br />
establecidas en <strong>el</strong> SIMELA.<br />
El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita que<br />
los alumnos comprendan <strong>el</strong> concepto de medida. Comenzar con unidades como<br />
<strong>el</strong> metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por qué existen<br />
unidades convencionales.<br />
El alumno tendrá que comprender la necesidad de utilizar unidades que resulten<br />
comunes a todos. Por ejemplo, sugerir que mida <strong>el</strong> ancho d<strong>el</strong> aula o la altura<br />
de la puerta, utilizando <strong>el</strong> largo d<strong>el</strong> borrador o una tiza como unidad de medida<br />
de longitud; o bien que <strong>el</strong> mismo objeto sea medido con diferentes<br />
unidades, y que compare y analice los resultados.<br />
En los sistemas como <strong>el</strong> SIMELA, la existencia de múltiplos y submúltiplos,<br />
tiene por finalidad disponer de unidades más grandes o más chicas que la unidad<br />
base, ya que ésta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo,<br />
<strong>para</strong> medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o <strong>para</strong><br />
medir <strong>el</strong> largo de una hormiga, ¿<strong>el</strong> metro es una unidad apropiada?<br />
Una vez comenzado <strong>el</strong> trabajo con unidades convencionales, es importante<br />
que se observe si los alumnos tienen la noción d<strong>el</strong> tamaño de cada unidad; si<br />
usted detectara dificultades, podría proponer actividades como las Nº4, Nº5 y<br />
Nº6 d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, <strong>para</strong> que <strong>el</strong> adulto pueda expresar la equivalencia<br />
entre una unidad y sus múltiplos y submúltiplos.<br />
De nada sirve correr la coma <strong>para</strong> uno u otro lado, si no se entiende la equivalencia<br />
entre las distintas unidades.<br />
Las escalas<br />
Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un molde<br />
de costura o <strong>el</strong> esquema de algún <strong>el</strong>ectrodoméstico, en estos casos han operado<br />
con <strong>el</strong> concepto de escala, pero quizá no tienen formalizado dicho concepto.<br />
Estas experiencias de vida, resultan útiles <strong>para</strong> desarrollar <strong>el</strong> contenido de las<br />
escalas. Por esta razón se utilizaron en <strong>el</strong> abordaje d<strong>el</strong> tema, mapas, planos, etc.<br />
60
La forma en que se indican las escalas es muy variada, en especial en geografía.<br />
Por eso se incorporaron varias formas de representar o escribir las escalas.<br />
1 300 km<br />
100.000<br />
1 : 50.000<br />
Posiblemente, algún alumno podrá preguntar por alguna de las no utilizadas<br />
en <strong>el</strong> módulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que sólo son<br />
maneras diferentes de expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya se<br />
expresó, se trabaja también en los módulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales.<br />
Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la r<strong>el</strong>ación<br />
(razón) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real de<br />
esa distancia.<br />
Por lo tanto:<br />
1<br />
100.000<br />
indica que por cada cm representado la distancia real<br />
es de 100.000 cm.<br />
1 : 50.000 Indica que cada cm representa 50.000 cm.<br />
En los ejemplos anteriores, no se indican unidades, sino que se podrá medir<br />
en cm, mm u otra unidad <strong>para</strong> obtener la correspondencia en la misma unidad.<br />
300 km<br />
En Con la longitud d<strong>el</strong> segmento dibujado se representa<br />
300 km de la distancia real.<br />
Esta representación es frecuente en mapas. Muchas veces <strong>el</strong> segmento está dividido<br />
en segmentos menores <strong>para</strong> establecer distancias reales más pequeñas.<br />
El uso e interpretación correcta de la escala, permite comprender la r<strong>el</strong>ación<br />
entre magnitudes muy grandes o muy pequeñas.<br />
Por ejemplo las dimensiones que tiene <strong>el</strong> sistema solar y los cuerpos que lo<br />
integran, que se estudian en <strong>el</strong> Módulo 3 de Ciencias y Tecnología, son imposibles<br />
de comprender si no es a través de una proporción o un gráfico en escala.<br />
La ejercitación adicional se planteará de acuerdo con <strong>el</strong> tipo de dificultad que<br />
presenten los alumnos. Si <strong>el</strong> problema radica en que no puede operar con <strong>el</strong><br />
concepto, será necesario proponer actividades como la Nº30 d<strong>el</strong> Módulo 3<br />
<strong>para</strong> alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, <strong>para</strong> calcular longitudes<br />
utilizando la escala que se indique en cada caso.<br />
Una actividad <strong>para</strong> proponer a los alumnos, podría ser dar la medida real de<br />
un objeto, y tomando la de su representación, hallar la escala utilizada.<br />
Una actividad que integre todo lo anterior, sería representar algún objeto con<br />
una escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la representación<br />
d<strong>el</strong> aula, d<strong>el</strong> patio, de un armario, etc.<br />
61
Geometría<br />
El edificio geométrico fue construido por los seres humanos a lo largo de<br />
muchos siglos. Sobre él se han escrito importantes tratados que generaron<br />
discusiones entre matemáticos ilustres; transcurrieron siglos hasta llegar a<br />
algunos acuerdos.<br />
La enseñanza de la geometría también pasó por períodos críticos. Durante<br />
mucho tiempo se enseñó matemática y especialmente geometría, con un<br />
ordenamiento, una sistematización y un rigor científico que poco tenía que ver<br />
con las posibilidades y los intereses personales de los alumnos <strong>para</strong> aprender<br />
matemática.<br />
El tratamiento de la geometría en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos, va desde la<br />
geometría física (de las representaciones gráficas y materializadas), a la geometría<br />
abstracta (conceptualizaciones matemáticas).<br />
No hay dudas, desde <strong>el</strong> punto de vista didáctico, de que la geometría d<strong>el</strong><br />
mundo físico es un mod<strong>el</strong>o exc<strong>el</strong>ente <strong>para</strong> <strong>el</strong> desarrollo de la geometría matemática.<br />
Se comenzó <strong>el</strong> estudio de la geometría (en <strong>el</strong> Módulo 2) presentando<br />
actividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos conceptos<br />
geométricos.<br />
A partir d<strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos se incorpora <strong>el</strong> lenguaje de las representaciones<br />
geométricas.<br />
Polígonos<br />
La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados.<br />
Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe <strong>el</strong><br />
nombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casos<br />
puede ser abierta o cerrada.<br />
Simples<br />
abierta cerrada<br />
62
cerrada<br />
Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, las<br />
cerradas y simples son las que, matemáticamente, reúnen las propiedades más<br />
interesantes.<br />
Los alumnos deben notar que los puntos d<strong>el</strong> plano quedan divididos en tres<br />
clases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a <strong>el</strong>la. Esta<br />
clasificación de los puntos, permite construir <strong>el</strong> concepto de polígono. La<br />
unión entre la poligonal cerrada y simple con su región interior determina un<br />
polígono: es importante que se establezca con claridad que al polígono pertenecen<br />
tanto los puntos d<strong>el</strong> borde o frontera (poligonal), como también los<br />
interiores.<br />
Respecto de la actividad Nº31 es conveniente que sea <strong>el</strong> alumno quien<br />
compare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las principales, es<br />
que la poligonal es una línea en cambio <strong>el</strong> polígono no. Por eso en la poligonal<br />
sólo existe una dimensión, la longitud. En un polígono son dos las dimensiones<br />
y, por lo tanto, tienen como propiedad específica la superficie. Esto es tratado<br />
<strong>para</strong> facilitar al alumno la conceptualización de perímetro y de superficie.<br />
Clasificación de los polígonos<br />
Cruzadas<br />
Generalmente, la primera clasificación que se establece entre los polígonos es:<br />
convexos y no convexos (o cóncavos).<br />
Esta clasificación no fue desarrollada en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos, pero si<br />
en <strong>el</strong> grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere la siguiente actividad:<br />
presentar dos polígonos, uno convexo y otro cóncavo, como los siguientes.<br />
63<br />
abierta
Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchas<br />
serán las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de <strong>el</strong>las será la<br />
propiedad de convexidad de uno de los polígonos. La forma cómo expresen<br />
esta condición podrá variar de un alumno a otro, pero <strong>el</strong> concepto será <strong>el</strong><br />
mismo.<br />
Una figura es cóncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertenecientes<br />
a <strong>el</strong>la puede determinarse un segmento que no está incluido en dicha<br />
figura.<br />
Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de puntos que<br />
cumplan con este requisito, es suficiente <strong>para</strong> que la figura se clasifique en<br />
cóncava. Por lo tanto, <strong>para</strong> ser convexa no debe existir ningún par de puntos<br />
que determine un segmento que no esté incluido en la figura.<br />
a<br />
La clasificación en cóncavo y convexo, no sólo se aplica a los polígonos. Por<br />
lo tanto es necesario verificar que <strong>el</strong> concepto sea general y no particular <strong>para</strong><br />
los polígonos. Por ejemplo con ángulos, con las lentes, etc.<br />
Los polígonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasificación,<br />
es común que se interprete que <strong>para</strong> que un polígono sea regular "sus<br />
lados deben ser iguales". Si bien es cierto que esta condición es necesaria, no es<br />
suficiente. Un polígono es regular si y, sólo sí, todos sus lados y todos sus<br />
ángulos son iguales.<br />
La clasificación más utilizada, es la que divide a los polígonos según <strong>el</strong> número<br />
de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje,<br />
como <strong>el</strong> triángulo, <strong>el</strong> cuadrilátero, etc. En general, esta última clasificación no<br />
presenta dificultades. Es conveniente remarcar que los triángulos y los cuadriláteros<br />
son polígonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.<br />
La superficie de los polígonos<br />
b<br />
a y b determinan un segmento no incluido<br />
en <strong>el</strong> polígono. Es cóncavo.<br />
En ningún momento se ha hecho la diferenciación entre superficie y área,<br />
porque se considera innecesaria y sólo contribuiría a confundir a los alumnos,<br />
ya que la gran mayoría de los adultos utiliza <strong>el</strong> término superficie como<br />
sinónimo de área y no es necesario establecer su diferenciación.<br />
64
Algo semejante ocurre con los términos congruente e igual, los adultos en<br />
general desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente la<br />
palabra igual, en algunos casos como sinónimo de congruente. De nada serviría<br />
insistir en la diferencia.<br />
Al igual que en la longitud, <strong>para</strong> llegar al cálculo de superficie y al uso de<br />
unidades convencionales, se creyó necesario incorporar <strong>el</strong> concepto de superficie y<br />
<strong>el</strong> uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad Nº40, se ha intentado<br />
diferenciar <strong>el</strong> perímetro de la superficie. A diferencia de las líneas cuya<br />
propiedad es la longitud, la propiedad característica de los polígonos es la superficie.<br />
Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud de<br />
la misma especie, y, <strong>para</strong> medir una superficie, es necesario utilizar otra superficie<br />
como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso),<br />
manzanas (en <strong>el</strong> caso de un sector de una ciudad), cerámicas o azulejos (en <strong>el</strong><br />
caso de una pared), etc. Además, <strong>el</strong> alumno podrá proponer otras unidades posibles<br />
<strong>para</strong> medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades<br />
(actividades Nº42 y Nº43).<br />
Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente que<br />
las últimas que se utilicen durante las actividades que se propongan sean cuadrados,<br />
ya que <strong>el</strong> metro cuadrado es una superficie cuadrada. También en este<br />
caso <strong>el</strong> alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionales<br />
incluidas en <strong>el</strong> SIMELA.<br />
En <strong>el</strong> tratamiento de los múltiplos y submúltiplos hay dos aspectos centrales<br />
a tener en cuenta: la r<strong>el</strong>ación entre las unidades y la formación de la idea d<strong>el</strong><br />
tamaño de las unidades de superficie más usuales.<br />
Estos dos aspectos se pueden trabajar simultáneamente como en las actividades<br />
Nº44, Nº45 y Nº46. Ante dificultades se puede llevar un metro y con tiza<br />
o algún objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidades<br />
apropiadas. Por ejemplo: medir la superficie d<strong>el</strong> pizarrón, d<strong>el</strong> patio o de una<br />
pared. Dibujar entonces cuadrados de 1m por 1m, o de 1dm por 1dm de 1cm<br />
por 1cm y luego contar los m 2 , dm 2 o cm 2 .<br />
De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes unidades,<br />
surgen varias situaciones adicionales: a) <strong>el</strong>egir la unidad apropiada; b) la<br />
unidad <strong>el</strong>egida no está contenida un número exacto de veces; c) la equivalencia<br />
(si se <strong>el</strong>igen dos unidades distintas <strong>para</strong> medir la misma superficie).<br />
En <strong>el</strong> caso a), se verifica si tienen noción d<strong>el</strong> tamaño de las unidades <strong>para</strong> <strong>el</strong>egir<br />
la apropiada. De no ser así, al intentar resolver la actividad, se darán cuenta<br />
de que es muy pequeña o muy grande la unidad <strong>el</strong>egida.<br />
La situación b) se dará en casos como <strong>el</strong> siguiente.<br />
1 m 2 2 3 4 5 6<br />
7 8 9 10 <strong>11</strong> 12<br />
65
Sobre <strong>el</strong> patio se han dibujado cuadrados de 1 m 2 cada uno, en total hay 12,<br />
pero queda superficie d<strong>el</strong> patio sin medir. ¿Cómo se determina la medida de la<br />
superficie restante?<br />
Aquí los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que quedó (más o menos<br />
4 m 2 dando un total de 16m 2 ). 2) Completar <strong>el</strong> resto de la medición con dm 2<br />
(en este caso se dibuja en lo que queda d<strong>el</strong> patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm).<br />
Finalmente, se podrán com<strong>para</strong>r las dos respuestas.<br />
En c), se presenta una buena ocasión <strong>para</strong> mostrar equivalencias. Si por<br />
ejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm 2 , al medirla con cuadraditos<br />
de 1 cm por 1 cm, se obtendrán 1.800cm 2 .<br />
Para medir superficies también se utilizan las unidades agrarias, fundamentalmente,<br />
la hectárea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o han<br />
trabajado en <strong>el</strong> campo, tienen presente esta unidad de medida. Con <strong>el</strong>los sólo<br />
será necesario trabajar la equivalencia con <strong>el</strong> hectómetro cuadrado (1 hectárea).<br />
Con los alumnos que no tengan una noción clara d<strong>el</strong> tamaño de una hectárea,<br />
se la deberá r<strong>el</strong>acionar con <strong>el</strong> hm 2 , establecer la manzana de algunas ciudades<br />
como una superficie similar (se debe tener presente la irregularidad de<br />
las manzanas).<br />
Cálculo de superficies<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 se trabajará sólo <strong>el</strong> cálculo (con fórmula) de la superficie de<br />
rectángulos.<br />
En muchas ocasiones, especialmente en geometría, se presentan las fórmulas<br />
<strong>para</strong> calcular una superficie, un volumen o alguna medida de la figura<br />
geométrica como una imposición d<strong>el</strong> maestro o <strong>el</strong> libro y que <strong>el</strong> alumno, sin<br />
comprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensación de<br />
que son <strong>el</strong> "mandato" de algún matemático que vivió hace mucho tiempo y que<br />
deben ser utilizadas mecánicamente.<br />
Las actividades Nº47, Nº48 y, especialmente, la Nº49, permiten que <strong>el</strong><br />
alumno descubra la fórmula <strong>para</strong> calcular la superficie de los rectángulos. En <strong>el</strong><br />
rectángulo de la actividad Nº49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cm<br />
por 6 cm, que son las medidas de ese rectángulo, pero <strong>el</strong> procedimiento se<br />
puede generalizar, ya que en todos los casos, <strong>el</strong> producto de la base por la altura<br />
permite hallar la superficie de un rectángulo.<br />
Si <strong>el</strong> alumno, es quien generaliza, podrá:<br />
• Comprender y recordar fácilmente las fórmulas correspondientes y reconstruirlas<br />
si es necesario.<br />
• Valorar la importancia de analizar situaciones particulares, ya que a partir de<br />
casos individuales se pueden obtener conclusiones generales.<br />
66
La obtención, comprensión y utilización de las fórmulas por <strong>parte</strong> de los<br />
alumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo y<br />
abstracto.<br />
La fórmula <strong>para</strong> calcular superficies de rectángulos es fundamental, ya que las<br />
fórmulas <strong>para</strong> <strong>el</strong> resto de las figuras (directa o indirectamente), están r<strong>el</strong>acionadas<br />
con ésta.<br />
De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la Nº49. Si los<br />
alumnos comprenden <strong>el</strong> concepto de superficie y <strong>el</strong> de multiplicación, no<br />
tendrán dificultades <strong>para</strong> aplicar o reconstruir la fórmula <strong>para</strong> calcular la superficie<br />
d<strong>el</strong> rectángulo; de lo contrario, hay que verificar en cuál de estos dos<br />
conceptos está la dificultad, <strong>para</strong> poder superarla.<br />
Otras actividades podrían ser las que los alumnos piensen en situaciones<br />
cotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular la<br />
superficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe ser<br />
abonada o sembrada, la de una pared que se quiere empap<strong>el</strong>ar, etc.<br />
Luego de haber hecho cálculos simples, se pueden proponer actividades como<br />
la Nº51, donde intervienen muchos de los temas desarrollados en <strong>el</strong> módulo<br />
<strong>para</strong> alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse no sólo a través d<strong>el</strong> gráfico<br />
de las paredes, sino tomando una habitación <strong>para</strong> graficar sus paredes,<br />
medirlas y luego resolver la actividad.<br />
El aula siempre ofrece posibilidades muy buenas <strong>para</strong> generar actividades. En<br />
este sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos <strong>para</strong><br />
medir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener que<br />
obtener los datos <strong>para</strong> resolver <strong>el</strong> problema, generalmente, hace que éstos sean<br />
ordenados y utilizados correctamente.<br />
Operaciones<br />
Los algoritmos se olvidan fácilmente cuando no son comprendidos. La comprensión<br />
d<strong>el</strong> algoritmo tanto de la multiplicación como de la división, está<br />
basada, principalmente, en un manejo apropiado d<strong>el</strong> sistema de numeración<br />
decimal.<br />
Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanismo<br />
que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado sólo en<br />
forma mecánica.<br />
Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, en<br />
especial con dos cifras, no es conveniente insistir con más cuentas, como máximo<br />
se logrará que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. En<br />
estos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por <strong>el</strong>los. Se notará que,<br />
en general, los errores se r<strong>el</strong>acionan con <strong>el</strong> sistema de numeración decimal, ya<br />
sea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro orden<br />
en forma incorrecta.<br />
67
Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que se<br />
refieran al sistema de numeración decimal y luego rehacer junto con los<br />
alumnos las operaciones resu<strong>el</strong>tas incorrectamente, indicando por qué se opera<br />
de esa manera, <strong>para</strong> que puedan reconocer la causa de sus errores.<br />
En la historieta que introduce al tema multiplicación y en la actividad Nº12,<br />
se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multiplique por 2 y por 10 y<br />
que se sumen los resultados, ya que en esto consiste <strong>el</strong> algoritmo de la multiplicación<br />
por dos cifras.<br />
Hasta que <strong>el</strong> algoritmo no esté comprendido, es conveniente que se utilicen<br />
las columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrán cuándo no usarlas más.<br />
El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicación de una expresión<br />
decimal por un número natural. Por lo tanto, es necesario insistir en las<br />
multiplicaciones entre números naturales antes de pasar a agregar una mayor<br />
dificultad al utilizar la coma decimal.<br />
En las primeras multiplicaciones, es conveniente mencionar que se está<br />
multiplicando y que se obtiene, por ejemplo, en la actividad Nº15: "2 por 4<br />
centésimos, es igual a 8 centésimos" y ubicarlo en la columna que corresponda.<br />
Las primeras actividades de multiplicación (actividades Nº12 y Nº15) y de<br />
división (actividades Nº23 y Nº24) por dos cifras, es conveniente explicarlas<br />
oralmente <strong>para</strong> facilitar su comprensión, ya que la secuencia indicada <strong>para</strong><br />
resolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas por<br />
todos los alumnos. No se puede agregar más texto a los ejercicios <strong>para</strong> que no<br />
resulten demasiado extensos.<br />
La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, permite hacer<br />
cálculos aproximados d<strong>el</strong> resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla con<br />
calculadora o escribiéndola.<br />
Hay que estimular a los alumnos <strong>para</strong> que antes de realizar una operación,<br />
estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escrito<br />
<strong>el</strong> cálculo se realiza mal, notarán que <strong>el</strong> resultado no es correcto y revisarán la<br />
cuenta. Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensar<br />
que si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 será algo<br />
más, tendrá que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da mucho<br />
más o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchos<br />
adultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las compartan<br />
con <strong>el</strong> resto d<strong>el</strong> grupo. Esto los estimulará y permitirá a los otros ir<br />
construyendo sus propios procedimientos.<br />
Las actividades Nº17, Nº20 y Nº22, permiten que los alumnos descubran la<br />
propiedad referida a la multiplicación y la división por la unidad seguida de<br />
ceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocurre<br />
lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podría parecer casualidad.<br />
El algoritmo de la división por dos cifras no es distinto al de una cifra, pero<br />
tiene sus particularidades. Por ejemplo:<br />
68
C D U<br />
7 4 8 21 ¿Se puede dividir 7 centenas por 21?<br />
Como la respuesta es no, generalmente se dice: "entonces se toma la cifra que<br />
sigue", esto no tiene la justificación correspondiente y comienza a convertirse<br />
en un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar <strong>el</strong> sistema de numeración<br />
y pensar, "Como no se puede dividir 7 centenas en 21 <strong>parte</strong>s iguales se<br />
transforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, más 4 que ya se tenían da 74<br />
decenas".<br />
C D U<br />
7 4 8 21 ¿Se puede dividir 74 decenas por 21?<br />
La respuesta ahora es sí. El problema es cuánto se obtiene.<br />
En la actividad d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, <strong>para</strong> poder hallar cada una de las<br />
cifras d<strong>el</strong> cociente, se agregaron todos los productos d<strong>el</strong> dividendo por una<br />
cifra. Ésta es una de las técnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifra<br />
d<strong>el</strong> cociente, es por tanteo. Éste es <strong>el</strong> procedimiento más utilizado, pero no es<br />
<strong>el</strong> mejor <strong>para</strong> iniciar <strong>el</strong> tema, porque implica muchos cálculos innecesarios que<br />
pueden evitarse si <strong>el</strong> alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagórica<br />
sabiendo lo que busca.<br />
C D U<br />
7 4 8<br />
6 3<br />
1 1 8<br />
21 3<br />
<strong>11</strong> decenas se transforman en <strong>11</strong>0 unidades, más las<br />
8 que ya había, da <strong>11</strong>8, por eso se escribe <strong>el</strong> 8 junto<br />
al <strong>11</strong>.<br />
Generalmente se dice " se baja <strong>el</strong> 8". ¿Por qué?, ¿<strong>para</strong> qué?. Si no se cambia o<br />
justifica este tipo de expresión, se cae en <strong>el</strong> mecanismo incomprensible.<br />
A partir de este paso, <strong>el</strong> ciclo se repite, se busca <strong>el</strong> cociente entre <strong>11</strong>8 y 21 y<br />
se sigue...<br />
C D U<br />
7 4 8 21<br />
6 3 35 Si <strong>el</strong> propósito es obtener un cociente decimal, sólo<br />
1 1 8 se necesita mostrar que <strong>el</strong> 5 obtenido en <strong>el</strong> cociente<br />
1 0 5 corresponde a las unidades, por lo tanto, <strong>para</strong> con-<br />
1 3 tinuar, es necesario transformar 13 unidades en 130<br />
décimos (generalmente se dice "se agrega un cero al<br />
resto"), obteniendo en <strong>el</strong> cociente como próxima cifra 6 décimos, por eso se<br />
coloca la coma decimal en <strong>el</strong> resultado.<br />
Sintetizando, <strong>para</strong> los adultos que ya saben este tipo de procedimientos habrá<br />
que justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo están aprendiendo,<br />
es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudará a que comprendan<br />
y no olviden los algoritmos.<br />
Recuerde que la calculadora podrá ser utilizada <strong>para</strong> verificar los resultados.<br />
69
EVALUACIÓN<br />
La siguiente es una actividad de integración propuesta <strong>para</strong> la evaluación. Es<br />
conveniente tener en cuenta que un error de medición o de cálculo, puede<br />
motivar que las respuestas que dependan de éste no sean correctas, pero esto no<br />
implica necesariamente que <strong>el</strong> alumno haya procedido mal.<br />
Campo "La luz güena"<br />
En <strong>el</strong> gráfico se ha hecho <strong>el</strong> esquema de un campo, <strong>el</strong> recuadro mayor corresponde<br />
a los límites d<strong>el</strong> campo, <strong>el</strong> interior al sector destinado a la vivienda.<br />
1) Mida y escriba cuántos cm tiene <strong>el</strong> ancho (base) d<strong>el</strong> rectángulo,<br />
2) Si la medida real d<strong>el</strong> ancho d<strong>el</strong> campo es de 900m, ¿cuál es la escala utilizada<br />
<strong>para</strong> la representación?<br />
3) ¿Cuál es <strong>el</strong> perímetro d<strong>el</strong> campo?<br />
4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cart<strong>el</strong>, ¿cuántos<br />
cart<strong>el</strong>es podrán ubicarse?<br />
5) Calcule la superficie total d<strong>el</strong> campo<br />
6) ¿Cuál es la superficie d<strong>el</strong> sector destinado a vivienda?<br />
7) Si <strong>el</strong> resto d<strong>el</strong> campo es utilizado <strong>para</strong> criar animales. ¿Cuál es la superficie<br />
destinada a esta finalidad?<br />
70
8) Exprese esta superficie en hm 2, o sea, son hectáreas<br />
Si por ejemplo en <strong>el</strong> punto 1) <strong>el</strong> alumno mide mal y en lugar de medir 9cm<br />
lee 10cm, la escala ya no será la dada, pero si usando lo que él midió (10cm),<br />
calcula como escala 10cm : 900m o 1cm 90m o como lo exprese,<br />
<strong>el</strong> punto 2) es correcto.<br />
Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluación, y<br />
<strong>el</strong> criterio a adoptar debe ser <strong>el</strong> mismo.<br />
71
BIBLIOGRAFÍA<br />
Sobre aspectos didácticos<br />
Bandet, J. y otros: Hacia <strong>el</strong> aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires,<br />
Kap<strong>el</strong>usz, 1965.<br />
Cast<strong>el</strong>nuovo, Emma: Didáctica de la matemática moderna. México, Trillas,<br />
1972.<br />
Márquez, Cristina d<strong>el</strong> Carmen: Enseñar a pensar. Buenos Aires, Kap<strong>el</strong>usz,<br />
1987, Cuaderno pedagógico Nº57.<br />
Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.<br />
Sobre contenidos<br />
Proporcionalidad:<br />
Amadori, Liliana: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capítulo 4.<br />
Las mediciones:<br />
Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. La medida. Buenos<br />
Aires, Plus Ultra, 1982.<br />
Trama, Eduardo y otros: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6.<br />
Polígonos:<br />
Trama, Eduardo y otros: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 5.<br />
La superficie, cálculo:<br />
Trama, Eduardo y otros: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. <strong>11</strong>.<br />
Operaciones, potenciación:<br />
Amadori, Liliana: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y <strong>11</strong>.<br />
73
MÓDULO 4<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
Índice<br />
Introducción<br />
Contenidos y actividades<br />
Operaciones<br />
Proporcionalidad<br />
Las posibles dificultades de los alumnos<br />
Porcentaje<br />
Multiplicación y división de expresiones decimales<br />
Medidas de capacidad y peso<br />
Geometría<br />
Medición de ángulos<br />
Evaluación<br />
Anexo I: Problemas<br />
Proporcionalidad<br />
Porcentaje<br />
Bibliografía<br />
Anexo <strong>II</strong>: Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos
ÍNDICE<br />
Introducción 79<br />
Contenidos y actividades 80<br />
Operaciones 81<br />
Proporcionalidad 81<br />
Las posibles dificultades de los alumnos 86<br />
Porcentaje 88<br />
Multiplicación y división de expresiones decimales 90<br />
Medidas de capacidad y peso 90<br />
Geometría 91<br />
Medición de ángulos 91<br />
Evaluación 92<br />
Anexo I: Problemas 94<br />
Proporcionalidad 94<br />
Porcentaje 96<br />
Bibliografía 99
INTRODUCCIÓN<br />
La organización de este módulo destaca <strong>el</strong> concepto de proporcionalidad; se<br />
lo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en la<br />
aplicación en otras disciplinas como, por ejemplo, la física. Además, de él<br />
derivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento.<br />
La enseñanza de la matemática está estrechamente ligada a la resolución de<br />
problemas. Por tal motivo, <strong>el</strong> objetivo central de este módulo es presentar<br />
algunas herramientas que lo orienten a usted en:<br />
• la s<strong>el</strong>ección de problemas de proporcionalidad <strong>para</strong> plantear a los alumnos;<br />
• la <strong>el</strong>ección de procedimientos de resolución de problemas de regla de tres<br />
y de formas de representación de planteos y soluciones;<br />
• la <strong>el</strong>ección de estrategias <strong>para</strong> superar posibles errores conceptuales y/o de<br />
aplicación de procedimientos por <strong>parte</strong> de los alumnos.<br />
Un tema no se agota con la resolución de un solo tipo de problemas. Es<br />
conveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentes<br />
aspectos en r<strong>el</strong>ación con un contenido particular, de tal forma que nuevos<br />
problemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, se<br />
incorporó al final de este módulo <strong>el</strong> Anexo I con propuestas de problemas, <strong>para</strong><br />
ser utilizado cuando usted lo crea oportuno.<br />
En <strong>el</strong> eje Operaciones, es prioritario <strong>el</strong> concepto de proporcionalidad, cuyo<br />
tratamiento se inició en <strong>el</strong> Módulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando a<br />
partir de la formulación de una secuencia de problemas con niv<strong>el</strong> creciente de<br />
complejidad. El propósito es que <strong>el</strong> alumno analice y confronte los posibles<br />
procedimientos de resolución de situaciones de proporcionalidad y utilice <strong>el</strong><br />
que le resulte más conveniente 1.<br />
Derivado d<strong>el</strong> concepto de proporcionalidad, se plantea <strong>el</strong> concepto de<br />
porcentaje, que está presente en <strong>el</strong> quehacer cotidiano d<strong>el</strong> adulto, en<br />
situaciones como: calcular <strong>el</strong> precio de un producto al que se le practica un<br />
descuento determinado (10%, 20%, etc.), comprender los descuentos que se le<br />
practican en su recibo de su<strong>el</strong>do, interpretar noticias periodísticas de actualidad<br />
(resultado de <strong>el</strong>ecciones, aumento en los servicios, etc.). Su tratamiento<br />
permite integrar <strong>el</strong> eje Estadística a partir d<strong>el</strong> análisis e interpretación de<br />
diagramas de barras, de torta y tablas de doble entrada.<br />
Otro contenido d<strong>el</strong> eje Operaciones es la multiplicación y división de<br />
expresiones decimales. Se trabajan las operaciones mencionadas en situaciones<br />
problemáticas, proponiendo, en primer lugar, la estimación d<strong>el</strong> resultado y, en<br />
segundo lugar, la resolución exacta, aplicando <strong>el</strong> algoritmo que corresponda;<br />
finalmente, la verificación d<strong>el</strong> resultado con la calculadora.<br />
1 En la segunda impresión d<strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos se suprimió la resolución de problemas de proporcionalidad<br />
por función, debido a las dificultades que la misma presentaba (según encuestas <strong>para</strong> docentes y alumnos<br />
de varias jurisdicciones).<br />
R<strong>el</strong>acionado con la resolución por función sólo se aclara <strong>el</strong> significado d<strong>el</strong> término en <strong>el</strong> lenguaje matemático<br />
y se plantea la representación gráfica de la función. Por tal motivo se mantienen las situaciones que se resu<strong>el</strong>ven<br />
sólo con la observación de dicha representación.<br />
79
En <strong>el</strong> eje Medida, se presentan las medidas de capacidad y peso en situaciones<br />
de la vida diaria. Esto permite hacer referencia a las unidades convencionales<br />
establecidas por <strong>el</strong> SIMELA, y plantear la resolución de problemas que integran<br />
los contenidos d<strong>el</strong> Módulo 4: proporcionalidad, porcentaje y operaciones con<br />
expresiones decimales.<br />
Respecto de la medición de ángulos, se comienza com<strong>para</strong>ndo las aberturas<br />
de los mismos, con un ángulo patrón (unidad no convencional), <strong>para</strong> llegar a<br />
la unidad convencional.<br />
No se realizan operaciones con estas unidades, ya que <strong>el</strong> propósito es que <strong>el</strong><br />
alumno conozca <strong>el</strong> sistema utilizado <strong>para</strong> medir ángulos, <strong>el</strong> instrumento que se<br />
utiliza (<strong>el</strong> transportador) y la forma en que se mide, integrando de esta forma<br />
los ejes Medida y Geometría.<br />
Los objetivos d<strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos tienden a que <strong>el</strong> adulto:<br />
◆ Reconozca problemas de proporcionalidad.<br />
◆ Diferencie la proporcionalidad directa e inversa.<br />
◆ Obtenga la constante de la proporcionalidad directa y de la inversa.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va problemas de proporcionalidad directa por <strong>el</strong> procedimiento que más le<br />
convenga.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va situaciones de porcentaje y descuento, como casos particulares de proporcionalidad.<br />
◆ Resu<strong>el</strong>va multiplicaciones y divisiones con expresiones decimales, estimando previamente<br />
<strong>el</strong> resultado, y verificándolo posteriormente con la calculadora.<br />
◆ Aplique sus conocimientos de medidas de peso y capacidad a situaciones de la<br />
vida cotidiana.<br />
◆ Compare y mida ángulos.<br />
◆ Interprete y analice gráficos estadísticos.<br />
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES<br />
Se trabajan contenidos de los cuatro ejes: Operaciones, Medida, Geometría y<br />
Estadística.<br />
Operaciones Estadística Medida Geometría<br />
- Multiplicación - Tablas Capacidad<br />
y división y peso<br />
con expresiones - Gráficos Medición<br />
decimales de ángulos<br />
- Proporcionalidad<br />
- Porcentaje<br />
- Descuento<br />
Situaciones problemáticas<br />
80
Operaciones<br />
Proporcionalidad<br />
El término proporción y sus derivados (proporcionado, proporcional, desproporción,<br />
proporcionalidad, etc.), son utilizados en <strong>el</strong> lenguaje cotidiano con<br />
diferentes significados. En general, no coinciden con <strong>el</strong> concepto matemático.<br />
Por esa razón, <strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos, se inicia con tres viñetas que corresponden<br />
a tres situaciones en las que se emplean diferentes acepciones de algún<br />
derivado de la palabra proporción. En las viñetas 1 y 2, se utilizan los términos<br />
“desproporcionada” y “proporcionada” con un sentido estético, que tiene que<br />
ver con la armonía de formas. En la viñeta 3, la palabra “desproporción” remite<br />
a un desequilibrio entre lo que se ofrece en venta (artículo) y <strong>el</strong> precio que se<br />
le asigna. Las tres situaciones siguientes, si bien plantean situaciones en las que<br />
la palabra proporción y sus derivados tienen sentido matemático, sólo en las<br />
situaciones 2 y 3 los términos se corresponden, estrictamente, con <strong>el</strong> concepto<br />
de proporcionalidad matemática.<br />
Es probable que los alumnos descubran esto, una vez que hayan resu<strong>el</strong>to toda<br />
la secuencia de actividades que se les propone, referida al concepto de proporcionalidad<br />
directa e inversa.<br />
Es importante tener en cuenta, al enseñar este contenido, que:<br />
• La proporcionalidad se inscribe en <strong>el</strong> campo de lo multiplicativo.<br />
Sería significativo comentar con los alumnos en las instancias presenciales<br />
que, en los módulos 2 y 3, <strong>el</strong>los ya resolvieron situaciones multiplicativas d<strong>el</strong><br />
tipo de: "Un kilo de asado cuesta $2,50. Si compro 3 kilos. ¿Cuánto debo<br />
pagar?" Éstos son problemas <strong>el</strong>ementales de proporcionalidad. Las tablas de<br />
multiplicar también son un ejemplo de proporcionalidad, aunque pocas veces<br />
sean explícitamente consideradas como tales.<br />
• El concepto de proporcionalidad se construye a partir de una serie de contenidos<br />
interr<strong>el</strong>acionados.<br />
Las siguientes afirmaciones, remiten a la r<strong>el</strong>ación de proporcionalidad directa.<br />
Por ejemplo si se plantea que:<br />
• un automóvil marcha a 120 km/h;<br />
• <strong>el</strong> plano está dibujado en escala 1:1000;<br />
• <strong>para</strong> 10 porciones de torta utilizo 200g de crema;<br />
• una cañería expulsó 50l de agua por minuto;<br />
• la perfumería rebaja sus artículos <strong>el</strong> 20%;<br />
• con 2kg de fruta se obtiene 1,50kg de dulce.<br />
La variada complejidad de estas situaciones, está dada, entre otras, por los tipos<br />
de números utilizados (naturales, racionales), por la naturaleza de las magnitudes<br />
(peso, capacidad, longitud, v<strong>el</strong>ocidad, tiempo), por <strong>el</strong> concepto de medida<br />
y por los contenidos derivados (porcentaje, escala).<br />
81
Todos estos aspectos se interr<strong>el</strong>acionan, y así la solución de un problema será<br />
producto de la integración de los mismos.<br />
El Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos plantea la secuencia de problemas propuestos y<br />
considera:<br />
• los procedimientos o estrategias de resolución;<br />
• las diferentes formas de representación de las formulaciones y soluciones;<br />
• las posibles dificultades de los alumnos;<br />
• los contenidos derivados.<br />
Con respecto a los procedimientos o estrategias de resolución, en <strong>el</strong> Módulo<br />
4 <strong>para</strong> alumnos se utilizó <strong>el</strong> ejemplo planteado en <strong>el</strong> Módulo 3: la proporción<br />
<strong>para</strong> la mezcla utilizada en la construcción es de "un balde de cal, por 3 baldes<br />
de arena". La actividad Nº4 propone al alumno que complete esta tabla:<br />
arena cal<br />
a) 3 1<br />
b) 6 2<br />
c) 9 3<br />
d) 18 6<br />
e) 45 15<br />
Posiblemente, <strong>el</strong> alumno, completará en b) la r<strong>el</strong>ación 6-2 porque "si la arena<br />
aumenta al doble, la cal también". Y en c) completará 9-3 porque en este caso<br />
la arena aumenta <strong>el</strong> triple y en d) como es <strong>el</strong> doble de c) será 18-6 y en e) como<br />
son los datos de c): 9-3 multiplicados por 5, resu<strong>el</strong>ve 3x5 = 15 y 9x5 = 45.<br />
Estas estrategias, dan cuenta de las propiedades de la proporcionalidad que <strong>el</strong><br />
adulto conoce por su experiencia personal.<br />
En la instancia presencial, se sugiere que los adultos analicen y confronten los<br />
diferentes procedimientos que utilizan. Este espacio de reflexión e intercambio,<br />
es útil <strong>para</strong> despejar dudas y aclarar conceptos.<br />
El primer procedimiento de resolución que se propone a los alumnos, <strong>para</strong><br />
resolver situaciones de proporcionalidad (directa e inversa), es <strong>el</strong> que surge de<br />
la propiedad fundamental de las proporciones y que permite calcular un<br />
extremo o un medio desconocidos. La ejercitación de este procedimiento,<br />
podría hacerse con aqu<strong>el</strong>los alumnos que presenten dificultades, proponiendo<br />
otras situaciones que tengan que ver con sus intereses o preferencias. También<br />
usted podría proponer a los alumnos que ubiquen la x (incógnita) en diferentes<br />
lugares (como medio o como extremo), ya que existe una tendencia<br />
generalizada a colocar la x siempre a la derecha y como extremo de la<br />
proporción.<br />
Éstos son algunos ejemplos similares a los presentados en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong><br />
docentes.<br />
82
a) Si en 2 meses gasté $30 en transporte, ¿<strong>para</strong> cuántos meses me alcanzarán<br />
$90? (Si gasto siempre lo mismo.)<br />
2<br />
=<br />
x<br />
$30 $90<br />
b) ¿Cuántos kilos de tomates se espera cosechar, si de las 6 primeras plantas se<br />
cosecharon 54 kilos y en total existen 300 plantas iguales? (Suponiendo que<br />
tendrán igual rendimiento.)<br />
x<br />
=<br />
54<br />
300 6<br />
Es probable que los alumnos puedan resolver los problemas intuitivamente o<br />
aproximadamente. Es importante fomentar esa modalidad, pero como ya se<br />
expresó en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> docentes, es <strong>el</strong> procedimiento <strong>el</strong> que permitirá<br />
siempre <strong>el</strong> cálculo exacto.<br />
Otro procedimiento <strong>para</strong> resolver problemas de regla de tres, es <strong>el</strong> de la<br />
resolución por función2. Éste es un camino operatorio muy sintético, ya que<br />
una vez determinada la característica de la proporcionalidad: directa o inversa,<br />
sólo es necesario hallar la constante de proporcionalidad que se obtiene por<br />
cociente ordenado entre y y x, en <strong>el</strong> caso de proporcionalidad directa:<br />
y<br />
k =<br />
x entonces y = k . x<br />
o por producto de y . x en <strong>el</strong> caso de proporcionalidad inversa:<br />
k = y x entonces y =<br />
Este camino o procedimiento, tan sintético, abstracto y formal, debe completarse<br />
con la representación gráfica en <strong>el</strong> sistema de ejes. La ubicación de puntos<br />
en <strong>el</strong> sistema cartesiano resulta de gran utilidad <strong>para</strong> interpretar los gráficos<br />
estadísticos que se presentan en <strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos.<br />
k .<br />
x<br />
Desde <strong>el</strong> Módulo 2, <strong>el</strong> alumno ha trabajado la tabla de doble entrada aplicada<br />
a diferentes situaciones. Por tal motivo, es probable que la representación<br />
cartesiana no ofrezca dificultad, pero si así fuere, se sugiere trabajar con <strong>el</strong> grupo,<br />
<strong>el</strong> tipo de gráfico lineal que se presenta a continuación:<br />
Es habitual ver este gráfico de temperatura en hospitales o sanatorios, al pie<br />
de la cama d<strong>el</strong> enfermo. Si bien no representa proporcionalidad directa será útil<br />
<strong>para</strong> com<strong>para</strong>rlo con los gráficos de proporcionalidad y determinar diferencias.<br />
2 Ver página 65.<br />
83
Los alumnos podrían responder a estas preguntas:<br />
¿Cuál fue <strong>el</strong> día que <strong>el</strong> enfermo tuvo mayor temperatura?<br />
¿Qué día tuvo menos temperatura?<br />
¿Le parece que <strong>el</strong> gráfico indica una evolución favorable? ¿Por qué?<br />
También se le podría sugerir al adulto que busque en diarios o revistas,<br />
gráficos similares <strong>para</strong> analizarlos con <strong>el</strong> grupo.<br />
En <strong>el</strong> método por funciones, es conveniente <strong>el</strong> trabajo de representación<br />
gráfica en <strong>el</strong> sistema de ejes <strong>para</strong> observar que a cada x le corresponde una y sólo<br />
una y.<br />
Cada perpendicular<br />
corta a la gráfica en<br />
un sólo punto<br />
T<br />
E<br />
M<br />
P<br />
E<br />
R<br />
A<br />
T<br />
U<br />
R<br />
A<br />
40<br />
39<br />
38<br />
37<br />
36<br />
y y<br />
x<br />
36<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
DÍA DE INTERNACIÓN<br />
Corta a la gráfica en<br />
infinitos puntos<br />
A<br />
B<br />
Es función No es función Es función<br />
Recuerde que como se dice en la nota 1 de pág. 65 la resolución de situaciones de<br />
proporcionalidad por función fue exlcuída d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos. Pero depende<br />
de su decisión que este tema sea tratado, ya que sólo usted conoce las características<br />
d<strong>el</strong> grupo a su cargo.<br />
Es probable que los alumnos propongan como procedimiento de resolución<br />
de los problemas de regla de tres, <strong>el</strong> de reducción a la unidad. Este procedimiento<br />
es largo y tedioso, pero es <strong>el</strong> adulto quien debe optar por <strong>el</strong> que le<br />
resulte más conveniente. Se presenta un ejemplo de los ya trabajados y resu<strong>el</strong>tos<br />
por proporciones:<br />
Si en 2 meses gasté 3 panes de jabón, ¿<strong>para</strong> cuántos meses me alcanzarán 9<br />
panes? (Si gasto la misma cantidad de jabón.)<br />
84<br />
x<br />
Cada perpendicular<br />
corta a la gráfica<br />
en un sólo punto
Por <strong>el</strong> procedimiento de reducción a la unidad se plantea la situación de la<br />
siguiente manera:<br />
Planteo<br />
Si 3 panes alcanzan <strong>para</strong> 2 meses<br />
9 panes alcanzan <strong>para</strong> x meses<br />
y se resu<strong>el</strong>ve así:<br />
Solución<br />
Si 3 panes alcanzan <strong>para</strong> 2 meses<br />
1 pan alcanzará <strong>para</strong> 2 meses<br />
3 panes<br />
9 panes alcanzarán <strong>para</strong> 2 meses x 9 panes =<br />
6 meses<br />
3 panes<br />
¿Cómo se expresa verbalmente esta solución? En general, es expresada así: "si<br />
3 panes de jabón alcanzan <strong>para</strong> 2 meses, 1 pan alcanzará <strong>para</strong> 3 veces menos o<br />
sea 2 ". Si bien no es incorrecto, es mejor decir "1 pan alcanzará <strong>para</strong> dos<br />
3<br />
tercios de mes “...y “9 panes alcanzarán <strong>para</strong> 2 de mes por 9".<br />
3<br />
Frecuentemente se verbaliza sin razonar, como consecuencia de la mecanización<br />
de los procedimientos.<br />
En <strong>el</strong> caso de que algún alumno prefiera utilizar <strong>el</strong> procedimiento de<br />
reducción a la unidad, sería conveniente respetar su <strong>el</strong>ección. En ese momento<br />
su intervención será fundamental <strong>para</strong> verificar si aplica mecánicamente <strong>el</strong><br />
procedimiento. En este caso usted podría orientarlo <strong>para</strong> que <strong>el</strong> adulto encuentre<br />
la fundamentación a la estrategia utilizada.<br />
En la formulación de los problemas y en su resolución, se han utilizado<br />
diferentes formas de representación: verbal, por tablas, gráfica, por planteo, etc.<br />
Cada una de <strong>el</strong>las resulta más o menos pertinente, según la información que se<br />
considere. Por ejemplo: <strong>el</strong> gráfico cartesiano permite visualizar globalmente <strong>el</strong><br />
comportamiento de la r<strong>el</strong>ación, y es útil también <strong>para</strong> com<strong>para</strong>r dos o más<br />
r<strong>el</strong>aciones (actividad Nº7). Las tablas de datos son apropiadas <strong>para</strong> <strong>el</strong><br />
reconocimiento de las propiedades de la proporcionalidad (actividades Nº8a),<br />
Nº10, Nº<strong>11</strong>).<br />
En general, <strong>el</strong> alumno r<strong>el</strong>aciona cada forma de representación con determinadas<br />
tareas y procedimientos, por tal motivo, la utilización de diferentes formas<br />
de representación, facilita ciertos aspectos particulares de la conceptualización.<br />
Si <strong>el</strong> alumno es capaz de optar por una forma de representación que le resulte<br />
significativa, se evitará que confunda <strong>el</strong> concepto con la representación. Éste es<br />
un objetivo fundamental en r<strong>el</strong>ación con la construcción d<strong>el</strong> concepto de proporcionalidad.<br />
85
Las posibles dificultades de los alumnos<br />
Ya se planteó en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> docentes, <strong>el</strong> error que, frecuentemente,<br />
cometen algunos alumnos al determinar que dos magnitudes son directamente<br />
proporcionales cuando "a más, más y a menos, menos". Si esto fuera así, todas<br />
las funciones crecientes, representarían una r<strong>el</strong>ación de proporcionalidad<br />
directa: <strong>el</strong> tamaño de los dientes de un ser humano en función de su edad, <strong>el</strong><br />
peso de una persona en r<strong>el</strong>ación con su altura, <strong>el</strong> área d<strong>el</strong> cuadrado en función<br />
de la medida d<strong>el</strong> lado, etc.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 4 <strong>para</strong> alumnos, a continuación de la actividad Nº4, se<br />
presentó la tabla incompleta de evolución d<strong>el</strong> peso d<strong>el</strong> bebé Francisco. Se<br />
destaca la imposibilidad de completarla porque no hay una constante; en<br />
consecuencia, no hay proporcionalidad. También sería oportuno, plantear un<br />
ejemplo como <strong>el</strong> siguiente: Si un bebé crece 3cm por mes durante los primeros<br />
meses de su vida, ¿cuánto crecerá en 10 años?<br />
Desde <strong>el</strong> sentido común, se llega a la conclusión de que ésta es una situación<br />
dis<strong>para</strong>tada, ya que si la r<strong>el</strong>ación entre tiempo (meses) y talla (cm), fuera directamente<br />
proporcional, en 2 meses aumentaría 6cm, en 4 meses 12cm y en 120<br />
meses (10 años), 360cm (más de 3 metros). Es evidente, que si bien aumenta<br />
<strong>el</strong> tiempo y <strong>el</strong> bebé crece (aumenta su talla), las magnitudes tiempo y talla no<br />
son directamente proporcionales.<br />
Sería interesante también que los alumnos propusieran otros ejemplos en los<br />
cuales, si bien aumenta o disminuye una magnitud, y la otra, aumenta o disminuye,<br />
la proporcionalidad no existe.<br />
El trabajo con las tablas -que implica completar datos, buscar la constante de<br />
proporcionalidad, aplicar propiedades de la proporcionalidad- favorece la<br />
conceptualizacion d<strong>el</strong> tema y, es posible, que luego de resolver varias de estas<br />
situaciones, <strong>el</strong> alumno no reitere <strong>el</strong> error.<br />
Es importante que usted realice una adecuada s<strong>el</strong>ección de los problemas de<br />
proporcionalidad <strong>para</strong> plantear a los alumnos, especialmente, los que r<strong>el</strong>acionan<br />
magnitudes inversamente proporcionales. Un ejemplo simple, de fácil<br />
comprensión, es la r<strong>el</strong>ación v<strong>el</strong>ocidad-tiempo (cuando la distancia es<br />
constante). Pero, ¿qué pasa cuando se da como ejemplo de proporcionalidad<br />
inversa la r<strong>el</strong>ación "tiempo <strong>para</strong> finalizar un trabajo-cantidad de obreros"? En<br />
este caso, es necesario aclarar a los alumnos que <strong>el</strong> resultado de esa situación se<br />
debe considerar estimativo, aunque la vía de resolución sea matemáticamente<br />
correcta. En esa r<strong>el</strong>ación (tiempo <strong>para</strong> finalizar un trabajo-cantidad de obreros),<br />
aparece una variable (<strong>el</strong> rendimiento individual), que no es posible considerar<br />
que sea <strong>el</strong> mismo en todos los casos (obreros). A propósito de este tema, se<br />
transcribe un cuento de Conrado Nalé Roxlo que, en una instancia presencial,<br />
podría ser leído y comentado por los alumnos.<br />
Regla de tres<br />
Como todo padre consciente, acostumbro a vigilar los estudios de mis hijos. Lo<br />
hago desde cierta distancia y encerrado en lo que los grandes nov<strong>el</strong>istas llaman un<br />
impenetrable mutismo. Esta actitud mía no responde a exigencias de mi tempera-<br />
86
mento que muy otras son <strong>el</strong>las, sino a que mis hijos me lo pidieron con los ojos llenos<br />
de lágrimas y la libreta de clasificaciones llena de insuficientes; mi esposa con amenazas<br />
de divorcio en México y <strong>el</strong> Juez de menores con un exhorto u otro documento<br />
por <strong>el</strong> estilo.<br />
Confieso que esta situación no me contraría mucho, pues como no salgo de noche<br />
desde que aumentaron los precios de las consumiciones en los cafés, ayudar a mis<br />
hijitos a hacer sus deberes era <strong>para</strong> mí no sólo ocasión de grato esparcimiento, sino<br />
también un saludable ejercicio mental. Pero no quiero culpar a nadie: mis hijos<br />
están influenciados por los malos sistemas pedagógicos en vigencia. Mi esposa por <strong>el</strong><br />
cinematógrafo, donde se demuestra que los matrimonios no empiezan a llevarse bien<br />
hasta después d<strong>el</strong> divorcio, y <strong>el</strong> juez debía estar influenciado por los códigos y latines<br />
d<strong>el</strong> ramo.<br />
Las cosas ocurrieron así.<br />
En los tiempos en que gozaba de libertad y podía ofrecer a los áng<strong>el</strong>es que sin duda<br />
nos contemplaban enternecidos, <strong>el</strong> cuadro de una cabeza regada ya por venerables<br />
hebras de plata junto a dos cabecitas castañas y rizadas, que a la luz de la lám<strong>para</strong><br />
y de la int<strong>el</strong>igencia buscaban la solución d<strong>el</strong> mismo problema, se presentó éste: Si<br />
un albañil, trabajando seis horas, levanta una metro de pared, ¿cuántos metros<br />
levantarán tres albañiles en <strong>el</strong> mismo tiempo?<br />
- ¡Tres metros! -gritó uno de mis hijos.<br />
El otro se quedó chupando <strong>el</strong> lápiz a ver qué decía yo. Yo dije:<br />
- Eso es una perogrullada, Ponceanito.<br />
- ¿Cómo? -inquirió mi mujer, que siempre está ojo avizor y oído alerta.<br />
- Naturalmente, querida. Es absurdo suponer que <strong>el</strong> Estado gasta tantos millones<br />
en la instrucción pública, que <strong>el</strong> magisterio es considerado como un<br />
sacerdocio, que Domingo Faustino Sarmiento iba a la escu<strong>el</strong>a en los días de<br />
lluvia, que yo mismo trabajo horas extras <strong>para</strong> comprar libros y guardapolvos, que<br />
tú te desv<strong>el</strong>as planchándolos y que estos áng<strong>el</strong>es, en lugar de correr y brincar por<br />
la plaza, pasen toda la mañana amarrados al duro banco escolar <strong>para</strong> que se les<br />
pregunte semejante pavada que todo <strong>el</strong> mundo sabe. ¡No vamos a caer en la<br />
tontería de responder de qué color era <strong>el</strong> caballo blanco de Napoleón!... Quizás la<br />
respuesta de Ponceanito estuviera bien en los tiempos d<strong>el</strong> rey que rabió, pero hoy<br />
en día es necesario ahondar más, sutilizar más... No olvides que vivimos en los<br />
tiempos de Freud y de Einstein, ¡qué diablos!<br />
- A ver cómo lo resolverías tú -dijo mi mujer poniéndose de codos en la mesa<br />
y fijando en mí la mirada de las cuentas de fin de mes.<br />
- Razonemos. Un albañil que trabaja solo, en un lugar desagradable como es<br />
una casa en construcción, pronto es invadido por la tristeza; <strong>el</strong> desaliento de<br />
pensar que tiene tanto trabajo <strong>para</strong> él solo por d<strong>el</strong>ante, lo vence. Su mano cae<br />
floja y sin vigor; se enturbian sus ojos por los recuerdos d<strong>el</strong> pasado que asaltan al<br />
hombre que está solo. Es presumible que interrumpa su trabajo con frecuencia<br />
<strong>para</strong> secarse una lágrima con <strong>el</strong> dorso de la mano y suspirar. Quizá <strong>el</strong> crup le<br />
arrebató un hijo; quizá un golpe de mar a su tierna esposa, allá, en la b<strong>el</strong>la<br />
Italia... ¡Pero no lloren, que es un suponer!... Bien, en esas condiciones <strong>el</strong> trabajo<br />
es malo y poco. Pero imaginemos a tres albañiles jóvenes, robustos, llenos de<br />
optimismo y de fundadas esperanzas de hacer la América. Se alientan con alegres<br />
87
canciones en que exaltan la dicha d<strong>el</strong> trabajo honesto; se estimulan mutuamente<br />
con gritos de ¡forza!, si son italianos; ¡duro y a la cabeza!, si son españoles; ¡hurra!,<br />
si pertenecen a la rubia Albión. En este último caso lo más seguro es que cambien<br />
apuestas a quién hace más pared. Además se pueden prestar ayuda alcanzándose<br />
<strong>el</strong> balde, prestándose argamasa, dándose la mano gentilmente <strong>para</strong> subir al<br />
andamio. Tontos serían si no aprovecharan condiciones tan favorables <strong>para</strong><br />
hacerse, por lo menos, dos metros de pared cada uno y aún les sobraría tiempo<br />
<strong>para</strong> jugar un partido de bochas.<br />
Aqu<strong>el</strong>la noche vencieron la <strong>el</strong>ocuencia y <strong>el</strong> buen sentido y mi hijo escribió: Si un<br />
albañil hace un metro de pared por día llorando, tres albañiles harán seis metros<br />
cantando y jugando a las bochas.<br />
Por poco tiempo pude ayudar a mis hijos de esa manera, pues intervino la incomprensión<br />
de la directora, que arrastró a todos en su caída hacia la vulgaridad d<strong>el</strong><br />
mundo que cree más en la potencia de los números que en la d<strong>el</strong> alma.<br />
Comprenderá ahora, por qué, cuando se plantean problemas de proporcionalidad<br />
referidos al rendimiento humano, al rendimiento de cosechas, etc. es<br />
necesario explicitar que dichos rendimientos se mantienen constantes.<br />
Cuando se s<strong>el</strong>eccionan problemas de regla de tres simple directa, habrá que<br />
tener en cuenta los que r<strong>el</strong>acionan artículos-precios, ya que esta r<strong>el</strong>ación,<br />
aparentemente de proporcionalidad directa, se desvirtúa en <strong>el</strong> caso de las<br />
ofertas. Es común ver estos cart<strong>el</strong>es en las verdulerías y fruterías:<br />
Uva 1kg $ 1 Papas 1kg $ 0,60<br />
¡Oferta! 2kg $ 1,50 ¡Oferta! 5kg $ 2,50<br />
Es conveniente comentar estos ejemplos con los alumnos, lo que permitirá,<br />
en las instancias presenciales, discutir <strong>el</strong> tema proporcionalidad desde las dudas<br />
y los errores.<br />
Porcentaje<br />
El tratamiento de este tema, se realiza teniendo en cuenta un propósito d<strong>el</strong><br />
aprendizaje de la matemática: construir los conocimientos matemáticos aplicándolos<br />
a situaciones de la vida diaria. Por esa razón, se trabajó <strong>el</strong> tema porcentaje<br />
en diferentes situaciones, que procuran integrar conocimientos de otras<br />
áreas d<strong>el</strong> diseño curricular: Ciencias y Tecnología, Ciencias Sociales y Formación<br />
<strong>para</strong> <strong>el</strong> Trabajo.<br />
Las actividades Nº17, Nº18 y Nº19, tienen por finalidad, la comprensión d<strong>el</strong><br />
concepto de porcentaje, y de las representaciones estadísticas (diagramas de<br />
barras y de torta). Si algunos alumnos tienen dificultades <strong>para</strong> la comprensión<br />
de estos conceptos, se sugiere plantear actividades de este tipo:<br />
6 partidos jugados, 50% ganados. ¿Cuántos partidos se ganaron?<br />
100 palabras dictadas, 97 bien escritas. ¿Cuál es <strong>el</strong> porcentaje de palabras<br />
escritas correctamente?<br />
88
8 partidos de fútbol, 4 ganados. ¿Cuál es <strong>el</strong> porcentaje de partidos ganados?<br />
30 obreros en total, se despidió al 100%. ¿A cuántos obreros se despidió?<br />
O bien trabajar con una representación gráfica de este tipo, <strong>para</strong> r<strong>el</strong>acionar<br />
porcentaje, fracción y expresión decimal.<br />
Parc<strong>el</strong>a sembrada con soja<br />
1 d<strong>el</strong> campo sembrado de soja<br />
4<br />
0,25 d<strong>el</strong> campo sembrado de soja<br />
25<br />
d<strong>el</strong> campo sembrado de soja<br />
100<br />
25% d<strong>el</strong> campo sembrado de soja<br />
La proporción entre <strong>el</strong> sembrado de soja y <strong>el</strong><br />
total d<strong>el</strong> campo es de 25 a 100.<br />
Si bien se presentó <strong>el</strong> tema porcentaje como un caso especial de proporcionalidad<br />
y, en consecuencia, la propuesta de resolución es por proporción<br />
porque se la considera la más económica y adecuada <strong>para</strong> <strong>el</strong> aprendizaje de los<br />
adultos, recuerde que es fundamental respetar la <strong>el</strong>ección d<strong>el</strong> alumno en cuanto<br />
a los procedimientos de resolución. Con respecto al tema porcentaje, pueden<br />
surgir estrategias de resolución intuitivas. Por ejemplo, <strong>para</strong> calcular 10% de<br />
$500, generalmente se resu<strong>el</strong>ve dividiendo 500 por 10 (50) o, lo que es igual,<br />
quitándole 1 cero a 500. Aquí su intervención es importante <strong>para</strong> valorar estas<br />
estrategias que facilitan <strong>el</strong> cálculo rápido con la subsiguiente economía de<br />
tiempo y esfuerzo, y <strong>para</strong> posibilitar que <strong>el</strong> alumno pueda descubrir que esa<br />
simple división proviene de haber simplificado la expresión que resulta de:<br />
10 x x 10 x 500<br />
Multiplicar por 10 y dividir<br />
= =<br />
luego por 100 es lo mismo<br />
100 500 100<br />
que dividir por 10<br />
En la actividad Nº22, se propone una situación en la que la incógnita es <strong>el</strong><br />
tanto por ciento. Hasta ese momento, sólo se había trabajado <strong>el</strong> tanto por ciento<br />
como dato d<strong>el</strong> cual partir. Al tratar <strong>el</strong> tema proporcionalidad, se recomendó<br />
que en <strong>el</strong> procedimiento de resolución por proporciones, se trabajara colocando<br />
la x (incógnita) en cualquiera de los medios o extremos (en la forma correcta).<br />
Se tendrán en cuenta estas dos soluciones, ambas correctas.<br />
a) 95 = 100 b) 20 = x<br />
20 x 95 100<br />
Que es conveniente verbalizar así:<br />
a) Sobre 95 millones de personas, murieron 20 millones, sobre un total de 100<br />
personas las muertas serán x:<br />
89
) Si murieron 20 millones de personas sobre un total de 95 millones, habrán<br />
muerto x sobre un total de 100.<br />
Si fuera necesario usted podría proponer actividades que figuran en <strong>el</strong> Anexo I<br />
u otras que considere conveniente.<br />
En las actividades Nº23 y Nº24, se integran los contenidos d<strong>el</strong> eje Estadística<br />
con <strong>el</strong> tratamiento d<strong>el</strong> porcentaje. Se han s<strong>el</strong>eccionado informaciones aparecidas<br />
en diarios y revistas, representadas mediante gráficos de barras y de torta.<br />
Sería oportuno trabajar grupalmente estas actividades, solicitando a los alumnos<br />
que antes de poner en práctica procedimientos de resolución, estimen <strong>el</strong><br />
resultado. La misma sugerencia vale <strong>para</strong> la actividad Nº25.<br />
Multiplicación y división de expresiones decimales<br />
En la actividad Nº27, d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos se presentan situaciones<br />
problemáticas simples en las que se requiere multiplicar expresiones decimales.<br />
Se solicita al alumno que estime o calcule, aproximadamente <strong>el</strong> resultado. El<br />
propósito es que <strong>el</strong>ija uno entre los dos factores (1,25 ó 2,90), aqu<strong>el</strong> que más<br />
convenga y lo aproxime al número natural que se presente más cercano. Si<br />
$2,90 lo convierte en $ 3, le resultará fácil calcular, aproximadamente <strong>el</strong> resultado.<br />
Posteriormente, se le solicita que averigüe <strong>el</strong> resultado exacto, <strong>para</strong> lo cual<br />
debe resolver la operación. Al resolver este tipo de operaciones, es frecuente<br />
olvidarse de colocar la coma decimal en <strong>el</strong> producto total, o colocarla mal. Por<br />
tal motivo, se propone, en un primer momento, la estimación en r<strong>el</strong>ación con<br />
un problema. Es poco probable que <strong>el</strong> alumno estime que 1,25m de t<strong>el</strong>a a<br />
$2,90 <strong>el</strong> metro, cueste, aproximadamente, $ 30.000. En cambio, cuando <strong>el</strong><br />
alumno sólo se centra en la operación, este error es frecuente, y, al olvidarse de<br />
la coma decimal dé como resultado exacto: $ 36.250.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos, se trabajaron los algoritmos de la multiplicación<br />
y de la división por dos cifras. En estos casos, sólo se atendió a la<br />
ubicación de la coma decimal. En <strong>el</strong> caso de la división se plantea la necesidad<br />
de convertir <strong>el</strong> divisor en número natural, y se resu<strong>el</strong>ve aplicando la multiplicación<br />
por la unidad seguida de ceros trabajada en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos.<br />
En este caso se aplica una propiedad de la división: "si se multiplican o<br />
dividen dividendo y divisor por un mismo número, <strong>el</strong> cociente no se altera".<br />
Las actividades Nº30 y Nº31, requieren que <strong>el</strong> alumno estime, resu<strong>el</strong>va con<br />
exactitud y, finalmente, verifique <strong>el</strong> resultado con la calculadora.<br />
Medidas de capacidad y de peso<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos, a partir de una serie de actividades, se llega al<br />
concepto de medir y a la necesidad de utilizar unidades convencionales de<br />
medición.<br />
En <strong>el</strong> Módulo 4, a partir de una situación cotidiana, conocida por todos, que<br />
se r<strong>el</strong>aciona con la prevención d<strong>el</strong> cólera, se introduce la unidad de las medidas<br />
de capacidad: <strong>el</strong> litro, las medidas mayores (múltiplos) y las menores (submúltiplos).<br />
Se trabaja de una manera similar <strong>para</strong> plantear las medidas de peso.<br />
90
Al respecto es conveniente aclarar que:<br />
Desde <strong>el</strong> punto de vista físico, masa y peso son magnitudes diferentes. La masa es<br />
una magnitud escalar (<strong>para</strong> expresarla basta un número), mientras que <strong>el</strong> peso es<br />
una fuerza con que la Tierra atrae a un objeto, y por tanto una magnitud vectorial<br />
en la que no basta con dar un número, hay que indicar además una dirección y un<br />
sentido. Así, objetos de la misma masa tienen un peso diferente en la Luna; sin<br />
embargo en un mismo lugar de la Tierra la atracción de ésta depende sólo de la<br />
masa de los objetos. Dicho de otro modo, objetos de igual masa situados en un<br />
mismo lugar de la Tierra tienen <strong>el</strong> mismo peso.<br />
La afirmación anterior permite sin cometer abuso o error tratar en los niv<strong>el</strong>es<br />
<strong>el</strong>ementales la masa-peso de forma indistinguible, pues no parece posible desde <strong>el</strong><br />
punto de vista didáctico hacer la se<strong>para</strong>ción, ya que los alumnos encontrarían<br />
dificultades <strong>para</strong> diferenciar ambas magnitudes. El lugar más adecuado <strong>para</strong> hacer<br />
esta distinción debe ser <strong>el</strong> Ciclo Superior de la EGB, cuando comienzan las<br />
primeras nociones de física. 1<br />
El tratamiento de las medidas, no tiene como propósito que los alumnos<br />
expresen una cantidad en diferentes unidades de medida (lo que habitualmente<br />
se llama reducir a...), sino que pueda discriminar qué cosas medir con <strong>el</strong> l, <strong>el</strong><br />
cl, <strong>el</strong> kg, <strong>el</strong> g o la t. Con este fin se plantean también las actividades Nº32a) y<br />
Nº33a).<br />
El concepto medida, facilita la integración de otros contenidos. Se plantean<br />
situaciones en las que <strong>el</strong> alumno aplicará nociones de división (actividad Nº32b),<br />
promedio (actividad Nº32c), proporcionalidad (actividad Nº33b).<br />
También pueden plantearse situaciones que sólo requieran d<strong>el</strong> pensamiento<br />
lógico y de la estrategia personal. Tal <strong>el</strong> caso de las actividades Nº32d) y Nº34.<br />
Una puesta en común de las soluciones a este problema, permitirá <strong>el</strong> intercambio,<br />
la discusión y la confrontación. Proponer a los alumnos ayudarse con gráficos,<br />
contribuirá a facilitar la resolución. En la instancia presencial, recuerde la<br />
utilidad de la explicitación oral de las estrategias personales utilizadas.<br />
Geometría<br />
Medición de ángulos<br />
Se sugiere destacar la semejanza entre la medición de ángulos y la medición<br />
de segmentos. Para medir ángulos, también pueden utilizarse unidades no<br />
convencionales (ángulo "patrón") como se hizo en la medición de longitudes.<br />
Sin embargo, es importante que <strong>el</strong> alumno llegue a considerar necesaria la<br />
utilización de unidades convencionales. Por otra <strong>parte</strong> la com<strong>para</strong>ción entre ángulos,<br />
exige mayores consideraciones que entre segmentos, pues es imprescindible<br />
hacer coincidir los vértices y uno de los lados. Si esto está aprendido por<br />
los alumnos, la adquisición de la habilidad <strong>para</strong> <strong>el</strong> uso d<strong>el</strong> transportador, no<br />
debe ser motivo de preocupación ni <strong>para</strong> usted ni <strong>para</strong> <strong>el</strong>los. Lo importante es<br />
que los adultos reconozcan qué unidades se utilizan <strong>para</strong> medir ángulos, que<br />
comprenda cómo se los miden y qué instrumento se utiliza <strong>para</strong> tal fin.<br />
1 Chamorro, C. y B<strong>el</strong>monte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales.<br />
Madrid, Síntesis, 1991, pág. 82.<br />
91
EVALUACIÓN<br />
Las siguientes actividades de evaluación podrán ser modificadas si usted lo<br />
cree conveniente, teniendo en cuenta <strong>el</strong> proceso de aprendizaje de los alumnos,<br />
las estrategias que emplean <strong>para</strong> resolver situaciones y las dificultades que presentaron.<br />
La Sociedad de Fomento de Villa Real organizó un festival con motivo de<br />
cumplirse <strong>el</strong> 50 aniversario de su fundación<br />
De los 2.000 vecinos que habitan la Villa asistieron 800.<br />
a) ¿Qué porcentaje de vecinos asistió al festival?<br />
Se recaudó la suma de $ 6.000 <strong>para</strong> repartir entre los ganadores de las<br />
competencias deportivas. Éstos no serían más de 6. Podría ser un solo ganador,<br />
ó 2 ó... Para calcular qué cantidad de dinero le correspondería a cada uno, se<br />
confeccionó una tabla.<br />
b) Complete la tabla<br />
Cantidad de Cantidad de $<br />
ganadores <strong>para</strong> cada uno<br />
1 6.000<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
c) Coloque una x en la respuesta correcta<br />
En la tabla anterior:<br />
a) Hay proporcionalidad directa.<br />
b) No hay proporcionalidad.<br />
c) Hay proporcionalidad inversa.<br />
92
Fue <strong>el</strong>egida por votación de los presentes, la Reina de Villa Real entre 6<br />
jóvenes postulantes. Votaron 600 personas y <strong>el</strong> resultado obtenido, traducido<br />
en porcentajes fue <strong>el</strong> siguiente:<br />
Participante % de votos<br />
Mónica 30<br />
Victoria 15<br />
María Elena 20<br />
Jimena 10<br />
Verónica<br />
d) ¿Cuál fue <strong>el</strong> porcentaje de votos <strong>para</strong> Verónica?<br />
e) D<strong>el</strong> total de votantes ¿cuántos votaron a Mónica? ¿A Victoria? ¿A Jimena?<br />
Se resolvió entregar un banderín de tafeta, a los ganadores de las competencias<br />
deportivas, además d<strong>el</strong> premio en dinero. El diseño d<strong>el</strong> banderín es <strong>el</strong> siguiente:<br />
Escala : 10cm : 1cm<br />
10 cm 10 cm<br />
f) ¿Cuántos cm 2 de paño se utilizaron <strong>para</strong> confeccionar los 6 banderines?<br />
g) Si la tafeta tiene 1m de ancho, ¿alcanza 1m de tafeta <strong>para</strong> hacer los 6 banderines?<br />
¿Por qué?<br />
93<br />
35 cm
Anexo I: Problemas<br />
El propósito de este Anexo es ofrecer una variedad de problemas, de acuerdo<br />
con las dificultades y logros de cada uno de los alumnos, <strong>para</strong> que usted pueda<br />
<strong>el</strong>egir la secuencia apropiada.<br />
Los problemas están agrupados en dos temas: proporcionalidad y porcentaje,<br />
aunque muchos de <strong>el</strong>los integran otros contenidos como medidas de capacidad<br />
y peso, división y multiplicación de expresiones decimales y estadística.<br />
Proporcionalidad<br />
1) Un motor consume 20 litros de combustible en 4 horas. Completar la tabla<br />
que r<strong>el</strong>aciona tiempo de marcha d<strong>el</strong> motor con cantidad de combustible que<br />
utiliza, suponiendo que <strong>el</strong> gasto de combustible por hora es siempre <strong>el</strong><br />
mismo.<br />
Tiempo de funcionamiento Combustible que consume<br />
horas litros<br />
2<br />
4 20<br />
8<br />
10<br />
100<br />
120<br />
2) Estas listas corresponden al precio d<strong>el</strong> café de la misma marca que se vende<br />
sólo por kilo en cantidades enteras. Complete la columna "precio por kilo"<br />
Lista "A"<br />
Kilos Precio de venta Precio por kilo<br />
2 $ <strong>11</strong>,60 $<br />
4 $ 23,20 $<br />
5 $ 29 $<br />
8 $ 46,40 $<br />
10 $ 58 $<br />
Lista "B"<br />
Kilos Precio de venta Precio por kilo<br />
1 $ 6,20 $<br />
4 $ 22,80 $<br />
5 $ 27,50 $<br />
8 $ 47 $<br />
10 $ 58 $<br />
94
En una de estas dos listas, A y B las cantidades son proporcionales. ¿En cuál?<br />
Represente gráficamente en un sistema de ejes cartesianos, la tabla en la que<br />
hay proporcionalidad.<br />
3) El diagrama siguiente representa <strong>parte</strong> de una red de caminos.<br />
Escala 20km : 1cm<br />
A<br />
22 km<br />
34 km<br />
B<br />
D<br />
<strong>11</strong>0 km<br />
1<br />
¿Hay proporcionalidad entre los tramos de las rutas 1 y 2? ¿Por qué?<br />
4) Un camión que recorre la ruta 2, cubre <strong>el</strong> tramo Chascomús-Dolores de<br />
88km, en <strong>11</strong>0 minutos. ¿Cuántos minutos tardará en recorrer los 64km que<br />
se<strong>para</strong>n Dolores de Maipú, suponiendo que la v<strong>el</strong>ocidad es constante?<br />
95<br />
170 km<br />
2<br />
C<br />
E
5) El trabajo de una planta industrial requiere un consumo de 12.000kg de<br />
combustible cada 32 horas. ¿Cuántas ton<strong>el</strong>adas se consumen en 24 horas de<br />
funcionamiento?<br />
6) 5 fotocopiadoras iguales, imprimen 2 resmas de pap<strong>el</strong> en 20 minutos. ¿En<br />
qué tiempo imprimirán 10 de esas máquinas la misma cantidad de pap<strong>el</strong>?<br />
Porcentaje<br />
7) El gráfico representa una pared.<br />
a) ¿Qué fracción de la pared está hecha?<br />
b) ¿Qué porcentaje de la pared falta hacer?<br />
;;;;;<br />
;;;;;<br />
;;;;;<br />
;;;;;<br />
8) El 44% de una población de 725 habitantes son adultos. ¿Cuántos adultos<br />
hay?<br />
9) El 90% de la sangre d<strong>el</strong> ser humano es agua. Un adulto tiene 5 litros de<br />
sangre en su cuerpo. ¿Cuánta agua contiene?<br />
Un niño tiene 2,50 litros de sangre. ¿Cuánta agua contiene?<br />
96
10) El gráfico siguiente indica los porcentajes de gastos de la familia Quiroga.<br />
60%<br />
Otros gastos<br />
;;Alimentación<br />
Transporte<br />
;;<br />
Vivienda 15%<br />
20%<br />
a) ¿Qué porcentaje corresponde a otros gastos?<br />
b) ¿Si la familia tiene un ingreso de $600. Indique cuántos $ destina <strong>para</strong>:<br />
vivienda $<br />
alimentación $<br />
transporte $<br />
otros gastos $<br />
<strong>11</strong>) Complete la tabla:<br />
Precio Descuento Importe Precio de<br />
descontar venta<br />
$ 10 25% $ 2,50 $ 7,50<br />
$ 5 10% $ 0,50 $<br />
$ 8 20% $ $<br />
$ 12 15% $ $<br />
$ 16 30% $ $<br />
$ 50 $ 20 $<br />
$ 50% $ $ 50<br />
12) Juan dijo: trabajé 10 meses d<strong>el</strong> año. ¿Qué porcentaje d<strong>el</strong> año trabajó Juan?<br />
97
BIBLIOGRAFÍA<br />
Sobre aspectos didácticos<br />
Cast<strong>el</strong>nuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.<br />
Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.<br />
Sobre contenidos<br />
Cardi<strong>el</strong>lo, N.: Elementos de física y química. 3˚ año. Buenos Aires, Kap<strong>el</strong>usz,<br />
1970, cap. 6.<br />
Chamorro, C. y B<strong>el</strong>monte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las<br />
magnitudes lineales. Madrid, Síntesis, 1991.<br />
Depau, C., Ton<strong>el</strong>li, L, y Cavalchino, A.: Elementos de física y química. 1˚ año.<br />
Buenos Aires, Plus Ultra, 1979, cap. 7.<br />
Magnetti, R. C.: Fisico-química. 1˚ año. Buenos Aires, Huemul, 1979, cap. 4.<br />
Sadovsky, P. y otros: La proporcionalidad. Buenos Aires, Flacso, 1992.<br />
99
MÓDULO 5<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
ÍNDICE<br />
Introducción 105<br />
Contenidos y actividades 106<br />
Superficie de las figuras 107<br />
Volumen de los cuerpos <strong>11</strong>0<br />
El volumen d<strong>el</strong> cilindro <strong>11</strong>3<br />
Operaciones <strong>11</strong>4<br />
Potenciación <strong>11</strong>4<br />
Radicación <strong>11</strong>5<br />
Uso de paréntesis <strong>11</strong>6<br />
La circunferencia y <strong>el</strong> círculo <strong>11</strong>7<br />
Números negativos <strong>11</strong>7<br />
Evaluación <strong>11</strong>9<br />
Bibliografía 121
INTRODUCCIÓN<br />
En este módulo, se profundizan los conceptos tratados en <strong>el</strong> Módulo 5 <strong>para</strong><br />
alumnos. Asimismo, se proponen algunas actividades y estrategias que complementan<br />
las planteadas en <strong>el</strong> citado módulo. Se hace referencia, además, a errores<br />
que se observan con mayor frecuencia en los adultos.<br />
La utilización de material concreto, siempre es aconsejable porque facilita <strong>el</strong><br />
aprendizaje. Por eso, en este módulo encontrará algunas sugerencias sobre<br />
material concreto <strong>para</strong> agregar al tratamiento de algunos temas abordados en <strong>el</strong><br />
Módulo 5 <strong>para</strong> alumnos.<br />
En general, las actividades <strong>para</strong> desarrollar los contenidos d<strong>el</strong> módulo, tienden<br />
tanto a lo conceptual como a lo procedimental. A modo de ejemplo: si <strong>el</strong><br />
contenido es potenciación, son conceptos: potencia, exponente y base y son<br />
procedimientos, <strong>el</strong> reconocimiento de la base y <strong>el</strong> exponente, cálculos de 2 da , 3 ra ,<br />
4 ta ... potencia. En la com<strong>para</strong>ción de los volúmenes de dos cuerpos y la se<strong>para</strong>ción<br />
en términos en un cálculo con varias operaciones, se priorizan contenidos<br />
procedimentales. Ocurre lo contrario con las unidades de volumen, la fórmula<br />
<strong>para</strong> calcular <strong>el</strong> volumen d<strong>el</strong> cilindro, la potenciación, la diferencia entre circunferencia<br />
y círculo y los números negativos, donde <strong>el</strong> énfasis está puesto en<br />
los contenidos conceptuales.<br />
La incorporación de los números negativos, se fundamenta en la necesidad de<br />
su utilización en situaciones tales como <strong>el</strong> ordenamiento de fechas, temperaturas<br />
y otras donde, sólo utilizando números negativos, es posible representar<br />
sus cantidades.<br />
Los objetivos d<strong>el</strong> Módulo 5 proponen que <strong>el</strong> alumno:<br />
◆ Comprenda la r<strong>el</strong>ación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro<br />
(<strong>el</strong> número π).<br />
◆ Comprenda y utilice, según <strong>el</strong> problema, las fórmulas <strong>para</strong> calcular la longitud<br />
de una circunferencia y la superficie de un círculo.<br />
◆ Compare <strong>el</strong> volumen de diferentes cuerpos.<br />
◆ Utilice e interprete <strong>el</strong> uso de paréntesis, tanto <strong>para</strong> resolver un cálculo dado, como<br />
en la lectura de un problema cuya comprensión y resolución requiere <strong>el</strong> uso de<br />
paréntesis.<br />
◆ Escriba y lea números de muchas cifras en su expresión científica.<br />
◆ Comprenda y utilice las fórmulas <strong>para</strong> <strong>el</strong> cálculo de superficies de los<br />
cuadriláteros.<br />
◆ Comprenda la necesidad de la existencia de los números negativos.<br />
105
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES<br />
A continuación, se presenta <strong>el</strong> esquema de contenidos d<strong>el</strong> Módulo 5 <strong>para</strong><br />
alumnos:<br />
Número Operaciones Medida Geometría<br />
Números<br />
negativos<br />
El volumen<br />
Potenciación de los Circunferencia<br />
cuerpos y<br />
círculo<br />
Uso de paréntesis<br />
Situaciones problemáticas<br />
Longitud de<br />
la circunferencia<br />
El volumen d<strong>el</strong> Superficie<br />
cilindro d<strong>el</strong> círculo<br />
Respecto de la potenciación, se presenta con su definición general, pero <strong>el</strong><br />
énfasis se pone en los cuadrados, los cubos y las potencias de base diez, ya que<br />
son las más útiles a los alumnos <strong>para</strong> la resolución de situaciones problemáticas,<br />
o <strong>para</strong> escribir de un modo abreviado (notación científica) números de muchas<br />
cifras.<br />
En la radicación, se trata sólo la raíz cuadrada pues, difícilmente, los alumnos<br />
deban operar con una raíz de mayor índice. El niv<strong>el</strong> de complejidad que tiene<br />
esta operación hace que se tome, principalmente, en su aspecto de operación<br />
inversa de la potenciación de números naturales. A modo de ejemplos pueden<br />
presentarse:<br />
¿Cuál es <strong>el</strong> lado de un cuadrado cuya superficie es 36m 2 ?<br />
En este ejemplo <strong>el</strong> alumno puede observar que no se trata de una división sino<br />
de una nueva operación, la radicación (en este caso de índice 2), cuya expresión<br />
matemática es: sup. d<strong>el</strong> cuadrado = l 2 *.<br />
36 m 2 =l 2 *<br />
√ 36 m 2 =l*<br />
6m =l*<br />
* Superficie d<strong>el</strong> cuadrado: lado, l 2 . Se sugiere escribir con manuscrita <strong>para</strong> que no se<br />
confunda con 1.<br />
106
De forma similar puede pensarse en la raíz cúbica:<br />
¿Qué altura tiene un cubo cuyo volumen es de 8 m 3 ?<br />
Vol. d<strong>el</strong> cubo = a 3<br />
3<br />
8 m 3 = a 3<br />
√ 8 m 3 = a<br />
2 m = a<br />
Si bien la radicación se extiende hasta <strong>el</strong> índice n, se estima conveniente<br />
utilizar sólo <strong>el</strong> índice 2 y <strong>el</strong> índice 3 porque teniendo en cuenta la estimación<br />
se pueden r<strong>el</strong>acionar: lado y superficie d<strong>el</strong> cuadrado, arista y volumen de un<br />
cubo. Aquí nuevamente se cree conveniente <strong>el</strong> uso de la calculadora como<br />
herramienta de trabajo habitual. En algunas aparece la tecla "√ " <strong>para</strong> calcular<br />
la raíz cuadrada.<br />
Hay diferentes mod<strong>el</strong>os de calculadoras científicas, pero en todas <strong>el</strong>las existe<br />
la posibilidad de calcular raíces de cualquier índice o potencias de cualquier<br />
exponente.<br />
Se explica brevemente cómo se utiliza esta función en las calculadoras. La<br />
tecla que corresponde a potenciación tiene la inscripción x y y la que corresponde<br />
a radicación x1/y o x- y ; en general la radicación es la segunda función de<br />
la misma tecla. Para calcular una potencia, por ejemplo 35 , es suficiente con<br />
oprimir 3, luego la tecla x y y por último 5, al apretar <strong>el</strong> = en <strong>el</strong> visor aparecerá<br />
<strong>el</strong> resultado, 243 (en algunas calculadoras no es necesario apretar <strong>el</strong> =).<br />
4<br />
Para calcular raíces <strong>el</strong> procedimiento es muy parecido, por ejemplo √286.<br />
Primero se escribe 286, luego se oprime la tecla x 1/y , después 4 y por último =;<br />
en <strong>el</strong> visor se lee <strong>el</strong> resultado 4,<strong>11</strong>23...(la cantidad de cifras decimales depende de<br />
la calculadora); en muy pocos mod<strong>el</strong>os, ante resultados de muchas cifras, aparece<br />
en <strong>el</strong> visor la leyenda "error"; la mayoría lo expresa en notación científica.<br />
Superficie de las figuras<br />
Antes de comenzar a desarrollar las actividades que tratan sobre algunas de las<br />
propiedades de los cuadriláteros, usted puede recomendar a los alumnos que<br />
consulten <strong>el</strong> Módulo 2, en lo referido a los conceptos tales como posiciones de<br />
dos rectas (<strong>para</strong>l<strong>el</strong>as, perpendiculares, oblicuas), y clases de ángulos (agudos,<br />
obtusos, rectos, llanos). Esta revisión será de gran utilidad <strong>para</strong> poder resolver<br />
las actividades propuestas 1 .<br />
1 Es común encontrar en algunos textos de matemática que los puntos están designados con<br />
letras minúsculas y las rectas o conjuntos de puntos con letras mayúsculas. En otros en<br />
cambio, están exactamente al revés.<br />
¿En cuál de los dos casos está mal?.. En ninguno. Las dos formas son correctas, según la<br />
convención que se adopte.<br />
En las décadas de 1960 y 1970, con <strong>el</strong> auge de la teoría de conjuntos, algunos autores<br />
comenzaron a utilizar letras de imprenta mayúsculas <strong>para</strong> las rectas y minúsculas <strong>para</strong> los<br />
puntos. Cambiaron la denominación tradicional por ésta, porque la teoría de conjuntos<br />
considera “<strong>el</strong>ementos” a los puntos de la recta, y por convención establece que los <strong>el</strong>ementos<br />
se designan con minúsculas y los conjuntos con mayúsculas.<br />
107
En las instancias presenciales, se sugiere trabajar con <strong>el</strong> geoplano <strong>para</strong> obtener<br />
sin dificultad y con rapidez toda clase de polígonos.<br />
Para construir <strong>el</strong> geoplano se necesita una madera cuadrada de 30 cm por<br />
30cm y algunos clavos y banditas <strong>el</strong>ásticas (si son de color, mejor).<br />
Sobre la madera (de 30 cm por 30 cm) se marcan 36 cuadrados de 5cm de<br />
lado a los que se les traza las diagonales. En <strong>el</strong> punto de intersección de las<br />
diagonales de cada cuadrado, se ubica un clavo, si es posible, con cabeza de<br />
bronce. Utilizando banditas <strong>el</strong>ásticas, apoyándolas en los clavos se pueden construir<br />
triángulos, cuadriláteros y polígonos en general.<br />
Cuando usted advierta dificultad en los alumnos <strong>para</strong> la construcción de<br />
polígonos (especialmente los cuadriláteros que son los que más se trabajan), se<br />
recomienda este recurso <strong>para</strong> ahorrar tiempo ya que la obtención de los<br />
polígonos no ofrece dificultad, si <strong>el</strong> geoplano está bien construido. Además una<br />
vez obtenido <strong>el</strong> polígono, y siempre utilizando las banditas, pueden ubicarse<br />
diagonales y alturas. Esto permite comprobar propiedades y realizar transformaciones<br />
rápidamente.<br />
5 cm<br />
5 cm<br />
30 cm<br />
Partiendo de los conceptos trabajados en <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos sobre la<br />
superficie d<strong>el</strong> rectángulo y d<strong>el</strong> cuadrado y la característica de los cuadriláteros,<br />
se va guiando al alumno <strong>para</strong> que arribe a la obtención de las fórmulas <strong>para</strong><br />
calcular la superficie de los triángulos, <strong>para</strong>l<strong>el</strong>ogramos y rombos. El propósito<br />
es que la resolución de situaciones que impliquen la aplicación de fórmulas<br />
<strong>para</strong> calcular superficies de polígonos, no dependa de la memoria de los alumnos,<br />
por eso, se recomienda trabajar <strong>el</strong> concepto de superficie con material<br />
concreto y representativo.<br />
Se sugieren actividades que incluyen los contenidos: perímetro (Módulo 3),<br />
proporcionalidad (Módulo 4) y superficie (Módulo 5)<br />
108<br />
30 cm
1) Complete esta tabla teniendo en cuenta que los datos corresponden a un<br />
cuadrado.<br />
Lado<br />
2cm<br />
3cm<br />
4cm<br />
5cm<br />
10cm<br />
Perímetro Superficie<br />
¿El perímetro d<strong>el</strong> cuadrado es proporcional al lado?<br />
¿Por qué?<br />
¿La superficie d<strong>el</strong> cuadrado es proporcional al lado?<br />
¿Por qué?<br />
2) Complete en la tabla las medidas de las bases y de las alturas posibles <strong>para</strong><br />
diferentes rectángulos de 32m 2 de superficie.<br />
Base Altura Superficie<br />
8 cm cm 32 cm2 cm 8 cm 32 cm2 cm 2 cm 32 cm2 2 cm cm 32 cm2 1 cm cm 32 cm2 cm 1 cm 32 cm2 Compare las medidas de la base con las de la altura y exprese cómo se r<strong>el</strong>acionan<br />
en cada caso, señalando lo que corresponda.<br />
a) En forma directamente proporcional.<br />
b) En forma inversamente proporcional.<br />
c) Sin proporcionalidad.<br />
109
3) Calcule la superficie de las siguientes figuras.<br />
1<br />
Exprés<strong>el</strong>as en ❑ y en cm 2 . ¿Qué r<strong>el</strong>ación observa entre las dos medidas? ¿A qué<br />
se debe?<br />
4) Un trabajador construye su casa en un terreno rectangular de 80m 2 de superficie,<br />
que tiene 10 metros de frente. La casa ocupa <strong>el</strong> 50% d<strong>el</strong> terreno.<br />
Construye también un galpón de 20m 2 .<br />
a) ¿Cuánto mide <strong>el</strong> fondo d<strong>el</strong> terreno?<br />
b) ¿Cuántos m 2 cubren la casa?<br />
c) ¿Qué superficie queda <strong>para</strong> jardín?<br />
5) Escriba la fórmula que permita hallar la superficie de un cuadrado conociendo<br />
su perímetro.<br />
6) Calcule la superficie de un cantero cuadrado d<strong>el</strong> jardín cuyo perímetro es de 10m.<br />
7) ¿Puede calcular la superficie de un triángulo cuyo perímetro es de 40m?<br />
¿Por qué?<br />
Volumen de los cuerpos<br />
3<br />
En <strong>el</strong> Módulo 3 <strong>para</strong> alumnos, al trabajar con magnitudes, se hizo mención,<br />
entre otras al volumen. Ésta es una de las magnitudes que junto con la<br />
longitud, la superficie, la capacidad y <strong>el</strong> peso son de uso frecuente en las<br />
<strong>11</strong>0<br />
2<br />
4
actividades de todos los días. Si se pretende que los alumnos puedan com<strong>para</strong>r<br />
y medir <strong>el</strong> volumen de un cuerpo, se recomienda que las primeras mediciones<br />
se hagan utilizando unidades no convencionales, d<strong>el</strong> mismo modo que se hizo<br />
con las otras magnitudes. Para <strong>el</strong>lo se podrían utilizar dados o cajas de forma<br />
cúbica que permitan com<strong>para</strong>r y hallar cuántas veces está contenida la unidad<br />
en <strong>el</strong> cuerpo cuyo volumen se quiere medir.<br />
En instancias presenciales, se pueden realizar experiencias que permitan<br />
medir <strong>el</strong> volumen de distintos cuerpos (como cajas), los alumnos podrán<br />
observar que cuerpos de diferente forma pueden tener <strong>el</strong> mismo volumen. Esto<br />
también se logra, apilando de diferente forma 6 paquetes de galletitas.<br />
Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3<br />
Se pueden com<strong>para</strong>r cuerpos en los que parezca que uno es de mayor volumen<br />
que <strong>el</strong> otro, pero al medirlos comprobar que no es así. Se podría preguntar:<br />
¿Cuál de las pilas de paquetes o cajas ocupa mayor volumen?<br />
A B<br />
<strong>11</strong>1
Ante cuerpos como los de la figura A y B, algunos alumnos probablemente<br />
dirán que A tiene mayor volumen por ser más alto que B. Ante esto surgirá la<br />
necesidad de comprobar (contando las cajas o paquetes) que B tiene mayor<br />
volumen.<br />
Se ha hecho referencia a cuerpos con forma de prisma o que pueden subdividirse<br />
en pequeños cubos o prismas. Pero también es posible que algunos alumnos<br />
se pregunten cómo com<strong>para</strong>r <strong>el</strong> volumen de cuerpos cuya forma no permite<br />
hacer una subdivisión.<br />
Si se quiere saber cuál de los dos tiene mayor volumen, sería necesario conocer<br />
<strong>el</strong> volumen de cada uno de <strong>el</strong>los. Pero también es posible saberlo por com<strong>para</strong>ción,<br />
sin utilizar la fórmula.<br />
La experiencia <strong>para</strong> hacer esto último es sencilla, los pasos son:<br />
a) Llevar al aula un recipiente, si es graduado mejor (como los que se utilizan<br />
<strong>para</strong> medir líquidos o polvos).<br />
b) Colocar agua hasta cierto niv<strong>el</strong>, marcar <strong>el</strong> recipiente a la altura d<strong>el</strong> agua (o<br />
anotar dicha altura si está graduado).<br />
c) Introducir uno de los dos cuerpos que se quiere com<strong>para</strong>r, si flota llenarlo<br />
con arena o agua, y marcar <strong>el</strong> nuevo niv<strong>el</strong> alcanzado por <strong>el</strong> agua.<br />
d) Repetir la experiencia con <strong>el</strong> otro cuerpo y marcar <strong>el</strong> nuevo niv<strong>el</strong>.<br />
El cuerpo que tenga mayor volumen, hará subir más <strong>el</strong> niv<strong>el</strong> d<strong>el</strong> agua.<br />
Este tipo de experiencias se puede repetir cuando los alumnos hayan aprendido<br />
a calcular <strong>el</strong> volumen de un cilindro. Se puede pedir, entonces, que determinen<br />
<strong>el</strong> volumen de cada uno y posteriormente los comparen.<br />
El cilindro que se determina con los dos niv<strong>el</strong>es d<strong>el</strong> agua (antes y después de<br />
introducir <strong>el</strong> cuerpo), tiene un volumen igual al d<strong>el</strong> cuerpo sumergido.<br />
Sólo después de comprobar que los alumnos adquirieron <strong>el</strong> concepto de<br />
volumen se podrá comenzar a medir con unidades convencionales. Se recurre<br />
al SIMELA <strong>para</strong> utilizar la unidad base, sus múltiplos y submúltiplos.<br />
La unidad base <strong>para</strong> medir volúmenes es <strong>el</strong> metro cúbico. En general resulta<br />
difícil imaginar cuál es <strong>el</strong> volumen que corresponde a 1m 3 , no es suficiente<br />
enunciar que corresponde a un cubo de: 1m x 1m x 1m.<br />
Para que los alumnos tengan noción de 1m 3 , se puede solicitar a los adultos<br />
que den ejemplos de objetos que tengan 1m 3 de volumen (una caja de un<br />
t<strong>el</strong>evisor de 28' tiene aproximadamente 1m 3 de volumen).<br />
Más sencillo resulta construir 1dm 3 o 1cm 3 y es conveniente que los alumnos<br />
los construyan, o se encuentren en <strong>el</strong> aula <strong>para</strong> com<strong>para</strong>rlos con objetos y<br />
estimar <strong>el</strong> volumen que éstos tienen; por ejemplo, armarios, cajas, etc.<br />
La r<strong>el</strong>ación entre <strong>el</strong> volumen y la capacidad se pone de manifiesto en la<br />
actividad Nº30. Es común que los adultos comparen dos productos comerciales,<br />
que tengan diferentes envases y <strong>el</strong> contenido se indique con distintas<br />
unidades <strong>para</strong> decidir la compra de uno u otro.<br />
<strong>11</strong>2
Por ejemplo:<br />
380 cm 3 0,4 l<br />
Considerando los envases presentados se podrá preguntar si ambos productos<br />
cuestan lo mismo y tienen la misma calidad. ¿Cuál de los dos le convendrá<br />
comprar?<br />
Actividades de este tipo pueden presentarse a los alumnos, llevando los<br />
envases vacíos al aula, <strong>para</strong> com<strong>para</strong>r por transvasamiento la capacidad de cada<br />
uno.<br />
Hay que tener presente que no se podrán realizar todas las actividades, en<br />
consecuencia es conveniente s<strong>el</strong>eccionar aqu<strong>el</strong>las que usted considere más<br />
adecuadas, según las dificultades de los alumnos.<br />
Otra posibilidad sería plantear situaciones <strong>para</strong> que se resu<strong>el</strong>van como<br />
actividades complementarias de las que figuran en <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos.<br />
El volumen d<strong>el</strong> cilindro<br />
El prisma y <strong>el</strong> cilindro son los cuerpos que con mayor frecuencia se presentan<br />
en los objetos que nos rodean.<br />
Ante la necesidad de conocer o com<strong>para</strong>r volúmenes de tanques de agua,<br />
vasos, baldes, tanques australianos, etc., se presenta la fórmula <strong>para</strong> determinar<br />
<strong>el</strong> volumen de un cilindro.<br />
Si los alumnos utilizan correctamente la fórmula <strong>para</strong> calcular <strong>el</strong> volumen de<br />
un prisma, es probable que no tengan dificultades en comprender y aplicar la<br />
fórmula <strong>para</strong> <strong>el</strong> volumen d<strong>el</strong> cilindro ya que en ambos casos, es:<br />
V = Sup. base x altura<br />
De no ser así, se podrá trabajar con la fórmula <strong>para</strong> calcular <strong>el</strong> volumen d<strong>el</strong><br />
prisma y com<strong>para</strong>rlo con la d<strong>el</strong> cilindro; se observará que la diferencia está sólo<br />
en cómo se calcula la base de uno y de otro, y en ambos casos se multiplica por<br />
la altura.<br />
<strong>11</strong>3
Además se podrán presentar actividades como la de las monedas, que se plantea<br />
en <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, pero utilizando otros <strong>el</strong>ementos de menor<br />
espesor, como arand<strong>el</strong>as, fichas de pap<strong>el</strong>, pastillas, etc.<br />
Al com<strong>para</strong>r dos cilindros como las de la figura siguiente algunos alumnos<br />
podrán llegar a decir que B es de mayor volumen que A, otros podrán pensar<br />
lo contrario. Ante esto surgirá la necesidad de calcular <strong>el</strong> volumen de cada uno.<br />
Para <strong>el</strong>lo es necesario que usted escriba los datos requeridos, o los alumnos<br />
midan la altura y <strong>el</strong> radio <strong>para</strong> calcular sus volúmenes.<br />
Operaciones<br />
A B<br />
En este eje se presentan dos operaciones: la potenciación y la raíz cuadrada.<br />
Potenciación<br />
Es común que los adultos enuncien correctamente la definición de potenciación,<br />
pero al tener que calcular 3 2 muchos se confundan y respondan 6.<br />
Para facilitar en los participantes, la comprensión d<strong>el</strong> concepto de potencia y<br />
<strong>el</strong> procedimiento <strong>para</strong> hallar <strong>el</strong> resultado, es conveniente que las primeras potencias<br />
sean resu<strong>el</strong>tas escribiendo la multiplicación reiterada. Ejemplo:<br />
2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32<br />
5 factores 2<br />
Leer correctamente la operación a realizar, por ejemplo:<br />
Tres al cuadrado igual ......<br />
3 2 = Tres <strong>el</strong>evado a la segunda igual .....<br />
El cuadrado de tres es ............<br />
y no "tres a la dos" que a muchos hace pensar en tres por dos.<br />
<strong>11</strong>4
En <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, si bien se trabaja la potenciación en general, se<br />
da prioridad a las potenciaciones de uso más frecuente: <strong>el</strong> cuadrado, <strong>el</strong> cubo y<br />
la potenciación de base diez. Las dos primeras, se r<strong>el</strong>acionan con <strong>el</strong> cálculo de<br />
la superficie y <strong>el</strong> volumen respectivamente.<br />
La base diez permite hacer la descomposición polinómica de números, e incorporar<br />
la notación científica, lo que posibilita escribir números de muchas<br />
cifras en forma aproximada. Un ejemplo de la notación científica es la actividad<br />
Nº12 d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos. Por ejemplo: <strong>para</strong> abreviar la escritura de la<br />
distancia Tierra-Sol (150 millones de km), es útil la potencia de base diez:<br />
d (Tierra-Sol)= 1,5 . 10 6 km.<br />
Comúnmente, se piensa que <strong>el</strong> resultado de una potenciación siempre resulta<br />
ser un número mayor que la base. Esto se debe a que, en general, se proponen<br />
actividades donde la base es un número mayor que 1. En la actividad Nº1 d<strong>el</strong><br />
Módulo 5 se observa cómo aumenta rápidamente <strong>el</strong> resultado a medida que<br />
aumenta <strong>el</strong> exponente. Esto no siempre es así, es aconsejable, entonces, presentar<br />
alguna actividad donde la potencia sea menor que la base, por ejemplo:<br />
¿Cuál es <strong>el</strong> volumen de un cubo cuyo lado mide 0,5m?<br />
Para contestar esta pregunta habrá que resolver 0,5 3 = 0,125<br />
El resultado 0,125 es menor que la base 0,5. Si <strong>el</strong> exponente es aún mayor,<br />
menor será <strong>el</strong> resultado:<br />
Ejemplos: 0,5 5 = 0,03125; 0,5 8 = 0,003906; 0,5 12 = 0,000244<br />
Esto se fundamenta en que si se <strong>el</strong>eva 1 décimo (0,1) al cuadrado, <strong>el</strong> resultado<br />
es 1 centésimo<br />
0,1 2 =0,01 y 1 1 .<br />
10 100<br />
En este caso, interesa conocer rápidamente <strong>el</strong> resultado, conviene usar<br />
calculadora, porque <strong>el</strong> objetivo es ordenar los resultados, es decir, com<strong>para</strong>rlos.<br />
Radicación<br />
Si se tiene en cuenta la definición de potenciación: a n =b, conocer a y n (base<br />
y exponente) permite hallar <strong>el</strong> número b. Pero ¿qué ocurre si b es un dato y lo<br />
que no se conoce es a o n? Por ejemplo,<br />
3 n = 81<br />
a 5 = 32<br />
En <strong>el</strong> primer ejemplo se conoce la base pero no <strong>el</strong> exponente. ¿3 <strong>el</strong>evado a que<br />
potencia es igual a 81?<br />
En <strong>el</strong> segundo ejemplo no se conoce la base, aquí la pregunta es ¿qué número<br />
<strong>el</strong>evado a la 5 es igual a 32?<br />
En <strong>el</strong> primer caso la operación matemática que permite hallar n es <strong>el</strong> logaritmo.<br />
En <strong>el</strong> ejemplo logaritmo en base 3.<br />
En <strong>el</strong> segundo caso la operación que permite hallar a es la radicación. En <strong>el</strong><br />
5 ejemplo √32.<br />
n<br />
En general, √b = a.<br />
<strong>11</strong>5
En <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos se trabajó radicación en <strong>el</strong> conjunto de los números<br />
naturales y sólo con la raíz cuadrada, y en especial, en su condición de inversa<br />
de la potenciación de exponente dos.<br />
Al igual que en la potenciación, es conveniente leer correctamente la escritura<br />
de una raíz, y verificar <strong>el</strong> resultado <strong>el</strong>evando al cuadrado dicho número, como<br />
en la actividad Nº16.<br />
Dado que la raíz cuadrada de muchos números no es exacta, la estimación en<br />
esta operación cobra importancia. Esto se observa en la actividad Nº<strong>11</strong> d<strong>el</strong> módulo<br />
<strong>para</strong> alumnos, en la cual <strong>el</strong> resultado se busca por tanteo. Esta dificultad<br />
no existe si los alumnos usan calculadoras, y la búsqueda por tanteo es adecuada<br />
<strong>para</strong> dar respuesta a lo que se busca. Si los alumnos disponen de una<br />
calculadora, se pueden hacer ambas cosas, buscar la respuesta por tanteo y<br />
luego controlar <strong>el</strong> resultado obtenido, en este caso, se observará también la ventaja<br />
y rapidez d<strong>el</strong> uso de calculadoras tal como ya se ha dicho en la presentación<br />
d<strong>el</strong> área y en este módulo.<br />
Uso de paréntesis<br />
Si se pregunta cuál es <strong>el</strong> resultado d<strong>el</strong> siguiente cálculo:<br />
3 + 5 x 2 = es común que los alumnos den como respuesta, 16.<br />
Esto se debe a que en nuestro idioma se lee y se interpreta de izquierda a<br />
derecha, una a una, las palabras o los signos de la escritura. Pero no ocurre lo<br />
mismo con las expresiones matemáticas.<br />
Si se le pide a los alumnos que indiquen en orden las operaciones que<br />
hicieron dirán:<br />
Tres más cinco, por dos<br />
En lugar de<br />
Tres más, cinco por dos<br />
En <strong>el</strong> primer caso, Tres más cinco, por dos, primero se suma 3 + 5, y al resultado<br />
se lo multiplica por 2, se obtiene 16.<br />
En <strong>el</strong> segundo, Tres más, cinco por dos, a 3 se le suma <strong>el</strong> resultado de 5 x 2. En<br />
este caso <strong>el</strong> resultado final es 13.<br />
Cuando se escribe 3 + 5 x 2 = no se usan comas <strong>para</strong> indicar cuál de los<br />
caminos es <strong>el</strong> que se debe seguir. Esto provoca que muchos alumnos erróneamente<br />
contesten 16, <strong>el</strong>igiendo <strong>el</strong> primer camino. Pero en matemática hay<br />
operaciones que tienen prioridad en un cálculo. Es necesario indicar que las<br />
multiplicaciones y las divisiones, se resu<strong>el</strong>ven antes que las sumas y las restas, es<br />
decir, que los signos + y - se<strong>para</strong>n términos.<br />
<strong>11</strong>6
Por ejemplo:<br />
1 er t. 2 do t. 3 er término<br />
4 + 6 x 2 - 8 : 4 =<br />
4 + 12 - 2 = 14<br />
Si se quiere modificar <strong>el</strong> orden en que se deben resolver las operaciones se<br />
deben usar los paréntesis. Si por ejemplo se pretende realizar <strong>el</strong> cálculo Tres más<br />
cinco, por dos, se debe indicar ese orden usando paréntesis. Por ejemplo:<br />
(3 + 5) x 2 =<br />
8 x 2 = 16<br />
En este caso por tener paréntesis, primero se resu<strong>el</strong>ve la suma y luego se<br />
multiplica.<br />
La prioridad de unas operaciones sobre otras y <strong>el</strong> uso de los paréntesis, conviene<br />
desarrollarlos simultáneamente.<br />
La circunferencia y <strong>el</strong> círculo<br />
La actividad Nº22 d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos, propone la búsqueda de la<br />
r<strong>el</strong>ación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Tal vez algunos<br />
alumnos realicen mal las mediciones necesarias <strong>para</strong> hallar aproximadamente π<br />
(3,14...). De ser necesario podrá repetirse la experiencia en una instancia<br />
presencial, realizando la actividad en grupo.<br />
Un error frecuente es confundir los términos circunferencia y círculo, usándolos<br />
como si fuesen sinónimos. Para aclarar estos conceptos, además de conocer<br />
la definición de cada uno de <strong>el</strong>los, es necesario que <strong>el</strong> alumno use cada uno<br />
de los términos de manera apropiada y así podrá r<strong>el</strong>acionar la circunferencia<br />
con su longitud y <strong>el</strong> círculo con su superficie.<br />
En <strong>el</strong> módulo de alumnos, bajo <strong>el</strong> título "Superficie d<strong>el</strong> círculo", se desarrolla<br />
una actividad que permite descubrir la fórmula <strong>para</strong> calcular la superficie de un<br />
círculo. Esta actividad puede ser realizada en la instancia presencial en forma<br />
individual o grupal. Sólo se necesita llevar algunos círculos de cartulina, útiles<br />
geométricos y tijeras.<br />
Números negativos<br />
Existe una variedad de situaciones en las que, <strong>para</strong> cuantificarlas, se necesita<br />
un número negativo. Las actividades Nº41 y Nº42 d<strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos,<br />
son un ejemplo de estas situaciones. Los alumnos podrán percibir de esta manera<br />
que los números negativos son una necesidad, ya que no habría una forma<br />
matemática de indicar cantidades que son menores que cero.<br />
<strong>11</strong>7
Es suficiente que los alumnos conozcan la escritura y <strong>el</strong> ordenamiento de los<br />
números negativos. La operatoria con esta clase de números, no está incluida<br />
en los contenidos de este Proyecto.<br />
Respecto d<strong>el</strong> ordenamiento de números negativos, la actividad Nº44 d<strong>el</strong><br />
módulo <strong>para</strong> alumnos es un buen ejemplo que puede utilizarse con situaciones<br />
similares, por ejemplo, con años o con profundidades.<br />
Este tipo de ejercicios permite ordenar los números de un modo significativo,<br />
con un sentido lógico, de menor a mayor o de mayor a menor.<br />
Para poder com<strong>para</strong>r los números negativos es conveniente en primer lugar,<br />
contextualizar los mismos. Por ejemplo: de 2 temperaturas bajo cero, indicar<br />
cuál es la más baja (o menor).<br />
En Ushuaia se anotaron las temperaturas siguientes:<br />
A las 6 hs -15˚C<br />
A las 8 hs -10˚C<br />
¿A qué hora se registró la menor temperatura?<br />
Sin duda, <strong>el</strong> alumno responderá: "a las 6", porque -15˚C es menor que -10˚C.<br />
A modo de sugerencia, pueden tenerse en cuenta otros contextos como los<br />
siguientes:<br />
a) Juan debe $100 y José $120.<br />
¿Quién debe más? (Aquí se identifica "debe" con <strong>el</strong> signo -.)<br />
b) Un buzo se halla a 500 metros de profundidad y otro a 600 metros. ¿Cuál<br />
está más alejado d<strong>el</strong> niv<strong>el</strong> d<strong>el</strong> mar? (Aquí se identifica "profundidad" con <strong>el</strong><br />
signo -.)<br />
Conviene identificar, entonces, ciertas palabras d<strong>el</strong> contexto con <strong>el</strong> signo d<strong>el</strong><br />
número negativo.<br />
Es importante observar la existencia d<strong>el</strong> cero <strong>para</strong> poder com<strong>para</strong>r números<br />
enteros, en particular los negativos.<br />
Los alumnos deberán concluir que si se com<strong>para</strong>n dos números negativos, <strong>el</strong><br />
menor es <strong>el</strong> que está más alejado hacia la izquierda d<strong>el</strong> cero.<br />
Ejemplo:<br />
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2<br />
-3 < -1 ; -8 < -4<br />
<strong>11</strong>8
EVALUACIÓN<br />
Las siguientes actividades de evaluación, integran algunos conceptos y procedimientos<br />
tratados en <strong>el</strong> módulo <strong>para</strong> alumnos. En la primera actividad, <strong>el</strong><br />
gráfico es sólo un <strong>el</strong>emento auxiliar, en la segunda, en cambio reemplaza al<br />
enunciado. El alumno debe leer e interpretar la información que suministra <strong>el</strong><br />
gráfico <strong>para</strong> dar respuesta a las preguntas de la actividad.<br />
1) Un tanque de agua tiene forma cilíndrica. Sus medidas se indican en <strong>el</strong> dibujo.<br />
Calcule:<br />
a) ¿Cuál es la superficie de la tapa?<br />
b) ¿Cuál es <strong>el</strong> volumen d<strong>el</strong> tanque?<br />
d = 1m<br />
c) Si cada dm 3 equivale a 1 litro de agua ¿Cuántas gotas de lavandina hacen falta<br />
<strong>para</strong> evitar <strong>el</strong> contagio d<strong>el</strong> cólera? (Recuerde que por cada litro corresponden<br />
2 gotas.)<br />
d) Si la tapa hubiese tenido 5.024cm 2 de superficie, ¿Cuál sería su diámetro?<br />
Recuerde: superficie d<strong>el</strong> círculo = π x r 2 entonces<br />
π x r 2 = 5.024cm 2<br />
Nuevamente aquí es conveniente usar la calculadora.<br />
<strong>11</strong>9<br />
h = 1,6m
2) Observe y resu<strong>el</strong>va<br />
a) Complete colocando las alturas respectivas:<br />
La cima de la montaña<br />
El barco<br />
El submarino<br />
El árbol<br />
b) Marque en <strong>el</strong> dibujo otro árbol a 300 m y una ballena a -50m<br />
c) Ordene las 6 alturas desde la más alta a la más baja.<br />
d) Calcule la diferencia de altura entre:<br />
La ballena y la casa<br />
La casa y la cima<br />
El barco y <strong>el</strong> árbol<br />
El submarino y la ballena<br />
120
BIBLIOGRAFÍA<br />
Referida a aspectos didácticos<br />
Bandet y otros: Hacia <strong>el</strong> aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires, Kap<strong>el</strong>usz,<br />
1978.<br />
Cast<strong>el</strong>nuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990.<br />
Márquez, Cristina d<strong>el</strong> Carmen: Enseñar a pensar. Cuadernos Pedagógicos<br />
Nº57. Buenos Aires, Kap<strong>el</strong>usz, 1980.<br />
Polya G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.<br />
Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. Buenos Aires, Plus Ultra,<br />
1979.<br />
Referida a contenidos<br />
Potenciación y radicación<br />
Amadori, Liliana: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y <strong>11</strong>.<br />
Bindstein, M., Hanflig, M.: <strong>Matemática</strong> 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap <strong>11</strong>.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.<br />
Var<strong>el</strong>a, L., Foncuberta, J.: <strong>Matemática</strong> dinámica 2. Buenos Aires, Kap<strong>el</strong>usz,<br />
1973, cap. 5.<br />
Cuadriláteros<br />
Amadori, Liliana: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 4 y 8.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> <strong>II</strong>. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 7.<br />
Circunferencia y círculo<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 14.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.<br />
El volumen de los cuerpos<br />
Amadori, Liliana: <strong>Matemática</strong> 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5.<br />
121
Números negativos<br />
Bindstein M., Hanflig M.: <strong>Matemática</strong> 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 6.<br />
Tapia, N<strong>el</strong>ly: <strong>Matemática</strong> l. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 13.<br />
Uso de paréntesis<br />
Bindstein, M., Hanflig, M.: <strong>Matemática</strong> 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 2.<br />
122
MÓDULO 6<br />
*<br />
7<br />
4<br />
1<br />
2 3<br />
5 6<br />
8 9<br />
0 #<br />
12x5=60
ÍNDICE<br />
Introducción 127<br />
Consideraciones sobre las actividades 128
INTRODUCCIÓN<br />
El camino recorrido por <strong>el</strong> alumno adulto, desde <strong>el</strong> inicio d<strong>el</strong> Proyecto a<br />
partir d<strong>el</strong> Módulo 1 hasta la resolución de la actividades d<strong>el</strong> Módulo 6, se<br />
podría sintetizar como un proceso que, a partir de los conocimientos matemáticos<br />
intuitivos, incompletos y a veces erróneos, facilitó en <strong>el</strong> adulto la formalización<br />
de conceptos y procedimientos matemáticos que se convierten en<br />
instrumento <strong>para</strong> leer la realidad, comprenderla y/o modificarla.<br />
El Módulo 6 <strong>para</strong> alumnos tiene como propósito fundamental que <strong>el</strong> adulto<br />
aplique los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas que la<br />
vida plantea cotidianamente.<br />
Pero <strong>el</strong> interrogante o cuestión por resolver en todo problema no puede ser<br />
solucionado sólo con la aplicación de conocimientos o procedimientos aislados,<br />
sino que requiere que <strong>el</strong> alumno realice un complejo proceso que implica:<br />
<strong>el</strong> análisis de la situación, la <strong>el</strong>aboración de hipótesis y la formulación de<br />
conjeturas (aquí la estimación adquiere singular importancia), la s<strong>el</strong>ección de<br />
las posibilidades y la toma de decisiones.<br />
Al <strong>el</strong>aborar la estructura y los contenidos d<strong>el</strong> Módulo 6 <strong>para</strong> alumnos, se tuvieron<br />
en cuenta los objetivos generales <strong>para</strong> <strong>el</strong> área en <strong>el</strong> Proyecto de Terminalidad<br />
d<strong>el</strong> Niv<strong>el</strong> Primario <strong>para</strong> Adultos a Distancia:<br />
◆ Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas <strong>para</strong> afrontar situaciones<br />
de la vida cotidiana que requieren su empleo.<br />
◆ Adquirir nuevos conceptos y nuevas estrategias <strong>para</strong> plantear y resolver<br />
situaciones matematizables vinculadas con lo personal, lo laboral y lo<br />
comunitario.<br />
◆ Valorar la precisión y la utilidad d<strong>el</strong> lenguaje matemático <strong>para</strong> representar,<br />
comunicar o resolver situaciones.<br />
◆ Utilizar las operaciones fundamentales en la resolución de problemas.<br />
◆ Aplicar <strong>el</strong> conocimiento de los sistemas de medidas de longitud, peso, superficie,<br />
volumen y tiempo, respecto a problemas d<strong>el</strong> entorno.<br />
◆ Aplicar conceptos <strong>el</strong>ementales de estadística <strong>para</strong> la interpretación de tablas<br />
y gráficos sencillos.<br />
127
La resolución de las situaciones planteadas en las 18 actividades d<strong>el</strong> Módulo 6 <strong>para</strong><br />
alumnos implica la aplicación de los siguientes contenidos trabajados en<br />
módulos anteriores:<br />
Números Operaciones Medida Geometría Estadística<br />
• Racionales<br />
• Naturales<br />
• Fraccionarios<br />
• Expresiones<br />
decimales<br />
• Enteros<br />
• Adición, sustracción,multiplicación<br />
y división.<br />
• Proporcionalidad<br />
• Escala<br />
• Porcentaje<br />
CONSIDERACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES<br />
Luego de una breve introducción, en la actividad Nº1 d<strong>el</strong> Módulo 6 <strong>para</strong><br />
alumnos se solicita al adulto que enumere todos los gastos que él considera<br />
necesarios <strong>para</strong> instalar un quiosco. Esta actividad junto con la Nº2, en la que<br />
debe mencionar las condiciones exigidas por las inmobiliarias <strong>para</strong> alquilar un<br />
local, tienen como propósito la explicitación de los saberes previos de los adultos<br />
sobre <strong>el</strong> tema. Es importante que usted promueva <strong>el</strong> intercambio de información<br />
en las instancias presenciales, ya que en las actividades siguientes se le<br />
propone al alumno que haga un análisis de la situación, lo que le permitirá,<br />
posteriormente, tomar decisiones.<br />
Sería oportuno insistir en que la correcta evaluación de las posibilidades y la<br />
adecuada planificación de acciones influyen decisivamente en <strong>el</strong> éxito d<strong>el</strong><br />
negocio. Esta temática se trata en <strong>el</strong> Módulo 3 de Formación <strong>para</strong> <strong>el</strong> Trabajo.<br />
Por tal motivo, la actividad Nº3 propone analizar los locales que se ofrecen<br />
teniendo en cuenta la variable precio-superficie. Esta actividad requiere que <strong>el</strong><br />
alumno aplique sus conocimientos sobre los siguientes contenidos:<br />
◆ Multiplicación y división de números naturales y expresiones decimales.<br />
-Móds. 3 y 4<br />
◆ Medidas de superficie<br />
-Mód. 3<br />
◆ Superficie de rectángulo<br />
-Mód. 3<br />
•SIMELA<br />
Medidas<br />
de:<br />
Longitud<br />
Capacidad<br />
Peso<br />
Superficie<br />
La actividad Nº4 d<strong>el</strong> Módulo 6 facilita ese proceso, ya que requiere <strong>el</strong> análisis<br />
de las condiciones de cada local (alquiler, dimensiones, ubicación) y la s<strong>el</strong>ección<br />
de una posibilidad <strong>para</strong> tomar una decisión. En consecuencia, tendrá que<br />
analizar: dimensiones, ubicación, monto d<strong>el</strong> alquiler, estado general d<strong>el</strong> local,<br />
etc.<br />
128<br />
• Ubicación en<br />
planos.<br />
• Superficie de<br />
cuadriláteros<br />
• Escalas<br />
• Lectura, análisis<br />
y <strong>el</strong>aboración<br />
de:<br />
• Diagramas de<br />
barras<br />
• Diagramas lineales<br />
• Porcentaje
Una vez <strong>el</strong>egido <strong>el</strong> local y resu<strong>el</strong>ta la actividad Nº5, <strong>el</strong> alumno habrá llegado<br />
a la conclusión de que con los $3.000 que tenía como capital no le alcanza, y<br />
entonces una alternativa <strong>para</strong> solucionar <strong>el</strong> problema es pedir un crédito<br />
bancario.<br />
El propósito de la actividad Nº6 es que <strong>el</strong> alumno <strong>el</strong>ija <strong>el</strong> crédito que considere<br />
más conveniente teniendo en cuenta los plazos y los intereses. Una vez que <strong>el</strong><br />
alumno haya completado <strong>el</strong> gráfico lineal, sería importante plantearle si hay o no<br />
una r<strong>el</strong>ación de proporcionalidad entre la cantidad de cuotas y <strong>el</strong> monto de<br />
dinero a devolver, recordándole que, si bien al aumentar la cantidad de cuotas, <strong>el</strong><br />
monto de dinero también aumenta, no existe una constante; por lo tanto, la<br />
r<strong>el</strong>ación no es de proporcionalidad porque no aumenta en la misma r<strong>el</strong>ación. Es<br />
fundamental que sean los alumnos quienes arriben a esta conclusión.<br />
Los contenidos trabajados en esta actividad son:<br />
◆ Operaciones con números naturales<br />
- Móds. 1 y 2<br />
◆ Proporcionalidad<br />
- Mód. 4<br />
◆ Gráfico estadístico<br />
- Mód. 4<br />
El objetivo de la actividad Nº7 es que <strong>el</strong> alumno pueda simbolizar con un<br />
número negativo (cuando <strong>el</strong> caso lo requiera) <strong>el</strong> estado de su economía. El<br />
contenido trabajado:<br />
◆ Números enteros<br />
- Mód. 5<br />
En la actividad Nº8 <strong>el</strong> alumno debe representar gráficamente en una escala<br />
determinada <strong>el</strong> local que él <strong>el</strong>igió. El contenido:<br />
◆ Escala<br />
- Mód. 3<br />
Al resolver las situaciones que se plantean en las actividades Nº9, Nº10, Nº<strong>11</strong><br />
y Nº12, <strong>el</strong> alumno aplicará sus conocimientos acerca de los siguientes<br />
contenidos:<br />
◆ Adición, sustracción, multiplicación y división<br />
- Móds. 1, 2 y 3<br />
◆ Medidas de longitud<br />
- Mód. 3<br />
◆ Medidas de capacidad<br />
- Mód. 4<br />
◆ Medidas de superficie<br />
- Mód. 5<br />
◆ Proporcionalidad<br />
- Mód. 4<br />
◆ Superficie de cuadriláteros<br />
- Mód. 5<br />
129
La actividad Nº13 requiere que <strong>el</strong> adulto interprete gráficos estadísticos y<br />
arribe a conclusiones. Es <strong>el</strong> momento oportuno <strong>para</strong> destacar <strong>el</strong> carácter<br />
instrumental d<strong>el</strong> área, ya que, de acuerdo con <strong>el</strong> análisis e interpretación de esos<br />
gráficos, se decidirá seguramente la cantidad de golosinas, chocolates y h<strong>el</strong>ados<br />
que es conveniente comprar en determinadas épocas d<strong>el</strong> año.<br />
Es importante recordar con los alumnos lo tratado en <strong>el</strong> Módulo 3 de Formación<br />
<strong>para</strong> <strong>el</strong> Trabajo, referido a la compra de mercadería:<br />
- si se compran más mercaderías de las que se pueden vender, no se podrá recuperar<br />
la inversión y habrá pérdidas;<br />
- si se compran menos mercaderías de las que demandan los clientes, se pierde<br />
la oportunidad de obtener más ganancias y se corre <strong>el</strong> riesgo de perder<br />
client<strong>el</strong>a;<br />
- la cantidad de mercadería que se puede vender en cierto tiempo determina en<br />
<strong>parte</strong> <strong>el</strong> plazo de recuperación de la inversión: cuánto tiempo hay que esperar<br />
<strong>para</strong> recuperar todo <strong>el</strong> capital colocado <strong>para</strong> que funcione <strong>el</strong> local.<br />
Los contenidos matemáticos trabajados en esta actividad son:<br />
◆ Análisis e interpretación de diagrama de barras y lineales<br />
- Mód. 4<br />
La actividad Nº14 requiere que <strong>el</strong> alumno arribe a conclusiones a partir de la<br />
interpretación que haya hecho de los gráficos estadísticos de la actividad Nº13.<br />
Además, se complementa con la actividad Nº15, en la que deberá:<br />
• resolver situaciones sobre cantidad de artículos;<br />
• com<strong>para</strong>r precios;<br />
• estimar resultados;<br />
• realizar operaciones que le permitan calcular costos.<br />
Todas estas acciones tienen como propósito poder responder a dos cuestiones<br />
básicas en la planificación de una actividad comercial:<br />
- A qué precio vender la mercadería.<br />
- Qué cantidad habrá que vender (traducida en $) <strong>para</strong> recuperar la inversión.<br />
En la actividad Nº16 se trabaja <strong>el</strong> tema “porcentaje”. El desarrollo de este<br />
contenido está en <strong>el</strong> Módulo 4.<br />
La última actividad d<strong>el</strong> Módulo 6 es la Nº18. Para poder responder a la<br />
pregunta que se le plantea, <strong>el</strong> alumno debe reflexionar sobre algunos temas<br />
tratados en <strong>el</strong> Módulo 3 de Formación <strong>para</strong> <strong>el</strong> Trabajo.<br />
Con respecto al tema central d<strong>el</strong> Módulo 6: “instalar un quiosco”, será necesario<br />
recordar a los alumnos que <strong>el</strong> comienzo de cualquier emprendimiento<br />
resulta sumamente difícil y que su<strong>el</strong>e pasar un tiempo antes de obtener ganancias.<br />
Al principio, todo será inversión y trabajo.<br />
130
La planificación <strong>para</strong> instalar un quiosco requiere, tal como se explicó en <strong>el</strong><br />
inicio de este módulo, <strong>el</strong> análisis de la situación (ventajas y desventajas), la<br />
<strong>el</strong>aboración de hipótesis y la formulación de conjeturas (calcular costos y<br />
obtención de posibles ganancias), la s<strong>el</strong>ección de posibilidades (obtener un<br />
crédito, buscar un socio, un lugar, etc.), <strong>para</strong> poder tomar la decisión con<br />
r<strong>el</strong>ativa posibilidad de no fracasar en <strong>el</strong> emprendimiento.<br />
131
12x5=60<br />
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