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1 1 8 41ALGEBRA.-7 .X 4 -3x+5 entre x-1 . 11. x 6-3x 5+4x 4-3x 3-x 2+2 entre x+38. x 5+x 4-12x 3-x 2-4x-2 entre x+4 . 12 . 2x 3-3x 2+7x-5 entre 2x-1 .9. a 5-3a 3+4a-6 entre a-2 . 13 . 3a 3-4a 2+5a+6 entre 3a+2 .10. x 5-208x 2+2076 entre x-5 . 14 . 3x 4 -4x 3+4x 2-10x+8 entre 3x-1 .15 . X(;-X4+ 15x3+x 2-1 entre 2x+3 .sCOROLARIOS DEL TEOREMA DEL RESIDUODIVISIBILIDAD POR x-aUn polinomio entero en x que se anula para x =a, o sea sustituyendoen él la x por n, es divisible por x -a .Sea el polinomio entero P(x), que suponemos se anula para x = a, esdecir, sustituyendo la x por a . Decimos que P(x) es divisible por x - a .En efecto : Según lo demostrado en el Teorema del Residuo, el residuode dividir un polinomio entero en x por x -a se obtiene sustituyendoen el polinomio dado la x por a ; pero por hipótesis P(x) sé anula al sustituirla x por a, o • sea P(a) = 0 ; luego, el residuo de la división de P(x) entrex - a es cero ; luego, P(x) es divisible por x - a .Del propio modo, si P(x) se anula para x = -a, P(x) es divisible porx - (- a) = x + a ; si P(x)se anula para x =b será divisible por x - b opor bx - a ; si P(x) se anula para x = - será divisible por x - (- a) =ax+ 1~ o por bx+a .Recíprocamente, si P(x) es divisible por x -a tiene que anularse parax = a, es decir, sustituyendo la x por a ; si P(x) es divisible por x + a tieneque anularse para x = - a ; si P(x) es divisible por bx - a tiene que antilarseaapara x = by si es divisible por bx + a tiene que anularse para x -- - b .Ejemplos(1) Hallar, sin efectuar la división, si x-- 4 -4X 2 + 7x-6 es divisiblepor x - 2 .Este polinomio será divisible por x-2 si se anula para x=+2 .Sustituyendo la x por 2, tendremos :luego es divisible por x-2 .23 -4(2) 2 +7 (2)-6=8-16+14-6=0(2) Hallar, por inspección, si x 8 - 2x 2 + 3 es divisible por x + 1 .Este polinomio será divisible por x + 1 si se anula para x = - 1 .Sustituyendo la x por - 1, tendremos:(-1) 3 -2(-1)2 +3=-1 -2+3=0luego es divisible por x + 1 .