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494 • ALGEBRAEn toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantesde les extremos es igual a la suma de los extremos .Sea la progresión = a 711 P u, cuya razón es r . Supongamosque entre a y m hay n términos y entre p y u también hay n términos,es decir, que m y p son términos equidistantes de los extremos, a y u .Vamos a demostrar que m + p = a + u .En efecto: Habiendo n términos entre a y m, al término m le precedenn + 1 términos (contando la a) ; luego, podemos escribir (465) quem = a + (n + 1)r . (1) .Del propio modo, habiendo n términos entre p y u, tendremos :u = p + (n + 1)r. (2) .Restando (2) de (1), tenernos : m = a + (n + 1 r-u=-p-(n+1 rm-u= a-py pasando p al primer miembro de esta igualdad y u al segundo, queda :m+p=a+uque era lo que queríamos demostrar .OBSERVACIONCuando el número de términos de una progresión aritmética es impar,el término medio equidista de los extremos y por tanto, según lo queacabamos de demostrar, el duplo del término medio será igual a la sumade los extremos .DEDUCCION DE LA FORMULA PARA HALLAR LA SUMA DE LOSTERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICASea la progresión = a . b . c l . m . u, que consta de n términos.Designando por S la suma de todos los términos de esta progresión,tendremos : S= a+ b c +l + m+ uy también : ti = u +m +l + +c +b -' a .Sumando estas igualdades, tenemos :2S= (a+ j+(b+m .) +(c+l) -`- - l+c ' +(m+b)+(u+á) .Ahora bien, todos estos binomios son iguales a (a + u) porque hemosdemostrado en el número anterior que la suma de dos términos equidistantesde los extremos es igual a la suma de los extremos, y como hay tantosbinomios como términos tiene la progresión, tendremos :(a+u)n2S = (a + u) n y de aquí S - 2