Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

2 INTRODUCTION
(cisaillement homogène, zone de mélange inhomogène, couche limite avec ou sans perturbations
supplémentaires) est étudié dans ce travail. Notre analyse est surtout guidée par la comparaison
entre les prédictions des modèles et les données d’expérience (physique ou numérique).
Certaines contraintes fondamentales, portant sur les corrélations inconnues, peuvent être déduites
directement des équations exactes. Ces conditions, dites de “réalisabilité”, constituent un
outil qui a aidé au développement de modèles consistants du second ordre en régime incompressible
[15, 16] et pour un mélange de gaz à basse vitesse [17]. Il nous semble important de formuler
l’ensemble des relations de réalisabilité pour un fluide compressible et de discuter leurs implications
pour chacune des corrélations à modéliser.
L’application des modèles de fermeture au second ordre à des situations variées et parfois
complexes impose la mise en œuvre d’une méthode de résolution numérique robuste et précise.
Le système d’équations aux dérivées partielles couplées issu de la modélisation renferme simultanément
des opérateurs de type hyperbolique et elliptique. Il apparaît que la dominante hyperbolique
du système (renforcée en supersonique) nécessite de mettre en évidence le plus explicitement
possible les éléments fondamentaux du système de caractéristiques. Celui-ci a été
ici obtenu en retenant essentiellement la partie Euler des équations de Navier-Stokes moyennées
statistiquement, et la partie convection production des équations du tenseur de Reynolds. Des
choix seront à faire quant à la prise en compte des moments statistiques d’ordre deux dans la
résolution numérique par la méthode des caractéristiques.
• Le premier chapitre de ce mémoire présente une revue bibliographique des modèles de fermeture
au second ordre, en particulier dans le cas à haut nombre de Mach. La théorie de la
réalisabilité est appliquée à la situation particulière d’un fluide compressible.
• Le deuxième chapitre est consacré à l’étude du système hyperbolique de convection et de
production issu de la fermeture au second ordre. Le développement d’une méthode de
résolution numérique pour le système d’équations complet sur maillage non-structuré est
présenté. Différents tests de validation sont documentés.
• Nous étudions ensuite dans le troisième chapitre l’influence du nombre de Mach sur un
écoulement homogène cisaillé. Des bases de données de simulation numérique directe sont
utilisées pour l’évaluation a priori de modèles pour la corrélation pression-déformation et
pour la comparaison avec les résultats de nos calculs avec différents modèles de compressibilité.
• Dans le chapitre 4 nous présentons nos résultats de calculs de la zone de mélange à différentes
valeurs du nombre de Mach convectif. Nous nous intéressons en particulier à la capacité des
fermetures au second ordre de prédire les tendances observées dans l’expérience en ce qui
concerne le taux d’épanouissement et l’anisotropie du tenseur de Reynolds.
• Enfin, l’étude des écoulements pariétaux sera abordée dans le chapitre 5, d’abord par le calcul
des couches limites établies dans différents régimes du nombre de Mach. Nous présentons
ensuite des résultats du calcul d’une couche limite soumise à un système d’ondes de compression
avant de conclure avec l’étude d’un cas d’interaction forte entre une couche limite
et une onde de choc oblique.