Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

36 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
résultat est un système d’équations algébriques où tous les coefficients sont déterminés par
le modèle du second ordre. Pope [104] a ensuite obtenu une formulation explicite pour les
composantes de la tension à partir du modèle de Rodi par une méthode de projection sur
la base des invariants de la déformation. Dû à la complexité des manipulations algébriques,
il s’est restreint à un champ moyen bidimensionnel et un modèle de pression déformation
linéaire (LRR). A l’aide de la manipulation symbolique, Gatski et Speziale [109] ont traduit
le résultat de Pope pour le cas tridimensionnel et une classe des fermetures quasi-linéaires
qui inclut le modèle SSG. Théoriquement, aucune calibration n’est nécessaire après une
transformation de ce type; la relation qui est obtenu doit donner les points fixes du modèle
de transport complet (sous condition de l’existence d’une relation constitutive). Néanmoins,
une modification des coefficients peut être nécessaire afin d’éviter des singularités dans le cas
général. Plus récemment, Wallin et Johansson [110] ont conçu une méthode pour transformer
une fermeture linéaire (dans le cas tridimensionnel) qui garantit un résultat sans singularité.
• Une méthode analytique est poursuivie par Yoshizawa [111] en utilisant la “two–scale direct
interaction approximation” (TSDIA). Dans ce formalisme, deux échelles de temps et deux
échelles d’espace sont introduites qui sont distinctes par un facteurδ, dit paramètre d’échelle.
Les échelles lentes caractérisent le champ moyen, les échelles rapides le champ fluctuant.
Une expansion des équations Navier–Stokes écrite dans l’espace de Fourier, en utilisant des
puissances de paramètreδ, fait apparaître des corrélations entre les échelles qui sont ensuite
évaluées par la méthode de “direct interaction approximation” (DIA) de Kraichnan. En
évaluant ces expressions jusqu’à l’ordre trois du paramètreδ on obtient un modèle sous la
forme (1.118). Les coefficientsαi dépendent des intégrales des fonctions de Green. Ils
peuvent être évalués analytique-ment, mais dans l’application du modèle (cf. [112]) des
constantes empiriques sont préférées.
• Speziale [113] a obtenu une formulation quadratique par analogie avec la relation constitutive
pour la tension moléculaire d’un fluide non-newtonien. Afin d’assurer l’objectivité de la
relation constitutive, Speziale fait intervenir une fonction de la dérivée particuliére.
• Rubinstein et Barton [112] basent leur analyse sur la théorie du “groupe de renormalisation”
(RNG) de Yakhot et Orszag. Cette méthode présente une description de la turbulence par
les grandes échelles. L’influence des petites échelles est prise en compte en exprimant toutes
les corrélations entre les différentes échelles par un développement basé sur les quantités à la
limite de k → 0 ( k étant le nombre d’onde de la représentation de Fourier). En appliquant ce
formalisme à la corrélation double des vitesses fluctuantes, Rubinstein et Barton retrouvent
une expression de la forme (1.118). Il est remarquable dans cette approche que toutes les
constantes sont déterminées analytiquement.
• Basé sur des considérations de réalisabilité, Shih et al. [114, 100] ont proposé la forme suivante
pour les coefficientsαi:
α1 = − 1/3
, (1.119)
A1 +η
αl =
Cτl
A2 +η 3 +ξ 3
η = k
2sijsij , ξ =
ε
avec l = {2, 3, 4},
2ω ∗ ijω∗ k
ij
ε
oùω ∗ ij ≡ωij + 4ɛmijΩm est le tenseur de rotation qui inclut la rotation du repère Ωm.
Ce modèle (appelé SZL par la suite) respecte la réalisabilité du tenseur pour un taux de
déformation quelconque dans certaines situations critiques: dans un cisaillement pure, dans
une compression axiale, dans une déformation irrotationelle plane ou tridimensionnelle. Dans
le cas général, la réalisabilité n’est pourtant pas assurée. Le jeu de constantes donné par
Shih et al. [100] est le suivant:
A1 = 5.5, A2 = 1000, Cτ2 = −2, Cτ3 = 13
2 , Cτ4 = −1,
,