Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

24 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Vandromme [50] a employé la méthode de Hanjalic et Launder dans le cas d’un fluide compressible.
A cause de la formulation en moyenne de Favre des équations de base, l’hypothèse
de quasi-normalité pour les corrélations quadruples u ′′
iu′′ ju′′ ku′′ l introduit un très grand nombre de
termes en fonction du flux de masse dans le système. Vandromme effectue une estimation de
l’ordre de grandeur et ne garde qu’une partie des expressions. Néanmoins, le modèle final consiste
en un système d’équations aux dérivées partielles couplées pour les composantes du tenseur des
corrélations d’ordre trois.
Plusieurs auteurs ont proposé et utilisé des simplifications du modèle de Hanjalic et Launder
qui, en soi, a déjà une forme très complexe. On indique par la suite les formulations dans le cadre
de la moyenne de Favre pour un fluide à masse volumique variable.
• Mellor et Herring [33] proposent la forme isotropisée du modèle (1.77):
ρ u ′′
iu′′ ju′′ k2
k = −Csρ u ′′
ju ε
′′
k
,i +
u ′′
ku ′′
i
,j +
u ′′
iu ′′
j
,k
. (1.78)
• Daly et Harlow [30] ont utilisé une expression de transport par gradient généralisée, qui
s’écrit:
ρ u ′′
iu′′ ju′′ k
k = −Csρ
ε u ′′
ku′′
m u ′′
iu ′′
j . (1.79)
,m
On remarque que cette relation (comme la suivante) n’est pas symétrique par rapport aux
trois indicesi,j,k.
• Le modèle de transport par gradient avec une diffusivité isotrope s’écrit [90]:
ρ u ′′
iu′′ ju′′
k = −µt u ′′
iu σR
′′
j . (1.80)
,k
Ce modèle a été préféré dans les calculs de Lien et Leschziner [91] et de Davidson [55] pour
des raisons de stabilité numérique.
La discussion du paragraphe précédent a montré que, dans certains cas, l’avantage de la formulation
de Hanjalic et Launder (1.77) par rapport au modèle de Daly et Harlow (1.79) ou à celui de Mellor
et Herring (1.78) est petit si on considère qu’il s’agit des modèles pour l’ensemble des termes Tijk.
Amano et Goel [24] ont comparé des résultats obtenus en utilisant ces modèles algébriques dans
le cas des écoulements derrière une marche descendante. Qualitativement, les prédictions sont
équivalentes. Le modèle isotrope (1.80) donne des niveaux systématiquement trop faibles ce qui
peut être attribué à la valeur de la constante deσR = 2.25 qui est utilisé par Amano et Goel. Nous
supposons que ce modèle donne un accord comparable à celui des expressions plus complexes avec
une constante ajustée.
Nous allons dans cette étude opter pour le modèle isotrope. L’expression finale pour la somme
des termes diffusifs s’écrit donc:
−Tijk = µ + ,k µt
. (1.81)
σR
u ′′
i u ′′
j
La contraction de cette expression apparaît dans l’équation de l’énergie totale:
− 1
2 Tjjk
= µ + ,j µt
k,j . (1.82)
L’analogie entre le transport diffusif de l’énergie cinétiquek et son taux de dissipationε(voir le
paragraphe 1.4.4.1) permet d’écrire:
D t ε + Dν ε =
µ + µt
. (1.83)
Dans l’annexe B nous utilisons la condition de Lele afin de déterminer les constantes de diffusivité
σR etσε de manière consistante avec le modèle pour la dissipation. Nous obtenons les valeurs
suivantes:σR = 1.0 etσε = 1.3.
σR
σε
ε,j
,k
,j
,j
,k