Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

8 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.4.1 L’équation de transport de la tension de Reynolds
En utilisant l’identitéρuiuj =ρuiuj +ρ u ′′
iu′′ j , on peut décomposer la dérivée temporelle de la
tension de Reynolds de la façon suivante [25]:
ρ u ′′
= [uj∂t(ρui) +ui∂t(ρuj) −uiuj∂t(ρ)]
∂t
iu′′ j
− [uj∂t(ρuj) +ui∂t(ρuj) −uiuj∂t(ρ)] . (1.17)
Cette relation nous indique comment il faut manipuler les équations de la masse volumique et de
la quantité de mouvement sous leur forme instantanée (1.1) et leur forme moyennée (1.12) afin
d’obtenir l’équation de transport de la tension de Reynolds. Le résultat peut être présenté dans
la formulation suivante (par exemple [56]):
∂t(ρ u ′′
) + ρ u ′′
= − ρ u ′′
uj,k +ρ u ′′
iu′′ j
− ρ u ′′
iu′′ ju′′ k
iu′′ juk ,k
iu′′ k
ju′′ kui,k +δiku
′′
jp′ +δjku ′′
ip′ − (µSiku ′′
j +µSjku ′′
i )
,k
+p ′
u ′′
i,j +u′′
j,i
− µSiku ′′
+µSjku ′′
j,k i,k
−u ′′
i p ,j −u ′′
j p ,i .
(1.18)
La première ligne de l’équation (1.18), qui contient le terme temporel, la convection moyenne
et la production de turbulence par l’interaction avec le champ moyen ne nécessite pas de fermeture.
Ceci représente le point fort de la décomposition utilisée, car le traitement exact de ces
mécanismes permet automatiquement la prise en compte des effets de mémoire de la corrélation
double. Les autres termes de l’équation (1.18) représentent des grandeurs inconnues dont trois
sont des nouvelles corrélations. Dans la deuxième ligne on a regroupé les mécanismes diffusifs:
le transport par la corrélation triple de vitesse, la diffusion par les fluctuations de pression et la
diffusion visqueuse. La corrélation entre le gradient de la vitesse fluctuante et la fluctuation de
la pression dans la troisième ligne de l’équation (1.18) représente principalement la redistribution
de l’énergie entre les composantes du tenseurρ u ′′
iu′′ j . Pour un fluide compressible, la trace de
cette corrélation n’est pas identiquement nulle et elle peut constituer un processus réversible de
transformation entre énergie potentielle et énergie cinétique. La quatrième ligne représente la
dissipation de l’énergie cinétique de chaque composante en chaleur. Finalement, les termes de
la dernière ligne de l’équation (1.18) signifient la production par le flux de masse turbulent et le
gradient de pression moyenne, appelée “production enthalpique” [2].
Un tel regroupement des expressions est habituel [56, 52, 53], mais il n’est pas unique. Lumley
[57] propose une alternative pour la séparation des termes liés à la pression, qui se traduit pour
un fluide compressible par:
p,ju ′′
i
+p,iu ′′
j
2
− δijp,ku
′′
k −
3
2
3
déviateur
δijp ′ u ′′
k,k
+
pression-dilatation
2
3 δij
pu ′′
k −
,k
2
δijpu ′′ . k,k
3
(1.19)
transport flux de masse turbulent
= p,ju
′′
i +p,iu
′′
j