Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

12 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.4.2.2 La partie lente de la pression-déformation
Nous allons maintenant discuter la partie lente de la corrélation entre pression et déformation.
ne dépend pas explicitement du gradient de la vitesse moyenne. Ceci
Par sa définition (1.22),φs ij
indique que ce terme peut être étudié dans un écoulement à vitesse moyenne uniforme avec des
implications pour la situation générale. Afin de déterminer la liste des arguments de la fonctionφs ij ,
Rotta [29] invoque des arguments physiques et l’analyse dimensionnelle. Lumley [15] considère
une turbulence homogène en l’absence des gradients de vitesse moyenne, où l’équation pour la
tension de Reynolds s’écrit:
dtu ′ i u′ j
1
=
ρ p′
u ′ i,j +u′
−εij , (1.31)
j,i
la corrélation entre pression et déformation traduisant exclusivement un effet lent. Le deuxième
terme du second membre est la dissipation, qui est définie dans un écoulement incompressible par
εij = 2νu ′ i,k u′ j,k . (1.32)
Lumley propose de regrouper la partie déviatrice de la dissipation avec la partie lente de la pressiondéformation
Πs ij = 1/ρp′ (u ′ i,j +u′ j,i ) −(εij −2/3δijε) (où Πs ij ≡φsij +φsji ), ce qui donne la relation
suivante:
dtu ′ iu′ j = Πs 2
ij −
3 δijε , (1.33)
oùε≡εii est la dissipation de l’énergie cinétique turbulente. En considérant (1.33) comme une
équation pour Πs ij , cette corrélation est visiblement une fonctionelle de la tension de Reynolds et
de la trace de la dissipation. En négligeant une fois de plus l’effet de mémoire, la relation suivante
est obtenue:
Π s ij =ε · Aij (b ′ mn,Rel), Rel ≡ k2
, (1.34)
εν
où Aij est une fonction tensorielle isotrope d’ordre deux dont la forme générale s’écrit [15]:
Aij =a0b ′ ij +a1
b ′ ik b′ kj
1 ′
− δijII
3
. (1.35)
Les coefficientsai sont en général des fonctions des invariants II ′ et III ′ et du nombre de Reynolds
Rel. A partir des relations (1.34) et (1.35), un grand nombre de modèles de complexités différentes
a été publié:
• Par l’interprétation physique de l’interaction entre deux éléments d’un fluide turbulent, Rotta
[29] a déduit un modèle qui représente le retour à l’isotropie graduel d’un champ turbulent
initialement non-isotrope. Ce modèle est équivalent à la partie linéaire de la forme générale
(1.35) avec un coefficient constant. Cette même expression a été reprise dans la fermeture
LRR.
• En tenant compte des contraintes de réalisabilité, Lumley [15] propose un modèle linéaire
(a1 = 0) qui fait intervenir les invariants du tenseur. Il introduit également une dépendance
par rapport au nombre de Reynolds afin de modéliser l’absence du processus d’isotropisation
quand la turbulence a décru presque entièrement. Leur propre série de mesures de ce
mécanisme a motivé Choi et Lumley (cf. [64]) pour inclure les termes quadratiques de la
relation (1.35) dans leur modèle afin de pouvoir tenir compte du fait que la topologie du
retour à l’isotropie est distincte selon le signe de l’invariant III ′ de l’anisotropie.
• La partie lente du modèle FLT est également d’ordre quadratique. Les fonctionsa0 eta1
sont construites afin d’assurer un comportement asymptotiquement correct, en s’approchant
d’une paroi, où Πs ij devient nul.