Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

20 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
ce qui est une opération exacte dans un écoulement homogène. La partie dilatationnelle est
identiquement nulle dans le cas incompressible; en général elle est non-négative. La représentation
du termeεd dans le cadre d’un modèle du second ordre a été l’objet de différentes études, parmi
lesquelles on discutera les suivantes:
• Dans une approche phénoménologique, El-Baz et Launder [46] proposent de modéliser l’influence
de la dissipation dilatationnelle par une modification du terme de destruction dans
l’équation (1.57), en écrivant
Cε2 = Cε2) inc
1 + 1.6 M 2 t
, (1.64)
où Cε2) inc correspond à la valeur utilisée dans un écoulement incompressible. L’équation
ainsi modifiée est donc utilisée pour déterminer la dissipation totale (symboliquement:ε =
ε (ρv) ).
• Sarkar et al. [44] montrent que, dans leur DNS de décroissance isotrope, la partie solénoïdale
de la dissipationεs n’est pas affectée par la variation du nombre de Mach turbulent. Ils supposent
donc qu’une équation standard de la forme (1.57) peut être utilisée pour déterminer
celle-ci, ce qui peut être écrit symboliquement parεs =ε (ρv) . Le modèle de Zeman présenté
dans le paragraphe suivant implique une relation équivalente pourεs.
Afin de déterminer le termeεd, Sarkar et al. se basent sur la décomposition du champ de pression
et de la vitesse introduite par Erlebacher et al. [77], où la première partieu I etp I est régie
par les équations incompressibles et la partie compressible est définie par la différence avec
l’ensemble des équations compressibles. Utilisant une troncature du système valable pour
des nombres de Mach faibles, Sarkar et al. montrent que le mode compressible évolue beaucoup
plus rapidement que le mode incompressible, ce qui implique un équilibre acoustique.
La valeur des variables associée à cet état d’équilibre correspond à une équipartition entre
l’énergie cinétique et potentielle du mode compressible. Tenant compte de l’équipartition,
qui est confirmée dans leur DNS de décroissance isotrope, Sarkar et al. proposent le modèle
suivant pour la dissipation compressible:
εd =εs
α1 M 2 t + O M 4 t
, (1.65)
où le terme en puissance quatre du Mach turbulent est négligé. La constanteα1 était d’abord
calibrée par référence aux résultats des DNS de décroissance isotrope. Par la suite, la valeur a
été modifiée àα1 = 0.5 par Sarkar et al. [45] au vu des résultats sur le cisaillement homogène.
• Quand la vitesse instantanée de l’écoulement dépasse localement la vitesse du son, un choc
peut se former. La formation des chocs instationnaires, dits shocklets, a été observée dans les
simulations directes bi- et tridimensionnelles avec et sans cisaillement moyen [47, 78] ainsi
que dans une couche de mélange [13]. Dans les expériences, par contre, ces événements n’ont
pu être confirmés avec certitude [79, 80]. Zeman [76] invoque une dissipation supplémentaire
créée par les tourbillons qui passent à travers des shocklets. Les tourbillons sont soumis à
une réduction de taille dans la direction perpendiculaire à l’orientation du shocklet. Cette
réduction en taille est relativement localisée et associée aux petites échelles, puisque les shocklets
sont fins par rapport aux grandes structures [81]. Il s’agit donc d’un autre mécanisme
de cascade directe qui s’ajoute à la cascade habituelle.
Zeman exprime la dissipation dilatationnelle, instantanée par les conditions de saut à travers
un shocklet en fonction de la probabilité d’apparition de vitesse supersonique. Il paramétrise
la distribution de densité de probabilité (ddp) d’une forme prescrite par le nombre de Mach
turbulent qui donne la variance. Le modèle de Zeman s’écrit:
εd =εs ·cd ·F (Mt) , (1.66)