Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

32 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Nous remarquons que la méthode de la moyenne de Favre a comme conséquence que la positivité
de la masse volumique moyenne est automatiquement assurée pour des solutions régulières
(continuesC 1 ) puisque l’équation moyenne (1.12) peut être intégrée le long une ligne de courant
afin d’obtenir:
ρ(t) =ρ(t0) · exp −ui,i dt . (1.115)
Le système des équations exactes régissant l’écoulement moyen et les corrélations d’ordre deux
est du type mixte hyperbolique/elliptique. La partie hyperbolique est associée à la convection et
aux termes de production. On montre dans la référence [16] que, afin de conserver le caractère
hyperbolique de cette partie des équations, le tenseur de Reynolds doit vérifier la forte réalisabilité.
On utilisera ce résultat lors de la résolution numérique des équations modélisées dans le chapitre
2.
1.5.3 La conformité de l’approche avec la réalisabilité
Parmi les grandeurs qui sont l’objet des conditions de réalisabilité, la tension de Reynolds et la
dissipation sont les seules qui sont obtenues par des équations de transport modélisées en grande
partie. Dans le sens strict, il faut considérer le comportement de l’ensemble des équations sur
un domaine fini avec des conditions limites et initiales. Dû à la grande complexité du système,
la plupart des études de réalisabilité portent sur des écoulements homogènes d’un fluide incompressible.
Cette hypothèse permet d’isoler l’équation de la tension de Reynolds et celle de la
dissipation. De plus, les termes de transport spatial sont identiquement nuls. Dans ce cas, le gradient
de la vitesse moyenne est considéré comme une force extérieure qui peut prendre des valeurs
arbitraires. Schumann [36] a constaté la non-réalisabilité du modèle LRR en utilisant l’approche
homogène. Par la suite, Lumley [15] a montré qu’un modèle pour la partie rapide de la pression
déformation doit au moins être d’ordre quadratique (enbij) afin de vérifier la réalisabilité forte.
Ces considérations ont mené au modèle SL85 [28] (voir l’annexe A), dans lequel tous les coefficients
sont déterminés par les considérations de réalisabilité. Afin de permettre une calibration
par des résultats expérimentaux et de DNS, tout en assurant la réalisabilité du modèle, l’ordre de
l’expression peut être augmenté. Dans cet esprit, le modèle FLT ajoute des termes cubiques au
modèle SL85 avec une seule constante non-déterminée.
Shih et Shabbir [99] ont discuté des méthodes pour assurer la réalisabilité d’une fermeture a
priori non-réalisable. Shih et al. [100] ont considéré des modifications des modèles pour la pressiondéformation
qui permettent à la turbulence de sortir d’un état bi- ou monodimensionnel. Il a été
remarqué par Speziale et al. [101] qu’un de ces modèles modifiés, le modèle SL90 [95] (voir l’annexe
A) pour la partie rapide, n’est plus conforme à la réalisabilité forte indépendemment du choix du
modèle pour la partie lente. On note de plus que le modèle SSG ne vérifie pas la forte réalisabilité
[100].
La réalisabilité d’un certain modèle dans la situation homogène ne s’étend pas forcément à un
cas non-homogène. Par contre, la réalisabilité dans un tel cas simplifié est une condition nécessaire.
Les conclusions négatives concernant les modèles LRR, SSG et SL90 sont donc valables même dans
le cas non-homogène.
Hérard [16, 102] a analysé le système des équations qui sont issues d’une fermeture du second
ordre dans le cas incompressible, isotherme (comprenant les équations de continuité, de quantité de
mouvement, de transport de la tension de Reynolds et de la dissipation turbulente). En premier
temps, la diffusion turbulente est mise à zéro. Hérard prouve la réalisabilité forte d’une classe
de modèles pour la pression-déformation sous réserve que les gradients de vitesse et l’inverse de
l’échelle de tempsθ −1 restent bornées. Cette classe fortement réalisable inclut le modèle lent de
Lumley [15] ainsi que les parties rapides des modèles FLT et SL85. Dans le cas gaussien, sans
diffusion, il est montré que la positivité de l’échelle de tempsθet de son inverseθ −1 sous condition
queCε2 ≥ 1, condition qui est vérifiée avec la valeur standard deCε2 = 1.92 [16]. Les grandeurs
θ etθ −1 restent également bornées.