Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

6 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
• ρ u ′′
iu′′ j tension de Reynolds,
• ρ e ′′ u ′′
j flux de chaleur turbulent,
• ρ u ′′
iu′′ iu′′ j corrélation triple de vitesse,
• p ′ u ′′
j corrélation pression-fluctuation de vitesse,
• µu ′′
i Sij dissipation visqueuse par la fluctuation de vitesse,
• ρu ′′
i flux de masse turbulent,
• λT ′′
,j flux de chaleur lié à la corrélation température-masse volumique.
La tension de Reynolds constitue la corrélation principale car elle détermine en grande partie
le comportement du champ moyen de vitesse. Dans la fermeture du premier ordre, une relation
algébrique relie la tension turbulente au champ de vitesse moyenne; la fermeture de second ordre est
basée sur des équations de bilan pour les composantes de la corrélation double de vitesse; l’approche
de troisième ordre – qui consiste à modéliser et résoudre des équations pour les composantes du
tenseur de troisième ordre des corrélations triples (par exemple [24]) – semble à l’heure actuelle
très complexe.
La présente étude se situera au niveau des équations des moments du second ordre (voir le
paragraphe 1.4). Différentes études du premier ordre seront néanmoins utilisées pour des raisons
de comparaison (voir le paragraphe 1.6).
En ce qui concerne le vecteur du flux de chaleur turbulent, on pourrait faire des remarques très
analogues à celles évoquées à propos de la corrélation double de vitesse. La fermeture peut être
portée à différents niveaux jusqu’au modèle de transport par une équation de bilan aux dérivées
partielles (voir par exemple la référence [25] pour la forme exacte de l’équation de transport).
Il se pose la question suivante: à quel niveau devrait-on effectuer la fermeture de la corrélation
thermique par rapport à la fermeture de la corrélation cinématique? La réponse dépend de la
nature des écoulements qu’on envisage de traiter et elle est en même temps un compromis entre
la complexité du modèle (en vue des besoins informatiques pour sa résolution numérique) et sa
performance.
Dans notre étude on se contentera d’un modèle thermique de type algébrique avec un nombre
de Prandtl turbulent Prt constant:
−ρ e ′′ u ′′
µt
j = e,j , (1.16)
Prt
où le coefficient de transportµt est une viscosité turbulente qui est introduite ci-dessous. Pour la
plupart des applications d’aérodynamique externe, ce modèle simple est suffisant. Quand on traite
des phénomènes tels que la combustion turbulente ou des écoulements sur des parois fortement
chauffées ou refroidies, il serait certainement utile de raffiner cette approche thermique. Ainsi, He
et al. [26] traitent le sujet d’un nombre de Prandtl variable; un modèle algébrique à deux équations
de transport pour la variance de la température et sa dissipation a été proposé par Sommer et al.
[27]; pour des modèles aux équations de transport pour le flux des scalaires, le lecteur pourrait se
référer aux travaux de Lumley et al. [15, 17, 28]. Pour notre cas, on notera quelques limitations
du modèle à nombre de Prandtl constant lorsqu’on traite une couche limite sur paroi athermane
où l’écoulement extérieur approche la limite hypersonique (paragraphe 5.2.2).
La corrélation triple de vitesse, la diffusion par la pression et la diffusion turbulente visqueuse
sont des termes qui réapparaissent dans les équations de transport pour les tensions de Reynolds.
Leur modélisation sera présentée par la suite dans le paragraphe 1.4.5.
La corrélation entre les fluctuations de température et de la masse volumique est l’analogue du
flux de masse turbulent. Ces deux termes représentent la différence entre la moyenne de Reynolds
et la moyenne de Favre. On discutera la modélisation de ces corrélations dans le paragraphe 1.4.6.