Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

14 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Le terme visqueux est inclu avec le traitement des termes de bord. Il reste donc les termes
supplémentaires inertiels pour faire intervenir un effet de la compressibilité. Vandromme néglige
parmi ceux-ci la contribution lente, le modèle final s’écrivant:
p ′
u ′′
i,j +u′′
=ρ j,i
Π r ij + Πs
ij inc +C6 · 2ρk ·bij ·uk,k . (1.37)
Le terme supplémentaire est proportionnel à la dilatation moyenne qui est une mesure de la variation
de la masse volumique moyenne. Il s’agit donc d’un modèle pour des écoulements dilatables
(variation deρnon-nulle) et non d’un modèle pour des écoulements où les fluctuations de la masse
volumique sont importantes (ρ ′ ρ ′ non-nul). De plus, on remarque que la trace du modèle (1.37)
est nulle ce qui veut dire que la corrélation entre pression et dilatation est négligée.
1.4.3.2 L’approche par modification du polynôme tensoriel
Une approche phénoménologique a été choisie par El-Baz et Launder [46]. Ils supposent que la
corrélation entre pression et déformation peut toujours être exprimée par la somme des termes
rapides et lents,
p ′
u ′′
i,j +u′′
=ρul,k a j,i
kj
li +aki
lj +ρε · Aij (bmn) , (1.38)
où dans un fluide compressible on abmn ≡ u ′′
iu′′ j /2k − 1/3δij. Soulignant que maintenant la
condition d’incompressibilité (1.25) ne s’applique plus aux tenseursa kj
li etaki lj , El-Baz et Launder
remplacent cette condition par la relation suivante:
a ki
li =FEL [δlk +blk ] , (1.39)
oùFEL ≡ 0.75 M 2 t est une fonction du nombre de Mach turbulent (Mt ≡ √
2k/ γR T) qui assure
la consistance avec le cas incompressible. Avec cette hypothèse, ils poursuivent la construction du
modèle rapide analogue au modèle cubique FLT dans le cas incompressible. Le modèle pour les
termes lents est inchangé. L’expression finale s’écrit:
où
p ′
u ′′
i,j +u′′
j,i
= ρ Π r ij + Πs
ij FLT
La contraction de ce modèle donne:
2p ′ u ′′
k,k =FEL ·ρk
+FELρk 1
40 14
2sij +skk +
5
9 9 δij
+ 14
3 skkbij
+3 (biksjk +bjkski) − 41
9 (bimωjm +bjmωim)
+ 28
3 blibkjskl − 14
3 (bliblmsjm +bljblmsim) + 14
− 14
3 (bliblmωjm +bljblmωim)
sij = 1
ui,j +uj
2 ,i , ωij = 1
ui,j −uj
2 ,i
12
uk,k + 4blkslk
3
=FELρ
blkslk
bij + 1
3 δij
, (1.40)
8
kuk,k + 2ui,ju
3 ′′
iu′′
j
. (1.41)
, (1.42)
ce qui implique une expression pour la pression-dilatation fonction de la production de l’énergie
cinétique turbulente et de la dilatation moyenne.