Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

26 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.4.6.1 La modélisation du flux de masse turbulent
La quantitéu ′′
i
représente le flux de masse turbulent à travers une ligne de courant de la vitesse
moyenneui, ce qui est évident en exprimant la conservation de la masse par la moyenne de
Reynolds:
∂t (ρ) + (ρui) ,i = − ρ ′ u ′
i .
,i
(1.90)
Une équation exacte pouru ′′
i peut être déduite des équations de Navier-Stokes de la manière
suivante [43]:
• soustraire l’équation moyenne de la quantité de mouvement (1.12) de sa forme instantanée
(1.1), ce qui donne pour les termes temporels:
∂t (ρui) −∂t (ρui) = ∂t (ρu ′′
i ) +∂t (ρ ′ ui)
= ρ∂t (u ′′
i ) +ρ′ ∂t (ui) +u ′′
i ∂t (ρ) +ui∂t (ρ ′ ) . (1.91)
• exprimer∂t(ρ) et∂t(ρ ′ ) par la forme de l’équation de la masse correspondant.
• diviser par la masse volumique instantanéeρet moyenner.
Le résultat s’écrit:
+
∂t
u ′′
i
uju ′′
i
,j
= uj,ju
′′
i −ui,ju ′′
j +
I
u ′′
iu′′ ρ ,j
j +u
ρ
II
′′
iu′′
+ u ′′
j,j iu
III
′′
j −u′′ iu′′
j
,j
IV
µS
+ ′
ij ,j /ρ
− p ′ ,i /ρ − ρ ′ /ρ
∂t(ui) +ujui,j . (1.92)
V
Les termes I et II de l’équation de transport (1.92) représentent la production par interaction
avec les gradients de vitesse moyenne et les gradients de la masse volumique moyenne. Ce dernier
mécanisme est principalement responsable pour la création du flux de masse turbulent dans un
écoulement à bas nombre de Mach. L’expression IV traduit une diffusion liée à la différence des
deux types de moyenne de la corrélation double de vitesses. La corrélation entre le flux de masse et
la dilatation fluctuante (III) est une grandeur inconnue qui doit être nulle dans la limite Mt → 0.
L’expression V peut être évaluée par un développement du dénominateur par série de Taylor
(1/ρ = 1/ρ −ρ ′ /ρ 2 + O(ρ ′2 )). La contribution du terme visqueux est ainsi négligeable pour des
nombres de Reynolds élevés. Les deux expressions inertielles qui font partie de V sont de l’ordre
de O( ρ ′2 /ρ) par rapport aux termes I à III [43].
Sur la base de l’équation (1.92), plusieurs modèles pour déterminer le flux de masse ont été
proposés:
• Ristorcelli propose l’utilisation de l’équation (1.92) en négligeant les termes IV et V. Dans
ce cas, la seule inconnue est la corrélation III, qu’il exprime par un modèle de relaxation:
u ′′
i u′′
j,j
i = −u′′
τd
, (1.93)
oùτd est considéré comme une échelle dilatationnelleτd = Mtk/ε. Précédemment, Zeman
[92] avait proposé un modèle équivalent qui ne diffère que par une constante à cause d’une
autre définition de l’échelleτd.
• En faisant l’hypothèse d’un équilibre structurel entre le flux de masse turbulent et l’énergie
cinétique turbulente, dt(u ′′
i /√ k) = 0, Ristorcelli déduit une troncature algébrique du modèle