Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

28 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
• en déterminant les fluctuations de température dans l’expression (1.97) à l’aide de l’hypothèse
d’une température totale constante, Rubesin écrit le modèle suivant:
. (1.99)
u ′′
i =uj
(γ − 1)
(n − 1) M2t bij + 1
3 δij
Puisque ce modèle n’est pas proportionnel à un gradient du champ moyen ou autre mesure
d’inhomogénéité, il n’est pas conforme avec la limite homogène, où le flux de masse est nul.
• plus récemment, Rubesin [42] a déduit un modèle plus général en utilisant une hypothèse de
transport par gradient généralisée afin d’exprimer le flux de chaleur de l’expression (1.97),
à savoir:
u ′′ (γ − 1)
i =
(n − 1) Ce
k
ε M2
t bij + 1
3 δij
cp T,j , (1.100)
oùCe = 0.35. Cette expression ressemble au modèle algébrique simplifié de Ristorcelli (1.95)
en ce qui concerne la dépendance en Mt qui assure la consistance dans la limite incompressible,
l’anisotropie qui permet un flux contre le gradient moyen et la réalisabilité. Néanmoins,
la différence réside dans l’utilisation du gradient de la température, ce qui ne permet pas
une caractérisation entropique du système (voir l’annexe C.1), et induit la paramétrisation
par deux constantesCe etn.
La validité de l’hypothèse de polytropie a été testée dans différentes situations. Blaisdell et al. [8]
l’ont confirmée dans un cisaillement homogène à différents nombres de Mach turbulent. L’exposant
n prend la valeur isentropique dans ce cas. Dans un canal établi à vitesse débitante supersonique,
par contre, Huang et al. [87] ont trouvé la valeur isobaren=0. L’effet de blocage qu’exerce la
paroi a tendance à supprimer les fluctuations de la pression [8]. Dans un écoulement complexe on
s’attend donc à une grande variation de la valeur de l’exposantn, ce qui limite la généralité de
l’approche polytropique.
1.5 La réalisabilité de la fermeture du second ordre
La fermeture du second ordre représente une approximation qui décrit certaines propriétés statistiques
d’un écoulement turbulent, compressible. On s’attend à ce que ce modèle reflète en quelque
sorte la réalité telle qu’elle est comparée, par exemple, à l’expérience. D’autre part, la modélisation
est basée sur les équations de Navier-Stokes qui constituent une description exacte du processus.
Le modèle doit également être conforme aux propriétés de ces équations fondamentales. Il est
donc possible de déduire un nombre de contraintes à partir de considérations mathématiques (tensorielles),
physiques et phénoménologiques s’appliquant aux variables du problème. La conformité
avec l’ensemble de ces contraintes peut être appelée la réalisabilité de l’approche.
Une déviation par rapport à la solution des équations exactes vient d’une part de la modélisation
des corrélations inconnues et d’autre part de la discrétisation des équations différentielles.
Les deux types d’erreur doivent être considérées sous l’angle de la réalisabilité du résultat.
Une partie de la réalisabilité concerne directement les valeurs des différentes variables du
problème qui sont bornées par des principes fondamentaux:
• positivité des variables thermodynamiques,
• vitesses réelles,
• inégalité de Schwarz,
• seconde principe de la thermodynamique.
On peut ainsi définir le concept de faible réalisabilité de manière suivante: