Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

22 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.4.5.1 La diffusion visqueuse
La partie visqueuse de la diffusionµSiku ′′
j +µSjku ′′
i est de l’ordre de ORe −1
l par rapport aux
termes non-visqueux de l’expression (1.70). Par conséquent, cette contribution devient négligeable
pour des grand nombres de Reynolds [31, 34, 52]. Quand on s’approche d’une paroi solide, par
contre, l’importance du terme visqueux augmente dû à la condition d’adhèrence. Une façon
très simple d’introduire une diffusion visqueuse dans l’équation de la tension de Reynolds est
l’expression suivante:
µSiku ′′
j +µSjku ′′
i
,k =
µ u ′′
iu ′′
j . (1.71)
,k
On remarque que dans un contexte strictement incompressible (u ′′
i =u′ i ,u′′
k,k
= 0), la relation
(1.71) est exacte en conjonction avec l’utilisation de la définition (1.32) pour la dissipation [33].
1.4.5.2 La diffusion par la pression
La partie conservative de la corrélation entre vitesse et pression est souvent considérée comme
négligeable par les auteurs des modèles statistiques [31, 24]. De plus, les corrélations pressionvitesse
sont en général difficiles à obtenir expérimentalement. Afin de quantifier l’importance de
la diffusion par les termes de pression, un bilan des termes de l’équation d’énergiekpeut être
effectué. Le seul terme non-déterminé (p ′ u ′ k ),k doit équilibrer la somme des termes mesurés. Dans
un jet pariétal étudié par Irwin [86], par exemple, la contribution de la corrélation pression-vitesse
à la diffusion est trouvée négligeable.
Dans les simulations directes de l’écoulement dans un canal établi de Huang et al. [87] la
diffusion due à la contribution de la pression n’a qu’une influence négligeable sur le bilan de
l’énergie cinétique de la turbulence. Ce résultat est valable pour le régime incompressible ainsi que
pour des nombres de Mach élevés. Les effets d’inhomogénéité peuvent être analysés en l’absence
du gradient moyen en considérant une couche de mélange entre deux zones de différentes intensités
de turbulence. Cette couche de mélange non-cisaillée a été étudiée par le biais de la simulation à
grandes échelles par Shao [88] et en utilisant la simulation directe par Briggs et al. [89]. Dans les
deux cas, la contribution de la pression est petite devant celle de la corrélation triple de vitesse,
mais elle n’est pas jugée négligeable par les auteurs.
Dans le cadre de l’approche statistique en un point, les modèles suivants ont été publiés:
• Harlow et Nakayama [35] ont proposé une expression de transport par le gradient de la
pression moyenne qui s’écrit:
u ′ ip′ µt
= −CHN
ρ p ,i . (1.72)
• Donaldson (cf. Daly et Harlow [30]) a exprimé le terme en question par une diffusion de la
tension de Reynolds. Son modèle s’écrit:
u ′ ip′
= −CDµt u ′ iu′
k . (1.73)
,k
Mellor et Herring [33] utilisent une forme isotrope de l’équation (1.73) en remplacantu ′ i u′ k
park.
• Lumley [15] a employé une méthode analogue à la construction de la partie lente de la
corrélation entre pression et déformation. Introduisant une fonction linéaire des corrélations
triples de vitesse (objet des conditions de réalisabilité) dans les expressions intégrales nondéterminées,
il obtient le modèle suivant:
,k
u ′ i p′ = −CLρu ′ i u′ k u′ k . (1.74)