Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

4 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
oùγ est le rapport entre les chaleurs massiques. Les coefficients thermodynamiquescv,cp,γsont
pris constants. La viscosité est obtenue par la loi de Sutherland [19]:
µ
µref
T
=
Tref
α Tref +S
T +S
, (1.6)
avecα=1.5 etS= 110K pour l’air. La conductivité thermique est reliée à la viscosité par un
nombre de Prandtl constant
Pr = µcp
qui prend la valeur 0.7 pour l’air.
,
λ
(1.7)
1.2 Formulation statistique
L’appréhension des écoulements turbulents pleinement développés confronte aujourd’hui encore
le chercheur et l’ingénieur au problème du large spectre des échelles spatiales et temporelles en
présence. L’approche statistique reste ainsi encore particulièrement précieuse dans la mesure où
elle permet d’accéder à des grandeurs moyennes dont la regularité spatiale et temporelle est plus
grande. La non-linéarité des équations de Navier-Stokes reporte alors les difficultés de simulation
sur les moments statistiques avec la nécessité de faire intervenir des modèles assurant une fermeture
à un ordre approprié de la chaine infinie des équations de moments.
L’approche directe des équations de Navier-Stokes est par ailleurs aujourd’hui en très grand
progrès, du fait du développement des algorithmes performants mais aussi surtout du fait de
l’accroissement considérable de la puissance des moyens de calcul. On peut alors en principe rejoindre
l’analyse statistique en effectuant des moyennes sur un ensemble de réalisations d’expériences
numériques. Il en resulte une possibilité de confronter le modèle statistique aux résultats de la
simulation directe qui, de fait, se substitue à l’expérience de laboratoire difficile à réaliser dans
certaines circonstances.
Par la suite, on rappelle brièvement les opérations qui mènent aux équations statistiques avant
de discuter le problème de fermeture.
On peut définir une moyenne d’ensemble d’une grandeurφcomme la moyenne d’un nombre
N de réalisations indépendantes,
1
φ(xi,t) = lim
N→∞N
N
φn(xi,t) , (1.8)
oùφn est la valeur deφdéterminée lors d’une réalisation particulièren. L’hypothèse d’ergodicité
[20] permet d’obtenir la moyenneφpar une moyenne temporelle dans un écoulement statistiquement
stationnaire ou par une moyenne spatiale dans un écoulement homogène. Toute variableφ
peut être décomposée en valeur moyenne et fluctuation (décomposition de Reynolds):
n=1
φ(xi,t) =φ(xi,t) +φ ′ (xi,t) , (1.9)
avecφ ′ = 0. Dans le cadre des écoulements compressibles, une moyenne pondérée par la masse
volumique est souvent utilisée:
φ(xi,t) = ρφ
, (1.10)
ρ
ce qui donne la décomposition suivante
φ(xi,t) = φ(xi,t) +φ ′′ (xi,t) , (1.11)
où la moyenne de la fluctuation n’est pas identiquement nulleφ ′′ = 0.