Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

34 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
on retient le modèle SSG pour la pression-déformation malgré ses défauts; on rejète, par contre, le
modèle pour le flux de masse turbulent donné par l’équation (1.99), qui ne permet ni la réalisabilité
forte de la tension de Reynolds ni une caractérisation entropique du système et qui n’est pas
consistant avec la limite homogène.
1.6 Fermeture du premier ordre pour la tension turbulente
Dans une fermeture du premier ordre, les moments d’ordre deux sont liés directement au champ
moyen. Ceci revient à l’utilisation d’une relation constitutive pour la tension de Reynolds. Pope
[104] a constaté que les défaillances des fermetures de premier ordre dans certaines situations (par
exemple en présence de rotation, dans la prédiction des écoulements secondaires, quand les lignes
de courant sont courbées) ont deux causes distinctes: la non-applicabilité d’une relation constitutive
en général et les défauts de la relation constitutive particulière. Il semble donc nécessaire
de connaître les limites globales de l’approche de premier ordre avant de considérer la forme
particulière du modèle.
1.6.1 Existence d’une relation constitutive
Lumley [105] et Pope [104] ont établi les conditions nécessaires pour l’existence d’une relation
constitutive de la tension de Reynolds. Pour un fluide incompressible, Lumley montre que la
tension de Reynolds, dans un domaine donné, est déterminée uniquement par le champ de la
vitesse moyenne et par les valeurs de la fluctuation aux frontières du domaine et à l’instant
initial. Il suppose que suffisamment loin de la frontière (et suffisamment loin de l’instant initial),
l’influence de ces fluctuations se limite à la modification des échelles du champ turbulent. Avec
cette hypothèse, la tension turbulente peut être exprimée par une fonctionelle du champ de vitesse
moyenne et des échelles qui sont l’objet des influences non-locales (et non-instantanées). Afin de
pouvoir exprimer la fonctionelle par une fonction, le transport de la tension doit être négligeable.
Pope a remarqué que seulement un écoulement homogène respecte cette dernière contrainte. Dans
ce cas, la tension de Reynolds est uniquement fonction de la déformation moyenne (qui porte toute
information sur le champ moyen) et des échelles (scalaires). Les conditions pour l’existence d’une
relation constitutive locale (en temps et espace) peuvent être résumées:
• les conditions aux limites n’affectent que les échelles (de temps et de vitesse) de la turbulence.
• la distance à la frontière est grande par rapport à la taille des structures.
• l’évolution de la turbulence est rapide par rapport à l’évolution du champ moyen.
• l’écoulement est proche de l’homogénéité.
L’ensemble des conditions est en réalité rarement respecté. Un exemple d’un écoulement qui vérifie
les conditions nécessaires est un cisaillement homogène dans la phase asymptotique. Dans le cas
d’un écoulement général, une relation constitutive ne représente qu’une approximation pour la
tension de Reynolds.
1.6.2 La relation constitutive pour la tension de Reynolds
A haut nombre de Reynolds, on s’attend à ce que la relation pour la tension turbulente ne dépende
pas explicitement de la viscosité. Le théorème de Buckingham indique que deux grandeurs d’échelle
au moins sont nécessaires afin de lier la tension à la déformation. En choisissant une vitesse
caractéristiquevt et une longueurlt, on obtient la grandeur non-dimensionnelleVij ≡ui,jlt/vt.