Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

18 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.4.4.1 Le fluide incompressible
Puisque l’équation exacte pour la dissipation (définie en incompressible parε≡νu ′ i,ku′ ) fait i,k
intervenir un grande nombre de nouvelles corrélations inconnues, une équation phénoménologique
est souvent [35, 71, 5] utilisée en substitution de l’équation exacte. Elle a la forme générale
suivante:
∂t (ε) +uk (ε) ,k = Pε + D t ε + D ν ε − Φε , (1.55)
où Pε désigne les termes de production, Dt ε et Dν ε la diffusion turbulente et visqueuse respectivement
et Φε la destruction. La modélisation du second membre de l’équation (1.55) est faite
par l’analogie avec l’équation pour l’énergie cinétique turbulente (dont les termes sont obtenus
en prenant la trace de l’équation (1.18)). Les termes diffusifs sont écrits en remplacantk parε
et un modèle équivalent est utilisé (voir paragraphe 1.4.5). La production et la destruction sont
exprimées par:
Pε = Cε1 · ε
−u
k
′ iu′ jui,j
Φε = Cε2 · ε
·ε . (1.56)
k
La constante de la destructionCε2 peut être calibrée par référence à la décroissance de turbulence
isotrope en absence de production. Dans un écoulement homogène à cisaillement pur, le rapport
entre dissipation et production dek permet de déterminerCε1 en fonction de la valeur deCε2.
Finalement, les coefficients intervenant dans le modèle de diffusion sont liés àCε1 etCε2 par les
considérations de cohérence exposées dans l’annexe B.
1.4.4.2 Le fluide compressible
L’équation (1.55) peut être réécrite en introduisant une masse volumique variable:
∂t
ρε (ρv)
+ ukρε (ρv) ε
= −Cε1
,k (ρv)
k ρui,ju
′′
iu′′ j + Dt ε + Dν ε −Cε2ρ
ε (ρv) 2
k
, (1.57)
où on a utilisé le symboleε (ρv) afin de noter la dissipation obtenue par une simple extension du
modèle incompressible.
En réalité, le taux de dissipation peut dévier de la valeur prédite par l’équation (1.57) à cause
de différents phénomènes physiques (compressibilité, rotation, etc.). Nous considérons ici les
modifications apportées par l’action d’une dilatation moyenne ainsi que celles dues à la dilatation
fluctuante.
Influence de la dilatation moyenne. Une dilatation moyenne considérable peut être créée
même si le nombre de Mach moyen est petit, par exemple dans un écoulement confiné qui est
comprimé. Quand la dilatation moyenne est non-nulle et que, en même temps, la dilatation
fluctuante est négligeable, on parle de turbulence “compressée”.
Reynolds [72] a montré que la variation de la dissipation dépend d’un terme de production
supplémentaireSε1 qui est fonction de la dilatation moyenne:
Sε1 = (1 −Cε3)ρε (ρv) ui,i . (1.58)
Il déduit la valeur de la constanteCε3 en considérant la conservation du moment angulaire des
grandes échelles de la turbulencek 2 /ε dans une compression sphérique, rapide. Reynolds obtient:
Cε3 = (7 − 2Cε1) 1
3
. (1.59)