Etude de mod`eles de fermeture au second ordre et contribution `a ...

16 CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
La fonctionf (Mr) est fondée sur l’hypothèse selon laquelle les fluctuations de pression sont
progressivement réduites. Ceci est traduit par un modèle de vortex potentiel, où l’écart entre
le maximum de pression, localisé au point d’arrêt entre deux tourbillons, et le minimum de
pression, localisé au centre d’un vortex, diminue avec la vitesse de rotation liée au nombre de
Mach Mr. Cependant, dans son approche, les autres composantes de la redistribution Π dev
ij
sont obtenues en fonction du taux de croissance de la couche de mélange, ce qui empêche la
généralisation de la méthode. Néanmoins, dans le cas particulier, Vreman réussit à reproduire
les résultats principaux de la simulation.
II Détermination de la pression-dilatation. Parmi les modèles qui ont été publiés, on note
les trois propositions suivantes:
• Rubesin [41] a postulé la variation polytropique des variables thermodynamiques dans un
écoulement compressible:
p ′
p =nρ′
n ρT
=
ρ n − 1
′′
ρ , (1.46)
T
oùnest le coefficient polytropique du processus qui devient une constante à déterminer.
Dans un papier plus récent, Rubesin [42] utilise la relation (1.46) pour remplacer la pression
par la masse volumique, ce qui permet d’établir un modèle à l’aide de
de l’expressionp ′ u ′′
k,k
l’équation de transport de la variance de la masse volumiqueβ≡ ρ ′ ρ ′ /ρ, qui s’écrit:
p ′ u ′′
k,k =np
ρ,k
ρ u′′
1
2
k − ∂t β
2
2
+uk β
,k
. (1.47)
Quant à eux, le flux de masseu ′′
k ainsi que la varianceβ peuvent être modélisés avec des
hypothèses supplémentaires concernant la température totale (voir paragraphe 1.4.6.1). On
note que, à cause du terme de dérivée temporelle, l’expression (1.47) n’est pas facile à intégrer
dans un schéma de résolution numérique. Si on se place dans un écoulement strictement
homogène, où le flux de masse turbulent ainsi que les gradients de la variance de la masse
volumique et de la masse volumique moyenne sont nuls, la seule contribution vient de la
variation temporelle de la varianceβ. Ce résultat est à rapprocher de l’hypothèse principale
du modèle de Zeman (voir paragraphe suivant) qui porte sur la variance de la pression.
Pour déterminer la variance de la masse volumiqueβ dans la formule (1.47), Rubesin propose
néanmoins une fonction du gradient de la temperature moyenne. Par conséquent, ce modèle
prédit une pression-dilatation nulle dans un écoulement homogène ce qui n’est pas en accord
avec les résultats des simulations directes [68].
• A l’aide de l’équation de transport de la masse volumique et de la deuxième loi de la thermodynamique,
Zeman [7] a déduit une expression de la pression-dilatation, dans laquelle il
élimine plusieurs termes par une estimation de l’ordre de grandeur. Le seul terme restant
est la variation temporelle de la variance de la pression:
p ′ u ′′
k,k
1
= − dt
2ρc 2
p ′ p ′
. (1.48)
Zeman suppose que les fluctuations de pression tendent vers un état d’équilibrepe avec une
échelle de tempsτa qui est associée à la propagation acoustique. Son modèle de relaxation
est formulé en fonction du nombre de Mach turbulent:
dt p ′ p ′ = − p′ p ′ −p 2 e
,
τa
pe
ρ 2 2kc 2
τa
2k/εs
=
=
αM 2 t +βM 4 t
1 +αM 2 t +βM 4 t
Mt
,
54 1 + M 2 t /3 , (1.49)