DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

Pour finir, mentionnons deux exemples fameux de cocycle de degré 1 non différentiables
: Le mouvement brownien à plusieurs paramètres de Lévy (voir [26]),
et sa version poissonienne proposée par Mandelbrot (voir [32]). Le mouvement
brownien de Lévy (Bx)x a des propriétés harmoniques mises en évidence par
McKean (voir [33]) : lorsque le nombre de paramètres d est impair, sa covariance
à x fixé
cx(y) = cov(Bx, By)
vérifie ∆ (d+1)/2 cx(y) = 0, sur le domaine y ∈ R d \ {x, 0}. McKean en déduit que
ce champ aléatoire est markovien d’ordre (d − 1)/2 lorsque la dimension d est
impaire, et n’est pas markovien en dimension paire. Goldman a relié le mouvement
brownien de Lévy à un processus V markovien (pour un conditionnement
par rapport à un demi-espace) dont les trajectoires vérifient ∆ (d+1)/2 V = 0
(voir [13]).
1.2 Présentation résumée des résultats
1.2.1 degré 1
Nous avons établi un critère de récurrence pour cocycle de degré 1 d’action de
Z d , basé sur une hypothèse de type loi faible des grands nombres. Cela permet
notamment d’exprimer ce critère dans le cas L 1 , alors que le théorème ergodique
ponctuel ne s’applique qu’avec une hypothèse d’intégrabilité plus forte.
La question, cruciale du point de vue de la construction des flots spéciaux, d’un
critère analogue pour la transience, reste ouverte (voir paragraphe 4 page 37).
Cette question de la transience a été aussi étudiée par H. Keynes, K. Madden,
N. Markley et M. Sears dans le cas d’un cocycle continu (voir entre autres [22]).
1.2.2 degré ≥ 2, action de Z d
Nous avons démontré que les définitions de Katok et Westman donnent les
mêmes classes de cohomologie. Cela est fait en généralisant les formules de
passage (1) et (2) au cas du degré ≥ 2 :
f (k) = pk(α (k) )
α (k) = ik(f (k) )
où pk et ik sont respectivement surjective et injective, et sont réciproques l’une
de l’autre aux cobords près :
Théorème 1. Pour tout cocycle de Katok f (k) on a pkik(f (k) ) = f (k) , et pour
tout cocycle de Westman α (k) on a ikpk(α (k) ) − α (k) est un cobord.
On peut faire la remarque que la surjection pk est canonique et assez naturelle,
mais que l’injection ik l’est moins. Le même résultat est d’ailleurs démontré
par Cartan et Eilenberg avec une autre injection (voir [4]). Notre construction
est géométrique, basée sur le réseau dual, et donne des cocycles adaptés à la formulation
du théorème ergodique : nous avons démontré le théorème ergodique
pour les cocycles de Westman de la forme ik(f (k) ), en moyenne et ponctuel,
suivant l’intégrabilité de f (k) (voir paragraphe 3.2 page 35).
Comme application de ce théorème ergodique, nous avons obtenu l’existence
presque sûre du flux surfacique moyen à l’infini du courant stationnaire, dans
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