DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

traversant la boîte. Alors, d’après la loi d’Ohm, la résistance équivalente de la
boîte entre les deux faces est ρN = V/IN, et sa résistivité est
N 2
N
V
IN
= N V
Répondant à une question de Kesten, nous avons montré la convergence ponctuelle
de cette résistivité, vers la résistance équivalente ρ∞ d’une boîte de côté 1
extraite du milieu conducteur continu de tenseur de résistivité R0, entre ses faces
inférieure et supérieure. Cette résistance s’exprime en fonction du potentiel v
dans la boîte par
〈gradv, R −1
0 gradv〉
ρ∞ = [0,1] 3
[0,1] 3
IN
〈e3, R −1
0 gradv〉
2 où v est la solution H1 de l’équation aux dérivées partielles elliptique du second
ordre
divR −1
0 gradv = 0
avec conditions mixtes aux bords, de Dirichlet sur les faces inférieure et supérieure
v = 0 sur la face d’équation x3 = 0,
v = 1 sur la face d’équation x3 = 1
et de Neumann sur les faces verticales : 〈n, R −1
0 gradv〉 = 0 où n est le vecteur
normal sortant.
Théorème 7. Sous les hypothèses d’ergodicité et d’ellipticité présentées dans
le paragraphe précédent, on a la convergence ponctuelle
V
lim N
N→+∞ IN
= ρ∞.
Nous avons deux démonstrations de ce résultat. L’une, restée à l’état de
prépublication, s’inspire de la démonstration faite par J.K.O. dans le cas continu.
L’autre, en collaboration avec Boivin, repose sur la convergence ponctuelle des
valeurs propres et des fonctions propres du laplacien associé au réseau.
Remarquons que dans le cas où le tenseur limite R0 est isotrope, c’est-à-dire
colinéaire à la matrice identité Id, le potentiel v a l’expression évidente :
v(x1, x2, x3) = x3,
et le tenseur de résistivité s’identifie avec la résistance équivalente de la boîte
de côté 1 entre ses faces inférieure et supérieure, par R0 = ρ∞Id. Sinon, cette
identification n’est valide que si l’orientation du milieu est telle que la direction
verticale soit un axe principal du tenseur de résistivité R0.
4 Cocycles de degré 1 d’actions de Z d et flot spécial
Comme on l’a vu dans l’introduction, dans le cas du cocycle de degré 1
d’action de Z d , les définitions de Westman et de Katok sont équivalentes. Cette
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