DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

– Soit f = (f23, f31, f12) un vecteur aléatoire. Alors f est un cocycle (resp.
un cobord) de degré 2 de Katok si et seulement si i( f) est un cocycle (resp.
un cobord) de degré 2 de Westman.
– Soit α une fonction aléatoire mesurable définie sur Ω × Z 3 × Z 3 . Alors
c’est un cocycle (resp. un cobord) de degré 2 de Westman si et seulement
si p(α) est un cocycle (resp. un cobord) de degré 2 de Katok.
– Enfin, pour tout cocycle de Katok f de degré 2 on a p ◦ i( f) = f, et pour
tout cocycle de Westman α de degré 2 on a i ◦ p(α) − α est un cobord.
Ce théorème signifie que les applications i et p se factorisent sur les classes
de cohomologie en deux applications bijectives, réciproques l’une de l’autre.
Les définitions des applications i et p passent à tous les degrés k et toutes les
dimensions d, avec k ≤ d. Le cas k ≥ d + 1 est crucial. En effet, comme nous
l’avons remarqué dans l’introduction, la notion de cocycle de Katok n’existe
pas dans ce cas, mais celle de Westman a un sens. Le théorème ci-dessus a une
version dans ce cas :
Théorème (Cartan et Eilenberg). Tout cocycle de Westman de degré k d’une
action de Z d avec k ≥ d + 1 est un cobord.
Dans ces deux théorèmes, les « cochaînes » de transferts sont obtenues par
des formules algébriques, c’est-à-dire sous forme de sommes finies, comme c’est
d’ailleurs le cas pour les applications i et p définies par les formules (28) et (29)
ci-dessus. Ces résultats sont donc valides sur tout espace de fonctions, notamment
sur l’espace des fonctions mesurables sur Ω, les espaces de Lebesgue L p
ou de Lorentz Lp,q, comme sur l’espace des fonctions de classe C ∞ lorsque Ω
est une variété différentiable. Enfin, ces théorèmes sont liés à la structure du
groupe, et sont indépendants de l’action, qui peut avoir un facteur périodique
ou non, peut être libre ou non, ergodique ou non...
Un cas particulier du théorème de Cartan et Eilenberg est celui de la dimension
d = 1; seuls les cocycles de degré 1 peuvent ne pas être des cobords.
Dans ce cas, la démonstration est beaucoup plus simple, et s’étend à tout groupe
libre dénombrable. On la trouve par exemple, sous sa présentation algébrique,
dans Mac Lane [30], son application à la théorie ergodique ayant été traitée par
Westman.
Théorème (Mac Lane, Westman). Tout cocycle de Westman de degré k ≥ 2
d’une action d’un groupe dénombrable libre est un cobord.
Le théorème 1 permet de faire passer un résultat du formalisme de Katok à celui
de Westman, ou réciproquement. Nous donnons quelques applications.
3.1.2 De Westman à Katok : la trivialité de la cohomologie mesurable
de degré ≥ 2
Le résultat de Feldman et Moore sur la trivialité des cocycles mesurables de
degré ≥ 2 est une application du résultat de Westman ci-dessus et du théorème
de Dye (voir [7]). Ces auteurs démontrent que du point de vu de la mesurabilité,
et lorsque l’action est libre, les notions de cocycle et cobord sont invariantes par
isomorphisme orbital. Le théorème de Dye permet alors de se ramener au cas
d = 1 :
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