DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

Le flot spécial est alors bien défini, et a pour masse totale ˆµ( ˆ Ω) = det L.
Schéma de démonstration de la proposition.— Commençons par le calcul de
µ(W).
Proposition 8. Soit α un cocycle de degré 1 pour une action stationnaire
ergodique de Z2 . On suppose les déterminants
det α(ω,e1), α(ω,e1 + e2)
et det α(ω,e1 + e2), α(ω,e2)
positifs. Si α est de carré intégrable, on a µ(W) = detL.
Notons que l’hypothèse « α est de carré intégrable »assure notamment que les
déterminants ci-dessus sont intégrables, comme fonctions de ω. En dimension d,
ces déterminants sont des sommes à d! termes de produits à d facteurs. On
est donc amené à supposer α de puissance d-ième intégrable, pour garantir
l’intégrabilité de ces déterminants.
Cette proposition est une conséquence du résultat suivant :
Lemme 2. Soit α et β deux cocycles de carré intégrable à valeurs dans R 2 . Soit
L(ω) = det α(ω,e1), α(ω,e1 + e2) + det α(ω,e1 + e2), α(ω,e2) .
Soit M(ω) la fonction analogue pour β. On suppose α et β cohomologues dans
L 2 . Alors L et M ont même intégrale.
Schéma de démonstration du lemme.— Sous les hypothèses de la proposition,
les fonctions L et M sont cohomologues dans L 1 , comme cocycles de Katok de
degré 2 : on peut trouver deux fonctions intégrables φ1 et φ2 telles que
L = M + δ1φ2 − δ2φ1
(notons que les fonctions intégrables φ1 et φ2 se calculent explicitement comme
sommes de produits à 2 facteurs, tirés des fonctions coordonnées des cocycles α
et β, et des fonctions de transfert apparaissant dans la relation de cohomologie
liant α et β ; la formule est purement algébrique). L’égalité ci-dessus donne
l’égalité des intégrales.
Schéma de démonstration de la proposition.— On a µ(W) = 1
2
Ω
L dµ. Or
d’après la densité des cobords de degré 1 (voir Boivin et Derriennic), on peut
approcher α −L par des cobords L 2 . La proposition 8 découle alors du lemme 2.
Pour achever la démonstration de la proposition 7, il reste à démontrer que
l’ensemble W défini ci-dessus est errant pour l’action S, c’est-à-dire
si x = y alors SxW ∩ SyW = ∅. (34)
Or, pour ω fixé, les quadrilatères (indexés par x ∈ Z 2 )
Qx = α(ω, x) + KTxω
se recollent deux à deux bord à bord. En effet deux de ces ensembles correspondant
à deux points voisins de Z2 ont un côté commun. D’autre part la convergence
ponctuelle (32) est vérifiée avec det L =
L dµ > 0. Ces ensembles
41
Ω