DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

où Tθ l’ensemble des segments [A, B] tels que les trois angles du triangle de
sommets O, A, B soient ≥ θ. En résumé, pour qu’un cocycle-potentiel g soit
le potentiel d’un cocycle f de J.K.O. intégrable, il faut qu’il vérifie la convergence
(13). C’est aussi une condition suffisante, comme l’énonce la proposition
suivante.
Proposition 4. Soit g un cocycle-potentiel de puissance p-ième intégrable, de
degré 2. S’il vérifie le théorème ergodique local avec pour vecteur aléatoire limite
f = (f23, f31, f12), c’est-à-dire si
1
1
2−→ OA ∧ −→
OB
[A,B]
g1(ω, y) dy1 + g2(ω, y) dy2 + g3(ω, y) dy3
converge dans Lp vers 〈 f(ω),n△〉 lorsque 1
2−→ OA∧ −→
OB tend vers 0 avec [A, B] ∈
Tθ, alors
– le vecteur aléatoire f est un cocycle de degré 2 de J.K.O, soit encore le
champ y ↦→ f(Tyω) est p.s. de divergence nulle,
– g est le potentiel vecteur associé à f par la formule (7) page 12.
Le théorème ergodique en l’infini s’écrit pour le cocycle-potentiel g :
Corollaire 3. Soit un système dynamique probabilisé (Ω, A, µ, (Tx) x∈R d) ergodique.
Soit g un cocycle-potentiel de puissance p-ième intégrable, de degré 2
pour lequel il existe un vecteur aléatoire f tel que la convergence (13) ait lieu en
norme L p . Alors
1
1
2−→ OA ∧ −→
OB
[A,B]
g1(ω, y) dy1 + g2(ω, y) dy2 + g3(ω, y) dy3
converge dans Lp vers 〈E( f),n△〉 lorsque 1
2−→ OA ∧ −→
OB tend vers l’infini avec
[A, B] ∈ Tθ. Si de plus le vecteur aléatoire f est de norme de Lorentz L2,1
finie, alors l’intégrale ci-dessus admet une version p.s. ω continue en A, B,
pour laquelle la convergence a lieu ponctuellement.
La notion de cocycle-potentiel présentée dans ce paragraphe a deux intérêts
(autres que l’énoncé du théorème ergodique) sur lesquels nous reviendrons par
la suite : d’une part elle fait un lien entre les cocycles de Westman et de J.K.O.
par les formules (7) et (11), d’autre part elle permet de définir une propriété
de Markov.
2.3.2 Cocycles de Westman
Nous avons vu comment passer d’un cocycle f de J.K.O. de degré 2 à un
cocycle-potentiel (formule (7) page 12) puis à un cocycle de Westman faible
(formule (11) page 18); la formule de passage directe d’un cocycle de J.K.O.
au cocycle de Westman I2( f) qu’il engendre a été présentée dans l’introduction
(propositions 1 et 2 page 10). Réciproquement, nous avons vu comment passer
d’un cocycle-potentiel à un cocycle de J.K.O., à l’aide du théorème ergodique
local (proposition 4 page 19). Il reste donc à étudier le passage d’un cocycle de
Westman à un cocycle-potentiel, comme cela ce voit sur le tableau récapitulatif
ci-dessous :
f tel que
divT f = 0
Form. (7)
−→
←−
Prop. 4
g potentielcocycle
19
Form. (11)
−→
←−
?
α (2) cocycle
de Westman faible