DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

loi de Poisson symétrisée, c’est à dire la loi d’une différence de deux variables
aléatoires de Poisson indépendantes de même paramètre. Enfin, pour garder des
lois de Poisson strictes, on peut considérer le processus sous additif défini par
Qsa(x, y) =
Il vérifie une inégalité de degré 2 :
N
|˜χ0,x,y( Xk)|.
k=1
Qsa(x, y) ≤ Qsa(x + y, z) + Qsa(x, y + z) + TxQsa(y, z)
où T est l’action de translation des trajectoires (en fait chacun des quatre termes
est plus petit que la sommes des trois autres).
Ces deux processus ont un sens particulier dans le cas discret, c’est-à-dire
pour x, y à coordonnées entières. Ils constituent alors en effet une sorte de généralisation
multidimensionnelle et de degré 2 de la marche aléatoire simple.
2.4.3 Mesure spectrale du cocycle brownien (Article 6)
L’égalité (23) ci-dessus montre que la fonction
(x, y), (x ′ , y ′ ) ↦→ −1
2π
∂△(0,x,y)
∂△(0,x ′ ,y ′ )
ln −−−→
MM ′ 〈d ℓ(M), d ℓ ′ (M ′ )〉
est de type positif. Nous avons donné une autre démonstration de ce fait, basée
sur l’analyse de Fourier. Cette démonstration consiste en fait à calculer la mesure
spectrale du bruit gaussien correspondant aux accroissements du cocycle
brownien de degré 2 en dimension 3. Comme ce bruit gaussien est à 3 paramètres,
et à valeurs vectorielles de dimension 3, sa mesure spectrale est définie
sur R 3 , à valeurs dans les matrices symétriques positives d’ordre 3. On a calculé
comme coefficient dmij, pour 1 ≤ i, j ≤ 3 :
dmij(η) = (δij − ηiηj 1
η2) 2η dη,
où dη est la mesure de Lebesgue de R3 , et δij = 1 ou 0 suivant que i = j ou
non. La structure des mesures spectrales multidimensionnelles a été étudiée par
Wong et Zakai dans [41]. Ces auteurs ont montré, par analogie avec la décomposition
de Hodge-de Rham, que toute mesure spectrale d’un champ stationnaire
isotropique défini sur Rd
d
, à valeurs vectorielles de dimension , se décom-
k
pose en la somme d’une mesure spectrale correspondant à une forme fermée de
degré k et d’une autre correspondant à une forme fermée de degré d − k. Dans
notre cas le facteur polaire δij − ηiηj
η2 correspond à la composante cocycle de
degré 2 (« solénoïde » dans leur vocabulaire). Cela donné, toute l’information
est dans le facteur radial (η ↦→ π
η dη pour nous). L’interprétation de cette
mesure radiale étant plus claire en coordonnées polaires, posons η = rv avec
r = η et v = η/r, et notons dv la mesure uniforme normalisée sur la sphère
de rayon 1. La mesure de Lebesgue de R3 s’exprimant dη = 4πr2 drdv, la partie
radiale dm (s) de notre mesure spectrale s’écrit
dm (s)(η) = 2πr drdv.
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